旋轉(zhuǎn)變換貫通思路，同類(lèi)呈現(xiàn)加深理解
——從兩道較難考題的思路說(shuō)起

筅江蘇省江陰市華士實(shí)驗(yàn)中學(xué) 趙丹農(nóng)

最近筆者在某校八、九年級(jí)兩份階段試卷看到兩道本質(zhì)類(lèi)似的考題，都需要通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換進(jìn)行思路突破，實(shí)現(xiàn)解決.但是在一些解題研究的QQ群里，有不少老師仍然在求助解法，筆者感覺(jué)有必要做些關(guān)聯(lián)式講評(píng)，于是將這兩道習(xí)題設(shè)計(jì)成同類(lèi)習(xí)題微教學(xué)，在班級(jí)講評(píng)之后，取得了較好的效果.本文先給出這兩道較難習(xí)題的思路分析，再跟進(jìn)教學(xué)微設(shè)計(jì)及教學(xué)立意的解讀，供研討.

一、兩道較難考題的思路解析

考題1：（某校八年級(jí)下學(xué)期階段檢測(cè)卷，填空較難題）如圖1，點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，E為直線AB上方的一點(diǎn)，且滿足CE=CB，連接AE，以AE為腰、A為頂角的頂點(diǎn)作等腰Rt△ADE，連接CD，當(dāng)CD最大時(shí)，∠DEC= .

圖1

圖2

思路1：如圖2，將△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△AEC1，點(diǎn)D、E重合，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)著C1，連接CC1（或以A為頂點(diǎn)，AC為直角邊，在AC的下方作等腰直角△ACC1）.

則△ADC △AEC1.則CD=EC1，AC=AC1.

在△ECC1中，EC1＜EC+CC1.則只有當(dāng)E、C、C1共線時(shí)，EC1的值最大，即CD最大.

由AC=AC1，得∠ACC1=45°，則∠ACE=135°.

由點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，得CA=CB.又CE=CB，則CE=CA.則∠AEC=22.5°.

在等腰Rt△ADE中，∠AED=45°.則∠DEC=67.5°.

思路2：如圖3，將△ACE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△ADE1（點(diǎn)E與點(diǎn)D對(duì)應(yīng)），連接CE1（或以A為頂點(diǎn)，AC為直角邊，在AC的上方作等腰直角△ACE1）.

圖3

則△AEC △ADE1.則AC=AE1，∠AEC=∠ADE1.在△DCE1中，CD＜CE1+DE1.

則只有當(dāng)D、C、E1三點(diǎn)共線時(shí)，CD最大.

由AC=AE1，得∠AE1C=45°，則∠AE1D=135°.

由點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，得CA=CB.又CE=CB.則CE=CA.則DE1=AE1.則∠ADE1=∠AEC=22.5°.又等腰Rt△ADE中，∠AED=45°，則∠DEC=67.5°.

考題2：（某校九年級(jí)下學(xué)期階段檢測(cè)卷，填空較難題）如圖4，P是半圓O上一點(diǎn)，Q是半徑OA的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AQ=OA=1，以PQ為斜邊作等腰直角三角形PQR，連接OR，則線段OR的最大值為 .

圖4

圖5

思路1：如圖5，將△ROQ繞R點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△RO1P，連接PO、RO1、OO1、OP（或以R為頂點(diǎn)，RO為直角邊，在RO的上方作等腰直角△ROO1）.

在△POO1中，OO1＜PO+PO1.則只有當(dāng)P、O、O1三點(diǎn)共線時(shí)，OO1最大.

由△ROO1為等腰直角三角形，得OR=

此時(shí)，OO1=PO+PO1=1+2=3.

思路2：如圖6，將△ROP繞R點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△RQO1，連接PO、RO1、OO1、QO1（或以R為頂點(diǎn)，RO為直角邊，在RO的下方作等腰直角△ROO1）.

圖6

則△ROP △RO1Q，則QO1=OP=1.

在△QOO1中，OO1＜QO+QO1.則只有當(dāng)Q、O、O1三點(diǎn)共線時(shí)，OO1最大.

由△ROO1為等腰直角三角形，得OR=

此時(shí)，OO1=QO+QO1=2+1=3.則OR=

二、同類(lèi)習(xí)題的微教學(xué)設(shè)計(jì)

問(wèn)題1：如圖7，△ABC與△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，連接BE、DC.

（1）探究CD、BE的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系；

（2）連接CE，求證：線段AC、CE的長(zhǎng)度之和不小于CD的長(zhǎng).

設(shè)計(jì)意圖：先以兩個(gè)共頂點(diǎn)的等腰直角三角形的一道經(jīng)典習(xí)題訓(xùn)練學(xué)生，為后續(xù)研究提供思路上的啟示.

圖7

問(wèn)題2：如圖1，點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，E為直線AB上方的一點(diǎn)，且滿足CE=CB，連接AE，以AE為腰、A為頂角的頂點(diǎn)作等腰Rt△ADE，連接CD.

（1）求證CD≤AC+CE；

（2）當(dāng)CD最大時(shí)，求∠DEC的度數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：考慮到與問(wèn)題1保持一定的連續(xù)性，在上文“考題1”基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了鋪墊式問(wèn)題，講評(píng)時(shí)注意啟發(fā)學(xué)生不同的旋轉(zhuǎn)變換的解法（如上文中兩種思路）.

問(wèn)題3：如圖4，P是半圓O上一點(diǎn)，Q是半徑OA的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AQ=OA=1，以PQ為斜邊作等腰直角三角形PQR，連接OR，探究線段OR的最大值.

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}3直接使用“考題2”，不預(yù)設(shè)鋪墊，安排學(xué)生挑戰(zhàn)難題，而且有兩種不同的旋轉(zhuǎn)構(gòu)圖的方法，教學(xué)時(shí)注意啟發(fā)學(xué)生從不同的角度進(jìn)行構(gòu)圖、推理.

三、關(guān)于同類(lèi)習(xí)題的教學(xué)思考

1.重視跨年級(jí)研究習(xí)題，收集“關(guān)聯(lián)”習(xí)題

教師在各自年級(jí)任教時(shí)往往眼之所及都是本年級(jí)的習(xí)題，特別是有些教師多年任教同一年級(jí)，往往缺少對(duì)其他年級(jí)習(xí)題的關(guān)注.我們認(rèn)為，教師研究解題不能囿于任教年級(jí)，因?yàn)榱?xí)題的結(jié)構(gòu)或解題策略有時(shí)會(huì)在不同年級(jí)的習(xí)題中得到體現(xiàn)，如果教師能跨年級(jí)研究習(xí)題、收集“關(guān)聯(lián)”習(xí)題，并將問(wèn)題變式、拓展，對(duì)于開(kāi)闊學(xué)生眼界、啟發(fā)學(xué)生打開(kāi)思路是十分重要的.

2.要精選“關(guān)聯(lián)”習(xí)題，預(yù)設(shè)同類(lèi)習(xí)題教學(xué)

教師注意跨年級(jí)研究習(xí)題之后，將收集到的“關(guān)聯(lián)”習(xí)題進(jìn)行恰當(dāng)?shù)闹亟M，在備課選題時(shí)加強(qiáng)同類(lèi)習(xí)題的鏈接與變式，以題組呈現(xiàn)的方式開(kāi)展解題教學(xué)，往往能取得較好的解題教學(xué)效果，并且能促進(jìn)學(xué)生識(shí)別同類(lèi)問(wèn)題，對(duì)相同結(jié)構(gòu)問(wèn)題的理解走向深入.像上文兩道較難題，如果孤立地在八年級(jí)時(shí)練過(guò)一次，到九年級(jí)時(shí)學(xué)生再遇到很容易遺忘，從而找不到思路，這時(shí)如果能鏈接式講評(píng)，八年級(jí)的學(xué)生印象就會(huì)很深.也許有老師說(shuō)，學(xué)生在八年級(jí)時(shí)還不宜超前接觸有關(guān)圓的習(xí)題，講了是不是超標(biāo)教學(xué)、超前教學(xué)？事實(shí)上并不是這樣的，因?yàn)榭碱}2本質(zhì)上并不涉及圓的更多性質(zhì)，只是利用圓的半徑相等這個(gè)簡(jiǎn)單性質(zhì)，小學(xué)生都知道.

3.難題求解要一題多解，教學(xué)時(shí)要多題歸一

教師在研究習(xí)題解法時(shí)，針對(duì)難題求解要追求一題多解，盡可能從不同角度突破思路，并且思考哪種解法是最簡(jiǎn)單、最自然、最初等的解法（倡導(dǎo)回到核心概念去解題），這樣在解題教學(xué)時(shí)就能駕馭不同的教學(xué)生成，因?yàn)閷W(xué)生的解法可能會(huì)多種多樣，如果教師課前沒(méi)有深入思考可能的解法與思路，教學(xué)現(xiàn)場(chǎng)對(duì)有些獨(dú)特的解法進(jìn)行準(zhǔn)確理解和恰當(dāng)評(píng)析就會(huì)有很大的挑戰(zhàn)，有時(shí)就容易聽(tīng)不清、想不明，造成誤判，或評(píng)價(jià)“不作為”.當(dāng)然，作為教師，在較難題的多解之后，還可引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)解后反思與回顧，思考“殊途何以同歸”，即多解歸一，這樣可以有效達(dá)成學(xué)生解一題、會(huì)一類(lèi)的效果.