經(jīng)典導(dǎo)引，順勢而為
——從一道中考數(shù)學(xué)試題說起

筅北師大臺州實(shí)驗(yàn)學(xué)校 周 鵬

筆者近日一直在翻閱各地中考數(shù)學(xué)試卷，從中挖掘出其中對數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查.不難發(fā)現(xiàn)近幾年的數(shù)學(xué)試卷難度保持穩(wěn)定，選擇題、填空題的考向特征變化不大，各地的中考試題整體結(jié)構(gòu)基本類似，但近兩年中考試題中檔解答題題量增大，要求學(xué)生具備計(jì)算能力、對多個(gè)知識點(diǎn)靈活運(yùn)用的能力、分類討論思想、作圖能力等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).為此，在2019年的中考備考中，需要做到“經(jīng)典導(dǎo)引，順勢而為”.

二次函數(shù)是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn).在近年的各地中考數(shù)學(xué)試題中尋覓，2017年江蘇揚(yáng)州市的一道試題映入眼簾，讓人耳目一新.

典例：（2017年江蘇揚(yáng)州市中考數(shù)學(xué)第8題）如圖1，已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（0，2）、B（1，0）、C（2，1），若二次函數(shù)y=x2+bx+1的圖像與陰影部分（含邊界）一定有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（ ）.

A.b≤-2 B.b＜-2 C.b≥-2 D.b＞-2

試題雖然出現(xiàn)在2017年中考試卷中，乍看試題仿佛再簡單不過了，但細(xì)細(xì)想想還是有較大的難度的，試題經(jīng)典，值得回放.為了2019年中考備考的需要，將其分析過程記錄在案.

圖1

一、建立一套解決典例的模型途徑

既然函數(shù)y=x2+bx+1的圖像與陰影部分（含邊界）一定有公共點(diǎn)，則可以確定該函數(shù)與三角形的三條邊即線段AB、BC、AC的其中一條至少有一個(gè)交點(diǎn)，即說明聯(lián)立方程式有解.

已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（0，2）、B（1，0）、C（2，1），由其坐標(biāo)確立自變量x的范圍：AB段是0≤x≤1，AC段是0≤x≤2，BC段是1≤x≤2.

用兩點(diǎn)式得出三條直線的方程：AB段是y=-2x+2，AC段是y=-x+2，BC段是y=x-1.

在這個(gè)范圍中分別計(jì)算拋物線y=x2+bx+1跟三條邊有交點(diǎn)時(shí)b的范圍，然后取其并集即可.

比如，判斷拋物線y=x2+bx+1與AB段有交點(diǎn)，則注意建立下列方程組：

先聯(lián)立①和②，即可求出拋物線與直線AB有交點(diǎn)時(shí)b的范圍，即得到：

x2+（b+2）x-1=0.

其有解即判別式不小于0：（b+2）2+4≥0，恒成立.

x2+（b+2）x-1=0的根是：x=

用同樣的方法分別判斷拋物線y=x2+bx+1與AC段或BC段有交點(diǎn)（具體的步驟在這里不贅述），得出b的取值范圍.

再取并集.

從上述的解題模型途徑看出，其求解過程是找到拋物線與線段必有交點(diǎn)時(shí)b的取值范圍；具體途徑是：將線段所在直線的方程與拋物線聯(lián)立求解.要注意兩點(diǎn)：一是注意線段的取值范圍；二是注意要有解判別式就必須大于或等于0，從而找到b的取值范圍.

二、思考一套解決典例的有效方法

用求解的模式解決b的取值范圍是一個(gè)復(fù)雜的解題過程.作為中考試題，需要的是最短時(shí)間內(nèi)得出正確的答案，因此，使用“套路”是不可取的.怎樣才能快速得出相應(yīng)的答案呢？筆者認(rèn)為，首先必須認(rèn)識本題中二次函數(shù)y=x2+bx+1的圖像的特征，對稱軸為直線x=-，其頂點(diǎn)為思考其大致的圖像是開口向上的.給出的四個(gè)答案都是b與-2的關(guān)系，將b=-2、b＞-2（或b＜-2）代入是一種較好的方法.

第一種情況是將b=-2代入，得出拋物線是y=x2-2x+1，即y=（x-1）2，其頂點(diǎn)為（1，0），正好與B點(diǎn)重合，說明取等號是可行的（也可以畫出草圖，如圖2）.

第二種情況是將b＞-2代入，假設(shè)b=0（一種取特殊值的方法），得出拋物線是：y=x2+1.

可以確定該拋物線與AB段和AC段有交點(diǎn).其圖像如圖3所示.

綜合這兩種情況不難發(fā)現(xiàn)，本典例的正確答案是b≥-2，C正確.

圖2

圖3

不可否認(rèn)，這種方法是行之有效的，不需要復(fù)雜的演算，也是學(xué)生樂意接受的.數(shù)學(xué)上的特殊值代入法是一種較簡便的驗(yàn)證方法，但絕不能證明命題的正確性.要證明命題的正確性，仍然需要演算的過程，是一種不折不扣的推理過程，縝密、科學(xué).

三、感悟一點(diǎn)典例的突破原則

對案例的思考是不斷反思的過程.傳統(tǒng)的方法是不能厭棄的，而快速突破是學(xué)生在中考考場上必備的素質(zhì).如何才能讓學(xué)生在中考備考中具有這方面的素質(zhì)呢？

第一，培養(yǎng)學(xué)生分析題干的能力.讓學(xué)生在題干中找到關(guān)鍵詞、數(shù)學(xué)特征，如在典例中，學(xué)會分析二次函數(shù)y=x2+bx+1的圖像具有的相關(guān)特征，對稱軸為直線x=-，其頂點(diǎn)為思考其大致的圖像是開口向上的.學(xué)生掌握這些基本特征對畫出簡單的草圖有很大的幫助.

第二，培養(yǎng)學(xué)生分析選項(xiàng)的能力.讓學(xué)生對選項(xiàng)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得出可控的范圍，如典例中的四個(gè)選項(xiàng)，可以分割成b=-2、b＞-2和b＜-2這三種形式，在數(shù)值的連續(xù)性上是b＞-2、b=-2、b＜-2，b=-2作為一個(gè)點(diǎn)可以與b＞-2或b＜-2聯(lián)立.

第三，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法的能力.典例中的二次函數(shù)與三角形可以采用直接辯證法和間接圖解法的基本數(shù)學(xué)思想.讓學(xué)生學(xué)會根據(jù)題干所給條件，直接計(jì)算、推理，得出正確答案，這就是直接利用數(shù)學(xué)推理證明，而根據(jù)題干提供信息，繪出圖形，從而得出正確的答案，這種間接的思維方法則體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

第四，培養(yǎng)學(xué)生思辨巧奪的能力.在案例中更多地注重了討論的方法.這種討論的方法也是數(shù)學(xué)的基本方法.將不同的結(jié)果有效統(tǒng)一起來，需要借助數(shù)學(xué)的思想.比如，在前面建立一套解決典例的模型途徑部分談到了二次函數(shù)y=x2+bx+1與△ABC各邊有解時(shí)就用了分類討論，最終將三個(gè)關(guān)于b的解放在一起形成解集.這正是先分項(xiàng)討論、最后整合討論的數(shù)學(xué)思想.

總之，數(shù)學(xué)是一門深奧的科學(xué)，知識浩瀚無窮無盡，筆者也是常思常新.我堅(jiān)信，在新的一輪備考中，只要讓學(xué)生在潛移默化中形成這四種能力，就一定能夠在中考的戰(zhàn)場上一往無前.