錯解：引領(lǐng)學(xué)生思維的助推器

筅江蘇省儀征市第三中學(xué) 余啟宏

學(xué)習(xí)向來是一項艱苦的腦力勞動，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中一定會遇到這樣或那樣的問題，其實學(xué)習(xí)過程也是一個不斷學(xué)習(xí)、不斷反思、不斷糾錯、鞏固深入、從失敗走向成功的過程，教師應(yīng)關(guān)注這個過程中的每一個細節(jié)，尤其是當學(xué)生對知識的認識有所偏差時，教師應(yīng)有效地幫助學(xué)生“撥亂反正”，讓學(xué)生從錯誤中感悟正確.那么，如何讓學(xué)生認清錯誤，快速、有效地走向成功呢？筆者認為，在教學(xué)過程中巧設(shè)題目錯解，是引領(lǐng)學(xué)生思維的助推器.

一、在易漏點處“設(shè)錯”，引領(lǐng)學(xué)生思維

在學(xué)生的日常作業(yè)中，經(jīng)常會出現(xiàn)一些似是而非的錯誤，這些錯誤往往源自遺漏某些制約條件，而學(xué)生又自以為非常正確，這時教師可以多選擇一些這樣的典型問題，在教學(xué)中以“錯解”展示在學(xué)生面前，讓學(xué)生反思錯解，糾正錯解，以此引領(lǐng)學(xué)生思維，以增強學(xué)生對錯誤的免疫力，從而使他們?nèi)遮呁晟疲倜軣o一疏.尤其是在易錯點處“設(shè)錯”，不僅能引發(fā)學(xué)生獨立思考的探究興致，更能加深他們對數(shù)學(xué)問題的理解和掌握，以達到正本清源、深化思維的目的.

在教學(xué)中，我們經(jīng)常發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在解題時往往只重視明顯條件，忽視隱含條件，尤其是對于某些綜合性問題，雖然解題的大方向能把握住，但在某些細節(jié)上因考慮問題不周全而“失之毫厘，謬以千里”.例如，在解有關(guān)二次方程與二次函數(shù)的問題時，學(xué)生往往忽略二次項系數(shù)不為0、根的判別式Δ≥0、頂點位置等這些隱含條件，致使最終答案有誤.為此，我在習(xí)題課上設(shè)置了如下錯解，并通過投影儀展示給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生探討.

例1已知關(guān)于x的一元二次方程x2-x-1=0有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)k的取值范圍.

解：因為原方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以Δ＞0，即）2+4＞0，解得k＞-3.

師：這種解法對嗎？請大家積極思考，并亮出你的觀點.

生1：我感覺沒有問題，因為我也是這樣做的.

生3：對呀.被開方數(shù)必須滿足是非負數(shù)，所以這個解答忽視了這個前提條件：k≥1.

師：大家說得不錯.我們已經(jīng)看出這個答案犯了兩個錯誤：一是忽視無理式的意義，被開方數(shù)必須是非負數(shù)；二是不等式（2+4＞0本身成立，無需再解.那么誰來把正確答案寫出來呢？

師：出現(xiàn)這種錯解的根本原因是忽視了題目中的隱含條件，犯了顧此失彼的錯誤.同學(xué)們，你也能舉出一個容易忽視隱含條件的題目嗎？

生6：我可以！請看下面一題：已知關(guān)于x的方程kx2+8x-1=0的兩個根分別為x1、x2，試求x+x的最大值.我在這里提醒大家，有些同學(xué)往往只知道應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系式，而得到錯解-兩個實數(shù)的平方和怎么會是負數(shù)呢？因為你忽視了本題的兩個隱含條件：k≠0和Δ≥0.

師：回答得很好！同學(xué)們鼓掌！以后我們在解決類似的問題時，都不要忘記題目中的隱含條件.請大家課后在作業(yè)本上把這道題完成.

教師從學(xué)生的認知現(xiàn)狀出發(fā)，設(shè)置錯解，先發(fā)制人，讓學(xué)生細心觀察，相互討論，發(fā)現(xiàn)錯誤，改正錯誤，并提出類似的問題加以防范，這遠遠比教師說教有用，這種做法能讓學(xué)生記憶更深刻，以后遇到類似問題時，可以防患于未然，同時體現(xiàn)出課堂教學(xué)中學(xué)生的主體性.

二、在概念模糊處“設(shè)錯”，引領(lǐng)學(xué)生思維

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，必須先過“概念觀”，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，幾乎每節(jié)課都涉及數(shù)學(xué)概念，學(xué)生對有關(guān)數(shù)學(xué)概念理解不透，同樣會犯模棱兩可的錯誤，比如，正數(shù)與非負，相似與位似，內(nèi)接與外切等，一字之差，往往使學(xué)生暈頭轉(zhuǎn)向.為了防止這種現(xiàn)象的發(fā)生，教師可在概念模糊處“設(shè)錯”，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯誤，改正錯誤，從而提高對錯誤的認識，提升對數(shù)學(xué)中有關(guān)概念的認識.

在多項式教學(xué)中，有些學(xué)生對因式分解這個概念理解不透，經(jīng)常會犯一些吃力不討好的錯誤，畫蛇添足，其根本原因是不知道什么是因式分解.于是，我在因式分解的習(xí)題課上設(shè)置了如下一個問題.

例2分解因式：x4-8x2+16.

解法1：原式=（x2-4）2=（x+2）2（x-2）2=（x2+4x+4）（x2-4x+4）.

解法2：原式=x2（x2-8）+16.

師：以上兩種解法對嗎？請說明理由.

生1：解法1錯誤.解法1分解完成后，又反過來進行乘法運算，從本質(zhì)上混淆了因式分解與整式乘法的區(qū)別.

生2：解法2錯誤.這種做法不叫因式分解，只能稱為代數(shù)式的恒等變形，因式分解最終結(jié)果必須是幾個因式的乘積形式，而且每個因式必須滿足不能再分解.

師：兩位同學(xué)回答得很好！這兩種錯誤大家必須防范.那么在因式分解中，還可能會出現(xiàn)什么錯誤呢？哪位同學(xué)來說說看？

生3：我來舉個“符號出錯”的例子.分解因式：-ab（ab）2+a（b-a）2-ac（a-b）2.錯解1：原式=-（a-b）2（ab+a-ac）.錯解2：原式=a（a-b）2（-b+1-c）.這里的錯解1有兩處錯誤：一是首項系數(shù)是負數(shù)時，提出“-”，后面其他各項未改變符號；二是未將另一公因式a提到括號外面來.錯解2錯在首項系數(shù)是負數(shù)時，沒有提出“-”，如果多項式的第一項系數(shù)是負的，一般應(yīng)提出“-”，使括號內(nèi)第一項的系數(shù)變?yōu)檎?在提出“-”時，多項式的各項都要變號.所以正解是：原式=-a（a-b）2（b+c-1）.

師：例子舉得很好！這個例子告訴大家：確定公因式時，如果首項的系數(shù)是負的，公因式的符號應(yīng)是“-”，并且公因式的各個因式應(yīng)是多項式各個部分的相同因式的最低次冪.提取公因式時，應(yīng)先找出所有的相同因式，以免遺漏了公因式.提取公因式后，再用公因式去除多項式所得的商作為另一因式.

從本案例可以看出，從錯解著手，引導(dǎo)學(xué)生反思錯誤的成因并加以糾錯，從這個錯誤想到另外一個錯誤，不僅糾正了某些學(xué)生對因式分解這個概念認識上的偏差，而且培養(yǎng)了他們數(shù)學(xué)思維的批判性，從失敗走向成功，能讓學(xué)生的思維更上一個臺階.

三、在解題的不完整處“設(shè)錯”，引領(lǐng)學(xué)生思維

數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目的是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，學(xué)會如何思考問題，這里包含了思維的完整性.然而，我們發(fā)現(xiàn)，由于受思維定式的影響，學(xué)生思考問題往往具有片面性，缺乏整體意識，只知其一不知其二，于是他們的解題過程往往對而不全，這主要是因為缺乏分類討論意識.例如，已知%a是實數(shù)，化簡：有些學(xué)生會默認a+2和a-1都是非負數(shù)，于是得到原式=a+2-（a-1）=a+2-a+1=3的錯解.

客觀世界是復(fù)雜的，數(shù)學(xué)世界同樣如此.為了培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深刻性、廣闊性和完整性，教師可以在學(xué)生解題的不完整處“設(shè)錯”，讓學(xué)生去辨析、認識錯誤，同樣可以達到培養(yǎng)思維完整性的目的.大家知道，分類討論思想是中考數(shù)學(xué)必考的內(nèi)容，而分類討論思想又可以滲透到任何一個數(shù)學(xué)內(nèi)容中去，例如三角形的分類：

①按邊分：

這些內(nèi)容都是訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)思維完整性的好素材.教師在教學(xué)中不妨讓這些問題的解答“缺胳膊少腿”，讓學(xué)生把缺損部分補出來，從而增強學(xué)生的分類討論意識.

在中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)課上，我給出了如下問題及解答，讓學(xué)生“捉錯”.

例3（1）⊙O1與⊙O2相切，且O1O2=5，⊙O1的半徑r1=10，則⊙O2的半徑r2是______.

（2）已知等腰△ABC一腰AC上的高BD與另一腰AB的夾角是40°，則這個等腰三角形的頂角為______.

解：（1）因為兩圓相切，所以r2-r1=O1O2.又O1O2=5，r1=10，所以r1=5.A

圖1

（2）如圖1所示，BD為腰AC上的高線，且∠ABD=40°，故∠A=50°.

生1：問題（1）中的⊙O1與⊙O2相切，從給出的數(shù)據(jù)看它們一定是內(nèi)切，但沒有明確r1與r2哪個大哪個小，因此解答時應(yīng)分兩種情況討論.

生2：問題（2）中的頂角，題目中沒有明確是銳角還是鈍角，因此解答作圖時需分類討論.

師：兩位同學(xué)一致認為，兩道題都要分類討論.下面請兩位同學(xué)分別加以訂正.

生3：對于問題（1），當⊙O1是大圓時，有r1-r2=5，即10-r2=5，所以r2=5；當⊙O2是大圓時，有r2-r1=5，即r2-10=5，所以r2=15.所以⊙O2的半徑r2是5或15.

生4：對于問題（2），需補出另一種情況，如圖2所示，BD為腰AC上的高線，且∠ABD=40°，所以∠BAC=90°+40°=130°. 因此本題的正確解是：50°或130°.

師：兩位同學(xué)的訂正完全正確，為了進一步鞏固戰(zhàn)果，哪位同學(xué)出一道用到分類討論思想的題目，把它作為今天的課外作業(yè)題？

圖2

生5：已知非直角三角形ABC中，∠A=50°，高BD和CE所在直線交于點H，求∠BHC的度數(shù).

在教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的認知水平是參差不齊的，尤其是對于分類討論問題，總有學(xué)生想法單一，把復(fù)雜問題簡單化，而讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯誤，讓學(xué)生糾錯，讓學(xué)生舉一反三，不僅減輕了教師的負擔(dān)，而且有利于學(xué)生思維的發(fā)展.

當代科學(xué)家、哲學(xué)家波普爾認為：“錯誤中往往孕育著比正確更豐富的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造因素.”教師是真理的傳播者，同時是指導(dǎo)學(xué)生糾正謬誤的使者.如何教學(xué)更有效呢？巧設(shè)題目錯解，或許是一個有效的途徑.