層次分明，邏輯連貫，解法自然
——一道九上期末壓軸題的命制與思考

筅浙江省寧波市鄞州區董玉娣中學 鄭 瑞

筆者有幸承擔了2019年本區九年級上學期期末統考卷的命制工作，現將其中第26題（壓軸題）的命制過程及思考與各位同仁分享.

一、命題立意

作為九年級上學期期末統考的壓軸題，以關注九年級核心知識和初中數學思想為前提，而浙江中考近幾年漸漸淡化了“二次函數+幾何”類型試題的考查，所以在本次命題中，結合浙教版九年級上冊相關知識內容及整卷的題型（第25題為新定義試題），確定了以“圓+相似”為核心的幾何題型壓軸.同時，明確了該壓軸題的難度要層次分明，設問要邏輯連貫，解法要自然生成，既能考查結果，又關注過程，讓靜態的知識通過圖形的承載和動態的思考做到有機融合.

二、命題過程

1.邂逅題源活水來

考慮到“降低起點，兼顧選拔”的原則，選取了浙教版九年級上冊教材中的一道例題作為創新的突破口，如圖1所示，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分線，與△ABC的外接圓交于點D，求證：DB=DC.

圖1

圖2

為了增加題目的厚度和深度，融入相似三角形和三角函數的相關知識點，改為以下⊙背景：如圖2，△ABC是⊙O的內接等腰三角形，點D是上異于A、C的一個動點，射線AD交底邊BC所在的直線于點E，連接BD交AC于點F.

2.設問磨題尋關聯

考慮到壓軸題設問的多元性，在導角推理、線段長、三角函數求值及面積關系等方面設計問題.

（1）求證：∠ADB=∠EDC.

（2）若tan∠CDE=2，

①當點C為BE的中點時，求tan∠E.

②在①的基礎上，若AD長為5，求AB的長.

（3）記AD長為m，∠BAC=30°，用含有m的代數式表示△ABC的面積與△DBC的面積之差.

磨題：此題第（1）問來源于課本，學生對此似曾相識，事實也證明，得分率不低.但我們知道壓軸題命題時對第（1）題的要求是不光要送分，而且需為解決第（2）題和第（3）題起到鋪墊作用.可是此設問下第（2）題的①與第（1）問并無關聯.雖然②中有利用它們導出∠E=∠ABD，從而達到解△ABD的目的，但是總感覺有所“失聯”.同時②中條件甚多，意圖明顯，達不到區分的目的，易使試題效度出現偏差.第（3）題是對△CDE△ABE△ADB的深入應用，在探究中發現了AB2-BD·CD=AD·AE-AD·DE=AD2，而△ABC和△BDC的面積分別與AB·AC、DB·DC及夾角∠BAC有關系，從而促成其面積之差與AD2的正相關.不足之處是，解答過程中要對三個三角形的相似關系加以闡述，也考慮過第（1）問后緊跟△ABD △CED的證明，可這樣會使題目顯得臃腫不堪.踟躕間經教研員潘小梅老師提點可作如下解答.如圖3，過點A作AH⊥CD于點H，AK⊥BD于點K，可證得△ABK △ACH，則BK=CH，AK=AH，再得DK=DH.故2DK=BD-CD.

圖3

S=S△ABC-S△DBC=S△BAD-S△CAD=BD·AK-CD·AH=AK·（BD-CD）=AK·2DK=AK·DK=x2sin∠ADB·cos∠ADB.

竟然忽略了圓中等腰三角形如此經典的轉化！無心插柳卻得此關聯，豁然開朗.何不朝著全等的方向鋪設兩個問題？結合從特殊到一般的思想，設問如下：已知BD⊥AC，BD=7，CD=3，①求線段DF的長；②求的值.細思又不妥，①中的垂直條件，提示較為隱晦，不易想到全等構造，放在此問要求頗高；同時②確實承接于①，但一衣帶水，反而無法體現層次感.同時筆者對全等和相似的方法都有著無法割舍的情結，能否魚與熊掌兼得？

每次命題最煎熬的時刻莫過于此，眼里容不下瑕疵，因為一直堅信可以更加完美.在這樣的心理作用下，執著于那一絲“小確幸”，最終定稿如下.

（1）求證：∠ADB=∠CDE.

（2）若BD=7，CD=3，

①求AD·DE的值；

②如圖5，若AC⊥BD，求tan∠ACB.

圖4

圖5

3.一題多解三線牽

從閱卷情況來看，前兩問的解答相對固定，得分率也在預料之中，而后兩問，方法眾多，主要可以從三條線展開.

（1）全等構造形割補.

關注到AB=AC，∠ABD=∠ACD，不妨利用截長補短構造全等.

方法1：如圖6，過點A作AH⊥CD于點H.

易得△ABF △ACH.則BF=CH，AF=AH.

由 ∠ADB=∠CDE=∠ADH，易得DF=DH.

DF=BD-BF=BD-CH=BD-（CD+DH），即2DF=BDCD=7-3=4，DF=2，BF=5.

圖6

方法2：圓內接三角形為等腰三角形，不妨作底邊的中垂線.如圖7，連接AO并延長交BD于點M，連接CM.

圖7

則MF=DF，即AC是線段MD的中垂線.

則BM=CM=CD=3，則MF=DF=2，即tan∠ACB=

方法3：如圖8，延長BD至點H，使得DH=CD，則BH=10.

則AB=AC=AH.

又AC⊥BH，則BF=5，FD=2.

圖8

那么，真的只有構造全等的方法嗎？畢竟構造是比較靈巧的，且和①關聯不大，能不能順著①的鋪墊往下解決呢？其實是可以的.

（2）相似關聯量轉化.

方法4：如圖5，設AD=m，由①AD·DE=21，得DE=

則BF2-DF2=AB2-AD2=21.

設BF=n，則DF=7-n，則n2-（7-n）2=21，解得BF=n=5，所以DF=2.

壓軸問：如圖9，△ABD △AEB，所以AB2=AD·AE；△ABD △CED，所以BD·CD=AD·DE.

S△ABC-S△BCD=AB·AC·sin∠BAC-BD·CD·sin∠BDC=sin∠BAC·（AD·AE-AD·DE）=x2sin∠BAC.

圖9

圖10

所以S△ABC-S△BCD=

（3）一垂四兩撥千斤.

方法5：如圖11，連接AO，并延長交圓O于點G，連接BG、CG.

由AG是直徑，得∠ACG=90°.又BD⊥AC，則CG//BD，則B⊥G=C⊥D.

在四邊形BGCD中，CG//BD，BG=CG=CD=3，BD=7.

圖11

圖12

壓軸問：如圖12，作直徑AG，設AG與BC交于點H，作DK⊥AG于點K，tan∠ABC=tan∠CDE=. 設BH=2a，則AH=5a，AG=.因為AD=x，則AK=，所以S△ABC-S△BCD=BC·AH-BC·KH=BC·AK=×4a·=x2.

三、命題感悟

1.壓軸題的難度要層次分明

曾經聽過一個段子：數學教師用畢生功力命制一份卷子，去考才學三年且要兼顧多門科目的初三學生，情何以堪？！《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出，“學習評價的主要目的是為了全面了解學生數學學習的過程和結果，激勵學生學習和改進教師教學”，九年級上冊期末測試更是如此，承上（階段性結束）啟下（中考復習）.本題源于課本例題，逐步深入.第一問，變化的動點中有不變的角的數量關系，考查學生利用圓的相關性質導角的能力；第二問，以相似圖形為本，以線段關聯為脈，提示比較明顯；第三問，圓中互相垂直的弦如何處理？方法眾多，考查學生分析問題、解決問題的能力，層次有所提升；最后一問，著重考查由特殊到一般及轉化化歸思想.問題設置起點低，層次分明，螺旋上升，可使不同的人到達不同的階梯.

2.壓軸題的設問要邏輯連貫

眾所周知，平面幾何因其基本概念的明確性和推理論證的嚴密性，歷來是培養學生理性思維和邏輯推理能力的最好載體.章建躍先生曾指出，課堂教學要為學生構建邏輯連貫的學習過程.同樣的，壓軸題的設問在層次分明的基礎上，也需要追求邏輯的連貫性.本題中，第一問角的相等為第二問的相似三角形埋下伏筆，而乘積式的求解正是來源于相似的比例式.第三問看似構造全等不易，但相似三角形的性質應用也可以很自然地解決此問.最后一問，既可在全等的脈絡下轉化，巧妙地進行面積割補，又能在相似的基礎上，華麗轉身，殊途同歸.幾何圖形的解題之道，既是發散聯想的，又是收斂循跡的.所以壓軸題的多問設計，更應該關注其是否具有一脈相承的邏輯性.

3.壓軸題的解法要自然生成

羅增儒教授在第五屆新青年數學教師發展論壇閉幕式上談到，一題多解有兩個潛在的功能：其一，多角度審視有助于接近問題的深層結構；其二，一個問題溝通不同的知識，有助于形成優化的認知結構.但是，如果只是簡單地列出多種解法，有時反而會加重學生的負擔.筆者深有感觸.如果既能自然生成，又能一題多解，豈不美哉？此題中，三線思路不盡相同.全等的構造來源于AB=AC、∠ABD=∠ACD這兩個兼備條件，也便有了截長補短等法，再配以移形換影之術，便可叩開壓軸之問的大門.相似的一方面應用在于線段間的數量關系轉化，以形促數，盡顯代數風采，而面積表示中的乘積式也是其一部分，順道而思；直徑的添加，使得等腰梯形BGCD的出現稍顯凸兀，但是聯系最后一問，又是如此自然，△ABC與△DBC同底不等高，所以面積之差即為BC×△h，再利用三角函數在未知線段與已知量間建立聯系，從而較為接地氣地完成面積之差的求解.

壓軸試題的命制要著眼學生現有的知識水平和能力儲備，在知識融合中體現層次、連貫邏輯，并能注重解題策略和方法的自然多樣性.不斷變化創新，忍痛割愛取舍，漸進趨向合理，追求完美無瑕，這也許就是命題人的情懷.