讓小結與思考的課堂更高效
——淺談小結與思考的教學

筅江蘇省南京市六合區龍池初級中學 張開良

章節的小結與思考比較少，一學期只有幾節課，有很多老師忽視小結與思考課，還有些老師認為數學課比較少，把本節課變成作業處理課，因此，靜下心來思考本節怎樣去上很有必要.經過學習及自己的思考，我認為小結與思考課應該把握住錯題矯正、知識歸納、方法提煉、知識強化、達標檢測這幾個環節.在每個環節的處理中，我們要注重基礎知識的鞏固、掌握基本技能、滲透數學思想、積累活動經驗.同時，不斷提高學生分析問題的能力、解決問題的能力、發現問題的能力和提出問題的能力，還要培養學生的核心素養.高效課堂，是高效型課堂或高效性課堂的簡稱，顧名思義，是指教育教學效率或效果能夠有相當高的目標達成的課堂，具體而言，是指在有效課堂的基礎上，完成教學任務和達成教學目標的效率較高、效果較好，并且取得教育教學的較大影響力和社會效益的課堂.為了讓小結與思考課更高效，我們應該從以下幾個環節把握好課堂教學.

一、通過錯題分析，矯正本章易錯知識

學生在學習的過程中，很容易出現各種各樣的錯誤.這可能是由于學生對基礎知識掌握得一知半解，或解題時粗心大意，或犯習慣性錯誤等.問題的及時矯正，能迅速糾正錯誤，達到固化知識的作用.利用小結與思考這節課能進一步矯正典型錯誤，達到復習的預期效果.要想達到課堂高效，教師應在課前發現一些典型錯誤，以及各種錯誤原因的分析，以便上課時實現課前的預見性.上課時，教師不僅要注意突出重點，突破難點，還要重視課后有針對性的鞏固練習.

題1：如圖1，在網格中，tan∠B= ________.

部分學生的做法如下：

圖1

圖2

圖3

圖4

題2：如圖4，已知在△ABC中，∠CAB=120°，AB=4，AC=2，求BC的長.

部分學生的錯誤做法如下：

解：如圖5，過點A作AD⊥BC于點D.

圖5

通過對題1的展示，首先讓大家找錯誤，一定會有成績優秀的學生告訴大家，共同錯誤是構造的圖形不是直角三角形.通過題2的展示，學生會知道作垂直構造直角三角形，但是學生想當然認為AD是∠CAB的角平分線.通過兩道題有針對性的講解，學生定會加深理解三角函數的概念，同時會清楚求三角函數的值的前提是在直角三角形中.題2的正確解法應該是通過對120°進行轉化，過點C作AB邊上的高（如圖6）.總之，典型錯誤分析，加深了學生對概念的理解，啟發學生把已知條件進行轉化，大大提高了學生分析問題和解決問題的能力，達到知錯能改的目標.

圖6

二、通過問題解決，搭建本章知識網絡

數學的學習過程不是簡單的知識積累過程，而是一個認知過程，是學生調動已有的知識和經驗對新的概念、原理進行選擇、推理、判斷等同化新知識，使數學知識結構內化為學生認知結構的過程.所謂數學的認知結構，是學習者頭腦中的數學知識結構，即數學知識結構通過內化在學習者頭腦中形成的觀念和組織.所以小結與思考課中的一個環節應該是本章知識的網絡化、結構化.我們不僅要讓本章知識結構化，還要和所學過的知識進行嫁接、進行數學樹的生長.知識網絡化有幾種方法：通過基礎題的鞏固，由知識到知識歸納再到知識結構化；通過問題的變式以達到知識結構化；通過圖形改變到知識的變化再到知識結構化.下面是基礎題到知識的結構化的例子.

基礎題鞏固進行結構化：

題1：如圖7，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=3，則tan∠A= _______.

圖7

圖8

題2：如圖8，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，b=5.解這個直角三角形.

題3：如圖9，為測量松樹AB的高度，一個人站在距松樹15米的E處，測得仰角為52°，已知人的高度是1.72米，求樹高（精確到0.1米）.（tan52°≈1.28，sin52°≈0.79，cos52°≈0.62）

圖9

我們在進行銳角三角函數的小結與思考時，提供3道基礎練習題.通過題1的解決及問題追問，我們可以回顧三角函數的基本概念.通過題2的練習，我們可以回顧解直角三角形的基本概念，還可以引申出解三角形的概念.通過題3的練習，讓學生學會實際問題數學化，還可以總結應用的結構.

我們通過基礎練習的鞏固，一方面能夠鞏固基礎知識、基本技能，另一方面為知識的變式或拓展提供基礎和變換源，更能建構知識網絡.通過基礎題的練習，能更直觀地歸納出知識點，也便于勾畫出知識的網絡.

三、抓住章節核心習題，提煉思想方法

數學思想方法蘊含在數學知識形成、發展和應用的過程中，是數學知識和方法在更高層次上的抽象與概括，我們可以通過抽象、分類、歸納、演繹、模型等，在學生積極參與數學活動的過程中，通過獨立思考、合作交流，逐步感悟數學思想.數學思想方法是數學的靈魂，它不僅是數學知識的重要組成部分，而且是數學發展的源泉與動力.而本章的小結與思考，更應該集中體現章節的思想方法.

題4：如圖10，在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，∠C=120°，AD=2m，CD=1m，求AB.

學生獨立思考，定會想到構造直角三角形，也會想到圖11所示的作圖方法，同時對圖11所示的作圖方法進行總結，就是對圖形進行“割”，由割學生也會想到另一種作圖方法，過點D作DF∥BC（如圖12），由割學生還會想到相對應的“補”，順勢而下學生就會想到構建矩形ABFD（如圖13），或者延長AD和BC構建三角形（如圖14）.學生很容易通過本題的解決發現：構造直角三角形的基本方法是“割”和“補”.數學思想方法是在解題過程中慢慢形成的，它伴隨著數學知識體系的建立而確立，它是數學知識的靈魂，它是數學中具有奠基性、總括性的基礎部分，含有傳統數學思想方法的精華和現代數學思想方法的基本點，它的內容是隨數學內容的發展而發展的.

圖10

圖11

圖12

圖13

圖14

四、通過典型例題的講解，鞏固本章重點知識

例題是聯系基礎知識和基本技能的橋梁.例題教學是學生理解、掌握和運用概念、法則、性質、定理、方法、思想的必要過程，是學生將數學知識和技能轉化為能力的必要途徑和手段.有效的例題教學，不僅能使學生熟悉數學基礎知識在解題過程中的作用，反過來也會加深學生對基礎知識的領會和理解，更好地掌握解題技能，促進數學素養的提高.總之，選擇章節的典型例題，更能鞏固本章的重要知識.

題5：汶川地震后，搶險隊派一架直升機去A、B兩個村莊搶險，直升機在距地面450米上空的P點，測得A村的俯角為20°，B村的俯角為60°（如圖15）.求A、B兩個村莊間的距離（結果保留根號）.

圖15

圖16

這道例題可以轉化為圖16所示的基本圖形，然后設PC為x，以AB=AC-BC作為等價關系，借助邊角關系，選擇正切分別用含x的代數式表示AC和BC，最后求出x的值.也可把∠A的度數用α來表示，∠PBC的度數用β來表示，AB用字母a來表示.最后依然借助于方程思想來表示出PC的長度（如圖17）.也可以通過對圖17進行變換，把△PBC進行翻折，得到圖18，我們繼續用圖17的方法進行推導，可以得到一般性的結論.本題既能鞏固本章的重要知識點，又可以培養學生的模型思想和應用意識.同時，能讓學生掌握一類題型的一般性結論，達到觸類旁通的效果，真正讓學生掌握章節的核心知識.

圖17

圖18

五、通過課堂達標檢測，深入鞏固本章知識

課堂達標檢測是教學活動的一個重要組成部分，既是教師獲得教學效果的反饋，提升教學質量的重要措施，也是學生掌握知識、形成技能、開發智力、培養能力的主要途徑，是學生學習過程中不可或缺的重要環節.掌握正確的練習方法，可以加快學生學習知識、鞏固知識及應用知識的過程.所以一節課必須有課堂達標檢測部分.學生邊練、邊思考，教師也可以邊巡視、邊糾正部分學生的錯誤，還可以幫扶差生，從知識和情感上拉近師生之間的關系.用好課堂檢測定會事半功倍，達到預期目標.

經過五個環節的鞏固，內容由易到難，層次清楚，環環相扣，突出知識的生長與延伸，還能把本章的知識和初中的數學知識聯系到一起，固化所學知識，提升學習數學的能力，培養了能力，提高了學習數學的興趣.考特說“數學是人類智慧皇冠上最燦爛的明珠”.數學難學，難于上青天，但是我們能循序漸進地引導學生主動學習，學生扎扎實實地打好基礎，練好基本功，這是學好數學的秘訣.高效課堂也就慢慢形成了.