寄與冪函數教學中的核心素養培養

陳新

摘 要：當下教育聚焦核心素養、教學要培養學生的核心素養。而核心素養的培養離不開學生對知識的認識探索過程，離不開數學研究的方法。每個數學概念的產生都有它的必要性與合理性，有些概念的產生還經歷了一個漫長的過程，概念所隱含的性質更是不斷發現總結的結果。本文就本人的一節冪函數公開課的教學談幾點感悟。

關鍵詞：核心素養、冪函數、自主探究

一、問題背景設計，彰現概念產生的必要性

概念教學需讓學生了解概念產生的必要性，讓學生切身感悟到問題需要解決，知識需要延伸，進而激起學生的求知探新欲望，激發學生的興趣，培養學生科學的研究精神。

冪函數的背景引入，我則采用學生熟悉的"教材p59頁3.1節指數函數引入時列舉的細胞分裂實例"，并將之作簡單改編：

（1）某細胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個，4個分裂成8個，……，想一想，若1個細胞分裂x次后，相應的細胞個數y為多少？

（2）某細胞分裂時，每一次分裂均由1個分裂成x個，共分裂2次，那么，細胞個數y為多少呢？

問題（1）的設計，讓學生通過回顧認識到y=2x為指數函數，指數函數是冪關于指數的函數。而同樣的細胞問題，改變問法的問題（2）結果變成了二次函數y=x2，雖仍為冪的形式，但自變量位置卻在了底數位置，因而不再是指數函數，而是冪關于底數的函數。

師：事實上，類似的函數在生活中大量存在。請看問題：

（3）下列實際問題反映的是什么函數？

（1）張紅購買了單價每千克1元的蔬菜x千克，她支付錢數y元，則y= ；

（2）正方體的邊長為x，則正方體的體積y= ；

所舉問題反映的函數為教學要求提出的常規的五個冪函數，背景簡明，貼近學生生活。此問題學生經思考后易發現，所得函數y=x，y=x3，y=■，y=x-1都是冪關于底數為變量的函數，其中指數為常數。

二、概念命名猜測，展示命名的合理性

在近代數學史上，公元十六世紀之前，占統治地位的是常量數學，到十六世紀，隨著歐洲過渡到新的資本主義生產方式，迫切需要天文知識和力學原理，數學也就從常量數學轉變到變量數學。這個轉折點主要是由法國數學家笛卡爾完成的，他在《幾何學》一文中首先引入變量思想，引入兩個變量之間的相依關系，到十七世紀中葉，微積分創始人之一德國數學家萊布尼茲最先使用了函數一詞，他提到了變數x的冪，如x2、x-1。后來數學界逐步形成了冪函數之說。

根據教學實際情景插入數學史，不失時機地通過PPT介紹涉及的兩位大數學家的平生，一方面解釋了冪函數名稱由來，另一方面從文化的高度，讓學生欣賞數學，透過歷史上函數和冪函數的形成過程，看到人類生生不息，為了奮斗的歷史畫卷，培養了學生的人文素養，數學情懷和研究精神。

三、概念定義探究，揭示概念的原屬性

概念教學需讓學生認識概念的深刻性。教學中通過概念背景，讓學生自行歸納定義概念，挖掘概念的內涵和外延，能加深對概念的認識，達到對概念認識的深刻性。

通過教材得到冪函數定義：形如y=xα的函數叫做冪函數，x是自變量，α是常數。

并得到："只有滿足函數解析式右邊的系數為1，底數為自變量x，指數為常數時，才是冪函數."

在此基礎上，讓學生完成題：已知y=（m2+2m-2）xm-1+2n-4是冪函數，求實數m，n的值.

學生知識的生長與素養的提高基于原有的知識基礎，和學生已清楚指數函數和對數函數定義，故可以通過類比與聯想，讓學生自己去定義冪函數。再通過去偽存真，揭示了冪函數的本質，同時加深了指數函數和對數函數定義的認識，明確了一類概念的定義形式，更有利于以后學生自己去探究新概念本質含義。

四、函數性質探究，凸現研究的方法性

函數性質發現，基于數形結合思想。可通過函數圖象觀察得出函數性質，再從代數角度進行驗證。也可直接從代數角度入手研究。關鍵要明確研究哪些性質？把握了函數的性質特征，反過來能幫助我們快捷畫出函數圖象，有利于利用函數圖象的直觀性快捷解決其運用問題。因此函數圖象與性質相互依存，相得益彰。繼指數函數和對數函數之后的冪函數，其性質探究，更須在學生靈活掌握研究方法的基礎上發現性質，探究性質。

學生通過討論，可以得出諸如以下圖象特征和性質等。

（1）所有的冪函數在第一象限都有圖象，圖象都過點（1，1）；

（2）圖象不可能在第四象限.其中為偶函數時圖象在第一二象限；為奇函數時圖象在第一三象限；非奇非偶函數只有在第一象限；

（3）指數α>0時，冪函數圖象過原點，在第一象限內為增函數圖象，且α>1時增長陡翹，0<α<1時增長緩慢；α<0時，冪函數不過原點，在第一象限內為減函數圖象。

讓學生共同觀察歸納冪函數的圖象特征與性質，是個開放性，我自教師根據學生討論結果，引導學生規范描述冪函數的圖象特征和性質。并要求學生根據冪函數的圖象特征和性質，快速畫出函數y=x-2和y=的圖象，說出其性質。

在與學生一起學習研究冪函數性質時，引導學生探究發現，共同討論，再通過學生的理性思維、批判質疑，達到培養學生"發現與提出問題、分析與解決問題"的能力，讓學生體會到探索、合作、發現的愉悅和成功的喜悅，同時讓學生把握住一類問題的研究的方法，促進學生核心素養的發展。