多元表征，讓兒童學習真正生長
——基于培育核心素養的《分數的初步認識》教學探究

江蘇海安市教師發展中心附屬小學 張春新

鄭毓信教授在《新數學教育哲學》一書中認為概念的心理表征在大多數情況下并非相應的形式定義，而是由多個成分組成的復合體，包括心智圖像、對其性質的認識與有關過程的記憶等。也就是說，“數學表征”是指用某種形式將數學概念或關系表達出來的一個過程。就學生關于抽象數學概念的表征而言，具有兩大特點:一是分散性和不一致性，在學生關于數學概念的表征中，各種成分往往沒有構成一個有機的整體，以至于很大程度上被看成同一概念的不同心理表征，在它們之間更是經常存在一定的矛盾和沖突。二是具有僵滯性。學生往往不善于在心理表征的不同側面（或者說，不同的心理表征）之間做出轉換。

因此他認為，基于學生核心素養培養的數學概念教學，應當努力幫助學生建立抽象數學概念的適當表征,由“單一表征”過渡到“多元表征”。理解概念的關鍵在于將數學概念的抽象定義的含義轉換成易于學生理解和運用的適當的心理表象。學生通過內化概念的多種表征并與已有的內在表征的相互轉換，以此促進或影響學生的數學理解，進而促進兒童數學核心素養的發展。

鑒于表征在學習過程中的重要意義，從兒童有效概念表征形成的視角分析“分數的初步認識”這一內容，筆者發現眾多的教學設計與實施都存在忽視表征的多元、發展層次，忽略表征間的轉換與轉譯、表征的全面等傾向，這些傾向將為學生進一步理解分數的意義埋下潛在障礙。兒童不能多角度地理解概念的本質內涵，就談不上數學核心素養的培養。本文擬從概念表征的視角談談筆者基于兒童數學核心素養的“分數的初步認識”教學的一些嘗試。

一、在多元表征的多向表達中，初步感受分數特征

眾多“分數的初步認識”的教學設計是建立在學生沒有接觸過分數的基礎上設計的。但是，盡管分數是個復雜的概念，學生還是具備豐富的前概念的。其實，有些學生在學習分數之前已經接觸過分數了，有的是看課本上的，有的是聽爸爸媽媽說的，還有的是課外書籍上接觸到的……我思考，與其一部分學生粗略模糊地知道，不如讓所有學生都課前先學，讓學生課前先感知分數，帶著自己對分數的初步理解在課上交流、碰撞、提升……那么，怎樣把學生對分數的初步理解用外在的方式表征出來，以了解學生的理解程度呢？ 針對三年級學生的年齡特點、學習特征，我設置了這樣的課前學習單：

讓學生嘗試對它們進行初步表征，結果學生們出現多種多樣的表征：

圖1

圖2

圖3

不同的表征可以提供不同的信息，支持不同的認知建構過程，如果學生表征形式過于單一，則會影響他們對數學的深度加工，進而影響后續學習。學生個體的表征是有差異性的，這就需要我們在數學學習中，重視對學生表征形式的展示和交流，讓學生在形成自我表征特點的基礎上，能夠積極吸納他人的表征形式，并在今后的學習中嘗試運用，提升表征的豐富性。

二、在多元表征的逐步抽象中，初步建立分數模型

外在個體單一的表征在交流討論、互相學習的過程中逐步豐富起來。多元化的表征豐富了學生的視野，在此基礎上，還需要引導學生深入思考，對多元化的表征進行分析比較、抽象概括，找出蘊含在豐富表征后面的數學本質，促使學生進行深度思考，提升表征的層次。

教學片段1

……

師：這些圖形不同，涂色部分的形狀和位置、大小也不一樣，為什么都用表示呢？

生1：因為它們都是平均分成了2份，涂了其中的1份。

生2：不管它是長方形、正方形、圓、三角形、梯形，只要是平均分成了2份，每份就是它的

生1：不是，它沒有平均分成2份。

師：是的，平均分很重要，它是表示分數的前提，丟了“平均”，就成不了分數了。

……

生3：看來，我們的（ ）里不僅可以是長方形、正方形等圖形，還可以是一個蘋果、一個西瓜、一個大餅等。

生4：是的，不管是圖形，還是物體，只要是把它平均分成2份，每份就是它的

生1：都是平均分成了4份，涂了其中的1份。

生2：我覺得不管是圖形，還是物體，雖然形狀大小都不一樣，但只要是平均分成4分，每份就都是它的

生展示。

師：你們有什么想說的嗎？

生：不管是什么圖形，還是物體，只要平均分成8份，每份都是它的

生1：要表示分數，首先要平均分。

生2：我發現不管是什么形狀的物體還是圖形，只要把它平均分成幾份，分母就是幾，取幾份，分子就是幾。

生3：我發現，把一個物體或圖形平均分成幾份，其中的1份就是它的幾分之一。

（師板書）

生2：我看到把一個長方形平均分成了9份，每

師：（隨即出示）你能給它們找找朋友嗎？

……

三、在多元表征的自覺轉換中，逐漸內化分數認識

基于數學表征在數學學習中的交流和認知的作用，萊旭將布魯納的分類發展為五種，即書面（文字）符號、口頭語言（口語符號）、操作性模型（模式）、圖形（圖像）、實物（實際生活情境），并強調，它們之間不一定存在先后的發展順序，主要應重視它們之間的轉換與相互影響，因為這種轉換與影響對學生的概念形成和理解有重要意義，體現了邏輯思維與非邏輯思維的互補。

教學片段2：

（生討論交流）

生2：一個長方形大餅，平均分成2份，其中的1份比把它平均分成4份其中的1份大，所以大。（其他同學都連連點頭）大家看。（出示所畫圖形）

生3：我畫的是同樣一個圓，平均分成2份，其中的1份也比把它平均分成4份中的1份大。

……

生5：同樣大的東西，平均分的份數越多，每份就越小。

……

學生在進行分數比較的過程中，已經自覺地將符號化表征轉換為圖形表征，并通過圖形表征的形象性幫助思考分數大小，在此基礎上又自覺地轉換為符號表征確定大小。在這一過程中，學生已經能在符號化表征和圖形表征之間自覺自如地轉換，并通過自覺轉換靈活地解決了問題，兩種轉換已經水乳交融。轉換與轉譯的過程，既有助于學生在兩種表征內在的、必然的聯系中靈活地解決問題，對幾分之一之間的關系理解得更為深刻，又促進了他們形象思維、直覺思維、邏輯思維的發展。

四、在多元表征的整體聯系中，完善認知結構

學生在學習分數之前，學習的是整數，在整數的世界里，學生對數的整體表征是這樣的：0,1,2,3,4……也就是說1后面是2,2后面是3……有了分數以后，數的結構發生了變化，這時應及時地擴充學生已有的數的表征，在分數與整數表征的整體聯系中，進一步完善學生大腦中關于數的認知結構，使得學生對數的表征更全面。

教學片段三：

師：現在你能將以上這些數按從小到大的順序排列嗎?在自己的練習紙上排一排。

師：你能把它們填到下面的線上嗎？

師：閉上眼睛想一想它們的大小。3塊蛋糕，2塊蛋糕，1塊蛋糕，塊蛋糕，塊蛋糕，塊蛋糕，蛋糕慢慢變小，慢慢怎么了，最后怎么了？ （邊說邊出示對應的圖）

生：蛋糕慢慢變小了，最后沒有了，也就是0。

師：原來我們數數,0后面是1，1后面是2，現在0后面是1嗎？

生：不是?，F在0和1之間有了許多分數。

生：那么1和2、2和3之間是不是也有許多分數？

師：是的，后面我們會認識許許多多新的分數。

生：我知道了，今天我們學的分數都比0大、比1小，后面我們還會學習大于1的分數。

在這一環節中，分數的表征和整數的表征有機結合，給學生很好的整體性表征和結構化思維，學生原有的認知結構得到及時擴充，更加完整，更加系統，更加精細。在整體表征分數和整數時，再進一步將整體的符號表征轉換為圖形表征，這時的圖形表征由原先“率”的表征轉換為“量”的表征，角度自然地轉換，又提高了一個層次，變為分數、整數有機結合的整體的圖形表征，學生在生動形象的圖形表征中感受到數逐漸變小，與整體符號表征融為一體，促進了學生對整體表征的進一步感受和理解。在此基礎上，學生進一步思考“0和1之間有許多分數，1和2、2和3之間也有許多分數嗎”，激發繼續學習分數的興趣。

總之，在學習“認識分數”的過程中，順應學生的學習心理，學生經歷了概念表征的逐步豐富、抽象、內化、完善，對分數的理解逐步深入，認知結構進一步擴充，學生的數學學習真正發生了，這時的數學學習充滿了生長的力量，學生的數學核心素養在其中得到培養。