Buck型變換器非奇異固定時(shí)間滑模控制

(浙江工業(yè)大學(xué) 信息工程學(xué)院， 杭州 310023)

0 引言

DC/DC變換器廣泛應(yīng)用于需要直流電壓變化或供電的直流設(shè)備，比如，工業(yè)電子設(shè)備，通信設(shè)備和直流電機(jī)驅(qū)動(dòng)器等。Buck型降壓變換器是DC/DC變換器的主要拓?fù)渲唬哂薪Y(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，穩(wěn)定性高，易于分析等優(yōu)點(diǎn)，常用于將需要高直流輸入電壓轉(zhuǎn)換為低直流輸出電壓的場(chǎng)合。由于Buck型降壓變換器是非線性時(shí)變系統(tǒng)，因此高性能控制策略的設(shè)計(jì)通常是一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題。目前，已有不少非線性控制方法應(yīng)用于Buck變換器，如滑模控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、模糊控制[1-3]。 在眾多方法中，滑模控制因其魯棒性好，穩(wěn)定性高，且易于實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)受到了廣泛關(guān)注。文獻(xiàn)[1]設(shè)計(jì)了基于滑模控制理論的輸出反饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器用于DC/DC變換器的輸出電壓控制。文獻(xiàn)[2]設(shè)計(jì)了一種實(shí)用的滑模控制器并應(yīng)用于Buck變換器。針對(duì)滿足無(wú)源性的DC/DC變換器，文獻(xiàn)[4]設(shè)計(jì)了一種全局滑模控制策略，減弱了滑模控制器的固有抖振現(xiàn)象，提高了Buck變換器的系統(tǒng)性能。文獻(xiàn)[5]提出了一種基于super-twisting微分器(STD)的滑模控制器，僅需獲取輸出電壓值即可實(shí)現(xiàn)Buck變換器的穩(wěn)壓控制，無(wú)需額外設(shè)計(jì)電流反饋電路。由于傳統(tǒng)滑模在趨近運(yùn)動(dòng)階段耗時(shí)較長(zhǎng)，且存在嚴(yán)重的抖振現(xiàn)象，文獻(xiàn)[6]提出了一種新型趨近律控制方法，有效縮短了滑模控制中趨近運(yùn)動(dòng)所需時(shí)間，并抑制了傳統(tǒng)滑模控制器的固有抖振現(xiàn)象。然而，普通線性滑模只能保證系統(tǒng)狀態(tài)變量在無(wú)限時(shí)間內(nèi)無(wú)限接近平衡點(diǎn)。因此，為獲得更好的跟蹤性能，近幾年來(lái)，在開(kāi)關(guān)電源領(lǐng)域，已有不少文獻(xiàn)基于終端滑模理論設(shè)計(jì)了有限時(shí)間控制算法以保證系統(tǒng)狀態(tài)變量在有限時(shí)間內(nèi)可以收斂到平衡點(diǎn)。文獻(xiàn)[7]基于終端滑模理論設(shè)計(jì)了有限時(shí)間滑模控制器，實(shí)現(xiàn)了Buck變換器輸出電壓的快速收斂。同時(shí)，文獻(xiàn)[8-9]針對(duì)Buck型降壓變換器中存在的不匹配干擾和負(fù)載突變問(wèn)題，設(shè)計(jì)了自適應(yīng)有限時(shí)間控制器，提高了系統(tǒng)的魯棒性。文獻(xiàn)[7-9]中有限時(shí)間控制器均可保證Buck變換器的輸出電壓誤差在有限時(shí)間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn)，但其收斂時(shí)間上界與系統(tǒng)狀態(tài)變量初始值有關(guān)，即系統(tǒng)收斂時(shí)間上界隨系統(tǒng)狀態(tài)變量初始值的變化而變化，無(wú)法獲取準(zhǔn)確的系統(tǒng)狀態(tài)變量收斂時(shí)間上界值。因此，針對(duì)有限時(shí)間控制算法存在的問(wèn)題，文獻(xiàn)[10]首次提出了固定時(shí)間控制理論，保證系統(tǒng)狀態(tài)變量能在固定時(shí)間內(nèi)從任意初始位置收斂到平衡點(diǎn)，其收斂時(shí)間上界不再依賴系統(tǒng)狀態(tài)變量初始值而僅與控制參數(shù)有關(guān)。目前，固定時(shí)間控制方法已在電力系統(tǒng)、航空航天、多智能體等多個(gè)領(lǐng)域得到了應(yīng)用[11-14]。在實(shí)際電路運(yùn)行時(shí)，Buck型變換器中的電感、電阻、電容等系統(tǒng)參數(shù)可能會(huì)受到溫度等不確定的環(huán)境因素的影響而發(fā)生變化。上述文獻(xiàn)中大多需要已知系統(tǒng)模型的相關(guān)參數(shù)，而對(duì)于系統(tǒng)存在參數(shù)不確定的情況研究較少。

針對(duì)存在參數(shù)不確定的Buck變換器系統(tǒng)，提出了一種非奇異固定時(shí)間滑模控制方法。首先，設(shè)計(jì)非奇異終端滑模面及固定時(shí)間控制器，保證系統(tǒng)輸出電壓誤差在固定時(shí)間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn)的鄰域內(nèi)，且其收斂時(shí)間上界與系統(tǒng)初始狀態(tài)無(wú)關(guān)，僅與控制參數(shù)有關(guān)。其次，設(shè)計(jì)自適應(yīng)更新律對(duì)系統(tǒng)的不確定干擾上界進(jìn)行在線估計(jì)，從而抑制不確定項(xiàng)干擾對(duì)系統(tǒng)的影響。 最后，通過(guò)李雅普諾夫定理分析Buck變換器系統(tǒng)輸出電壓誤差的收斂性能。

1 模型描述

Buck型降壓變換器工作原理如圖1所示。

圖1 Buck電路原理圖

其中:iC為電容電流，Vo為輸出電壓，Vin為輸入電壓，D是續(xù)流二極管，R是輸出負(fù)載電阻，SW是功率開(kāi)關(guān)管，C為電路輸出電容，L為功率電感，u是控制器輸入，即為開(kāi)關(guān)管SW的占空比，滿足u∈[0,1]。Buck型降壓變換器存在以下兩種工作狀態(tài)：1)當(dāng)功率開(kāi)關(guān)管SW導(dǎo)通時(shí)，續(xù)流二極管D反向截止，輸出負(fù)載電阻R由輸入電源供電，同時(shí)功率電感L處于充電狀態(tài)，電感電流iL隨著時(shí)間以(Vi-Vo)/L速率增大。當(dāng)電感電流iL比輸出電流平均值Io大時(shí)，輸出電容C充電，吸收能量；2)當(dāng)功率開(kāi)關(guān)管SW截止時(shí)，續(xù)流二極管D導(dǎo)通，輸入電源與輸出負(fù)載電阻R之間的回路被斷開(kāi)，而由于功率電感L的存在，電感電流iL不會(huì)發(fā)生突變，因此功率電感L-續(xù)流二極管D-輸出電阻R構(gòu)成電流回路，功率電感L通過(guò)該回路向輸出端負(fù)載電阻R輸送能量；此時(shí)電感電流iL以Vo/L速率減小，在當(dāng)電感電流iL大于或等于輸出平均電流Io時(shí)，輸出電容C充電，吸收電感釋放的部分能量；當(dāng)電感電流iL小于輸出平均電流Io時(shí)，輸出電容C開(kāi)始放電，為負(fù)載電阻R提供部分能量。Buck型降壓變換器通過(guò)調(diào)節(jié)功率開(kāi)關(guān)占空比實(shí)現(xiàn)輸出電壓收斂到參考電壓，并保持穩(wěn)定。

選取x1=Vo-Vref為Buck型降壓變換器系統(tǒng)輸出電壓誤差，x2=iC為輸出電容電流，Vref為參考輸出電壓；在連續(xù)導(dǎo)通模式下，Buck變換器系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型可得如下[2]:

(1)

本文的控制目標(biāo)是設(shè)計(jì)控制器實(shí)現(xiàn)Buck變換器輸出電壓誤差x1在固定時(shí)間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn)的鄰域，并通過(guò)對(duì)擾動(dòng)上界的自適應(yīng)估計(jì)，有效抑制不確定干擾對(duì)系統(tǒng)的影響，提高其控制性能。

2 固定時(shí)間自適應(yīng)控制

2.1 控制器設(shè)計(jì)

針對(duì)存在參數(shù)不確定性的Buck型降壓變換器系統(tǒng)，構(gòu)造非奇異固定時(shí)間滑模面，并在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)固定時(shí)間滑模控制器，保證系統(tǒng)輸出電壓誤差能在固定時(shí)間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn)的鄰域內(nèi)，且其收斂時(shí)間上界僅與系統(tǒng)控制參數(shù)有關(guān)。設(shè)計(jì)非奇異固定時(shí)間滑模面如下:

s=x1+(κx2)q1/p1

(2)

根據(jù)式(1)和式(2)可知，滑模面s的時(shí)間導(dǎo)數(shù)為:

(3)

其中:φ=q1p1-1(κx2)q1 /p1 -1≥0。

在電路設(shè)計(jì)過(guò)程中，由于電容、電感、電阻等電路元件的測(cè)量值與真實(shí)值存在誤差，因此 Buck降壓變換器中存在不確定項(xiàng)干擾ρ(x1,x2)，并且該不確定干擾ρ(x1,x2)滿足如下關(guān)系式:

ρ(x1,x2)=-κΔF(x1,x2)-ΔM(x1,x2)≤

ρ1+ρ2|x1|+ρ3|x2|2

(4)

根據(jù)式(1)與式(3)可得，固定時(shí)間滑模控制器u設(shè)計(jì)為:

u=κ-1Mo(x1,x2)+Fo(x1,x2)-

(5)

(6)

其中:γi、ηi為正常數(shù)。

2.2 穩(wěn)定性證明

引理1[13]對(duì)于任意實(shí)數(shù)ξ1,ξ2,…,ξm≥0，有以下不等式成立:

(7)

(8)

其中:0

引理2[14]:對(duì)于任意正常數(shù)δ>1/2，有以下不等式成立:

(9)

引理3[11]:考慮如下非線性系統(tǒng):

(10)

其中:x(0)=0，F(xiàn)(0)=0，x∈Rn；假設(shè)存在李雅普諾夫函數(shù)V(x)，滿足下式:

?

(11)

其中:α>0，0

引理4[12]:考慮如式(10)非線性系統(tǒng)，假設(shè)存在李雅普諾夫函數(shù)V(x)，滿足下式:

?

(12)

其中:β>0，g>1，則系統(tǒng)固定時(shí)間穩(wěn)定，且V(x)可收斂至平衡點(diǎn)的鄰域內(nèi)，且該鄰域滿足下式:

(13)

其中:θ是常系數(shù)且滿足0<θ<1，則系統(tǒng)狀態(tài)變量收斂時(shí)間上界滿足下列不等式關(guān)系:

(14)

定理1:針對(duì)Buck變換器(1)，采用滑模面(2)、控制器(5)和自適應(yīng)更新律(6)，則上界參數(shù)估計(jì)誤差有界，系統(tǒng)輸出電壓誤差x1在固定時(shí)間內(nèi)從任意初始位置收斂到平衡點(diǎn)的鄰域內(nèi)，其收斂時(shí)間上界與系統(tǒng)狀態(tài)變量初始值無(wú)關(guān)，僅與控制參數(shù)有關(guān)，其收斂時(shí)間滿足如下關(guān)系:

t≤Tmax=T1+T2

(15)

證明:構(gòu)造如下李雅普諾夫函數(shù):

(16)

對(duì)V求時(shí)間導(dǎo)數(shù)，并將式(3)代入，可得:

(17)

將式(4)、控制器(5)與更新律(6)代入式(17)有:

(18)

根據(jù)文獻(xiàn)[14]所給出的證明方法，式(18)改寫(xiě)為:

(19)

其中:δi>1/2，δi為正常數(shù)，i=1,2,3。

此時(shí)，為便于證明在所提控制方法下系統(tǒng)的固定時(shí)間收斂性能，將狀態(tài)空間劃分為兩個(gè)區(qū)域，即Φ1={(x1,x2)|φ>1}、Φ2={(x1,x2)|φ≤1}。

1)當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)變量在區(qū)域Φ1時(shí)，據(jù)引理1與引理2可知，式(19)可改寫(xiě)為:

(20)

(21)

由式(21)與引理4可知，系統(tǒng)輸出電壓誤差x1可以在固定時(shí)間T1內(nèi)到達(dá)滑模面s=0的鄰域內(nèi)。

2)當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)變量在區(qū)域Φ2時(shí)，如文獻(xiàn)[13]中所述，系統(tǒng)狀態(tài)變量軌跡會(huì)從區(qū)域Φ2進(jìn)入?yún)^(qū)域Φ1，而不會(huì)停留在Φ2。此外，系統(tǒng)狀態(tài)變量在區(qū)域Φ2內(nèi)停留時(shí)間很短。因此，系統(tǒng)狀態(tài)變量在區(qū)域Φ2停留時(shí)間在計(jì)算系統(tǒng)收斂時(shí)間時(shí)幾乎可以忽略。

由1)、2)可得，系統(tǒng)輸出電壓誤差x1在固定時(shí)間T1內(nèi)收斂到s=0的鄰域。當(dāng)?shù)竭_(dá)滑模面s=0的鄰域時(shí)，系統(tǒng)輸出電壓誤差x1滿足如下關(guān)系:

(22)

根據(jù)式(22)與引理4可知，Buck型降壓變換器系統(tǒng)輸出電壓誤差可以在固定時(shí)間T2內(nèi)從滑模面s=0收斂到平衡點(diǎn)的鄰域。

綜上所述，在控制器(5)和更新律(6)作用下，Buck型降壓變換器系統(tǒng)上界估計(jì)誤差有界，輸出電壓誤差可以在固定時(shí)間Tmax內(nèi)從任意初始位置收斂到平衡點(diǎn)的鄰域內(nèi)，其收斂時(shí)間上界不再依賴系統(tǒng)狀態(tài)變量初始值，僅與系統(tǒng)控制參數(shù)有關(guān)。證畢。

3 仿真分析

為了驗(yàn)證本文所提控制方法的有效性，針對(duì)存在參數(shù)不確定的Buck變換器系統(tǒng)，利用MATLAB軟件建立仿真模型進(jìn)行兩種控制方法仿真結(jié)果對(duì)比。 其中，方法一為本文所提出的非奇異固定時(shí)間自適應(yīng)控制方法，包含滑模面(2)、控制器(5)及自適應(yīng)更新律(6)。 方法二為文獻(xiàn)[14]中的非奇異有限時(shí)間自適應(yīng)控制方法，其中非奇異有限時(shí)間滑模面為:

(23)

非奇異有限時(shí)間自適應(yīng)控制器為:

(24)

自適應(yīng)更新律為:

(25)

其中:μ=q1p1-1α1-q1 /p1x2q1 /p1 -1，μ為實(shí)數(shù)。

3.1 系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置

本節(jié)仿真中Buck型降壓變換器系統(tǒng)狀態(tài)變量初始值如表1所示，系統(tǒng)控制參數(shù)如表2所示，Buck型降壓變換器系統(tǒng)參數(shù)選取為：輸入電壓Vin=10 V，額定電感值L=1 mH，額定電容值為C=1 mF，額定輸出電阻為R=10 Ω，參考輸出電壓為Vref=5 V；另外，系統(tǒng)參數(shù)不確定項(xiàng)分別為ΔR=0.1 sin(20 πt)Ω，ΔL=0.1 sin(20 πt)mH，ΔC=0.1 sin(20 πt)μF，仿真結(jié)果如圖2～4所示。

表1 系統(tǒng)狀態(tài)變量初始值

表2 控制參數(shù)

圖2 輸出電壓誤差

圖3 控制器輸入

3.2 仿真實(shí)例分析

針對(duì)Buck型降壓變換器系統(tǒng)參數(shù)存在不確定性的情況，為驗(yàn)證所提方法的固定時(shí)間收斂的特性，方法一與方法二在兩種系統(tǒng)狀態(tài)變量初始值條件下進(jìn)行仿真對(duì)比，如圖2～3所示。從圖2可見(jiàn)，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)變量初始值從初始值Ⅰ變?yōu)槌跏贾耽驎r(shí)，在方法一作用下，系統(tǒng)輸出電壓誤差x1的收斂時(shí)間基本不變，均為0.03 s左右，而方法二中的輸出電壓誤差x1的收斂時(shí)間由0.04 s變?yōu)?.055 s。如圖3所示，在初始值Ⅰ和初始值Ⅱ下，方法一的系統(tǒng)控制器輸入信號(hào)收斂時(shí)間均為0.03 s，而在方法二作用下，系統(tǒng)控制器輸入信號(hào) 收斂時(shí)間分別為0.045 s和0.055 s。針對(duì)Buck型降壓變換器系統(tǒng)中存在的不確定干擾，方法一設(shè)計(jì)了自適應(yīng)更新律以補(bǔ)償系統(tǒng)不確定干擾對(duì)系統(tǒng)帶來(lái)的影響。在初始值Ⅰ下條件下，方法一的實(shí)際干擾信號(hào)和不確定干擾上界估計(jì)值曲線，如圖4所示。從圖4可見(jiàn)，不確定干擾上界估計(jì)值能在短時(shí)間內(nèi)快速收斂，且該上界干擾估計(jì)值均在系統(tǒng)實(shí)際干擾信號(hào)之上。因此，Buck型降壓變換器系統(tǒng)不確定干擾能夠被有效抑制。此外，由式(15)可知，方法一控制下的系統(tǒng)輸出電壓誤差收斂時(shí)間上界估計(jì)值為0.11 s。

由以上可見(jiàn)，在上述兩種控制方法下的Buck型降壓變換器系統(tǒng)輸出電壓誤差均能快速收斂到平衡點(diǎn)，而方法一的系統(tǒng)輸出電壓誤差收斂速度明顯快于方法二所控制下的系統(tǒng)輸出電壓誤差的收斂速度。同時(shí)，從圖2～3可知，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)變量初始值變化時(shí)，方法一中的輸出電壓誤差收斂時(shí)間基本不變，其收斂時(shí)間均在收斂時(shí)間估計(jì)上界0.11 s內(nèi)。可見(jiàn)，方法一控制下的Buck型降壓變換器系統(tǒng)輸出電壓誤差可在固定時(shí)間內(nèi)從任意初始位置收斂到平衡點(diǎn)的鄰域內(nèi)，且其收斂時(shí)間上界與系統(tǒng)狀態(tài)變量初始值無(wú)關(guān)。

圖4 擾動(dòng)與補(bǔ)償

4 結(jié)論

針對(duì)存在參數(shù)不確定性的Buck型降壓變換器系統(tǒng)，提出一種非奇異固定時(shí)間滑模控制方法。 首先構(gòu)造了非奇異固定時(shí)間終端滑模面，并基于該滑模面設(shè)計(jì)了固定時(shí)間控制器，實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)輸出電壓誤差在固定時(shí)間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn)的鄰域內(nèi)，且其收斂時(shí)間上界不再依賴系統(tǒng)狀態(tài)變量初始值，而僅與系統(tǒng)控制參數(shù)有關(guān)。其次，設(shè)計(jì)了自適應(yīng)更新律在線估計(jì)系統(tǒng)不確定干擾上界，有效抑制了不確定干擾對(duì)系統(tǒng)的影響，提高了控制器性能。同時(shí)，此控制方法無(wú)需干擾上界的先驗(yàn)知識(shí)。通過(guò)李雅普諾夫定理證明了系統(tǒng)輸出電壓誤差的固定時(shí)間收斂性能。最后，仿真結(jié)果證明了所提控制方法的有效性。