對(duì)脈沖耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中被動(dòng)神經(jīng)元的脈沖周期分析

高 媛程 橙秦品樂(lè)王麗芳

(1.中北大學(xué) 大數(shù)據(jù)學(xué)院，太原 030051； 2.山西省生物醫(yī)學(xué)成像與影像大數(shù)據(jù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(中北大學(xué)),太原 030051；3.北京航天測(cè)控技術(shù)有限公司,北京 100040)

0 引言

對(duì)貓[1-2]和豚鼠[3]等小型哺乳動(dòng)物視覺(jué)皮質(zhì)的研究結(jié)果表明，皮質(zhì)神經(jīng)元在類似刺激下可以同步脈沖。埃克霍恩等人提出了一種鏈接域模型來(lái)模擬這種機(jī)制，并將其應(yīng)用于圖像處理[4]。由于連續(xù)時(shí)間具有相當(dāng)大的非線性，約翰遜修等人[5-6]改了埃克霍恩的神經(jīng)元模型，提出了一種用于圖像處理的脈沖耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(PCNN)。與多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(如循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[7])不同，PCNN是一種單層網(wǎng)絡(luò)，類似于Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[8]和Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[9-10]。此外，PCNN中的一個(gè)神經(jīng)元與鄰近的神經(jīng)元(如細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[11])局部相連。據(jù)認(rèn)PCNN可以在迭代過(guò)程中將圖像中的每個(gè)像素編碼成一系列脈沖，并基于強(qiáng)度相似性和空間接近性，利用歸一化方法對(duì)像素進(jìn)行分組。因此，PCNN對(duì)貓和豚鼠等小型哺乳動(dòng)物視覺(jué)皮質(zhì)的研究結(jié)果表明，皮質(zhì)神經(jīng)元在類似刺激下可以同步脈沖。埃克霍恩等。提出了一種鏈接域模型來(lái)模擬這種機(jī)制，并將其應(yīng)用于圖像處理。由于連續(xù)時(shí)間具有相當(dāng)大的非線性，約翰遜修改了埃克霍恩的 神經(jīng)元模型，提出了一種用于圖像處理的脈沖耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(PCNN)。與多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(如循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò))不同，PCNN是一種單層網(wǎng)絡(luò)，類似于Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。此外，PCNN中的一個(gè)神經(jīng)元與鄰近的神經(jīng)元(如細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò))局部相連。認(rèn)為PCNN可以在迭代過(guò)程中將圖像中的每個(gè)像素編碼成一系列脈沖，并基于強(qiáng)度相似性和空間接近性，利用歸一化方法對(duì)像素進(jìn)行分組。因此，PCNN適用于圖像分割[12-16]、圖像融合[17-20]特征提取[21-42]等圖像處理。

特別是，它是一個(gè)非線性系統(tǒng)[25]，不僅適用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，而且適用于每個(gè)神經(jīng)元。然而，作為輸出反饋[26]，圖像處理中神經(jīng)元之間的脈沖耦合是通過(guò)使用幾乎固定的局部突觸來(lái)實(shí)現(xiàn)的，并且不考慮隨機(jī)系統(tǒng)[7-11,27-30]中存在的隨機(jī)時(shí)滯。選擇合適的PCNN神經(jīng)元參數(shù)是獲得更好的圖像處理性能的關(guān)鍵，它直接依賴于對(duì)PCNN神經(jīng)元正確的理解和對(duì)其工作方式的有效分析。文獻(xiàn)[31]在假定神經(jīng)內(nèi)部狀態(tài)是固定的前提下對(duì)脈沖周期進(jìn)行了分析，得到了一個(gè)穩(wěn)定的周期。通過(guò)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)分析，文獻(xiàn)[32-33]證明了PCNN神經(jīng)元與真實(shí)生物細(xì)胞的一致性。Bressloff和Coombes[34]對(duì)強(qiáng)耦合神經(jīng)元的動(dòng)態(tài)行為進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)隨著耦合強(qiáng)度的增加，神經(jīng)元的穩(wěn)定階段將不穩(wěn)定。Burkitt等人[35]研究了神經(jīng)元群同步行為和平均刺激之間的聯(lián)系，注意到在這些工作中對(duì)PCNN的分析是持續(xù)進(jìn)行的并且基于一些假設(shè)。此外，在離散時(shí)間內(nèi)，Yu等人[36]研究神經(jīng)元如何改變固定脈沖周期條件的閾值，推導(dǎo)了被動(dòng)神經(jīng)元脈沖的時(shí)間相位和周期[37]，得到了不完全的解析公式。分析了簡(jiǎn)化后的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的神經(jīng)脈沖周期和捕獲特性[38]。假設(shè)反饋衰減系數(shù)和動(dòng)態(tài)閾值相同，則推導(dǎo)出脈沖周期[39]。然而，這些分析并沒(méi)有考慮PCNN內(nèi)部狀態(tài)和閾值之間的邏輯比較所產(chǎn)生的整數(shù)轉(zhuǎn)換的量化效應(yīng)。因此，這些分析結(jié)果總是不準(zhǔn)確的。

本文對(duì)無(wú)源PCNN神經(jīng)元在離散時(shí)間內(nèi)的脈沖周期進(jìn)行了分析，得到了無(wú)源脈沖周期的解析估計(jì)。其主要貢獻(xiàn)是：1)通過(guò)定義比較比率而不是PCNN中的邏輯比較，給出了一個(gè)近似準(zhǔn)確的被動(dòng)PCNN神經(jīng)元的估計(jì)被動(dòng)周期；2)分析并證明了估計(jì)被動(dòng)周期和實(shí)際被動(dòng)周期之間的誤差；3)推導(dǎo)了神經(jīng)元開(kāi)始脈沖的初始階段，并給出了一個(gè)穩(wěn)定的初始階段。脈沖周期；4)給出了一些實(shí)驗(yàn)實(shí)例來(lái)驗(yàn)證對(duì)PCNN的分析。

本文的其余部分組織如下。在第二節(jié)中，我們回顧了PCNN以及如何改變被動(dòng)PCNN神經(jīng)元的內(nèi)部狀態(tài)。然后在第三節(jié)中對(duì)被動(dòng)脈沖周期進(jìn)行了詳細(xì)的分析。在第4節(jié)中執(zhí)行了一些驗(yàn)證我們的分析的示例。最后，結(jié)論顯示在第5節(jié)。

2 脈沖耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

PCNN中的神經(jīng)元由兩個(gè)通道組成。與此不同的是，F(xiàn)通道不僅接收來(lái)自鄰近區(qū)域的耦合脈沖Y，還接收外部刺激S，而L通道只接收耦合脈沖。此外，在微分方程[30,40]的描述中，兩個(gè)通道的輸出在每次迭代時(shí)都呈指數(shù)衰減。

F(n)=VFY(n-1)?W+F(n-1)e-αF+S

(1)

L(n)=VLY(n-1)?M+L(n-1)e-αL

(2)

其中:n是神經(jīng)元的當(dāng)前迭代；VF和αF分別是F通道的大小和衰減系數(shù)，類似VL和αL于L；W和M分別表示F和L相鄰的局部突觸。然后使用兩個(gè)通道輸出進(jìn)行調(diào)制以產(chǎn)生內(nèi)部狀態(tài)，然后:

U(n)=F(n)[1+βL(n)]

(3)

其中:β表示連接強(qiáng)度。

當(dāng)滿足內(nèi)部狀態(tài)和動(dòng)態(tài)閾值的邏輯比較時(shí)，PCNN中的脈沖發(fā)生器將輸出一個(gè)脈沖。

(4)

其中:θ(n)是動(dòng)態(tài)閾值，如下所示:

θ(n)=e-αθ(n-1)+VθY(n-1)

(5)

具有系數(shù)αθ的動(dòng)態(tài)閾值在迭代中也呈指數(shù)衰減。然而，一旦神經(jīng)元脈沖，因?yàn)橛幸粋€(gè)大幅度的Vθ，閾值將急劇增加。

PCNN中的神經(jīng)元在相鄰脈沖和外界刺激的耦合作用下，將持續(xù)地脈沖，但由于外界刺激的存在，只接受外界刺激的神經(jīng)元也能持續(xù)地脈沖。為了區(qū)分這兩種情況，我們分別將前、后兩種情況下的神經(jīng)元稱為主動(dòng)神經(jīng)元和被動(dòng)神經(jīng)元，分別描述相鄰兩種情況下耦合脈沖的存在和缺失。值得注意的是，上述PCNN不考慮隨機(jī)時(shí)滯或隨機(jī)噪聲等隨機(jī)因素，如以下某些隨機(jī)系統(tǒng)[7-11,25-30,40]。

假設(shè)1:PCNN神經(jīng)元中L的初始狀態(tài)為零，即L(0)=0。

U(n)=F(n)

(6)

其L通道輸出為:

F(n)=F(n-1)e-αF+S

(7)

從式(7)開(kāi)始，我們可以將式(6)改寫(xiě)為:

U(n)=U(n-1)e-αF+S

(8)

結(jié)論1：被動(dòng)神經(jīng)元只呈現(xiàn)一個(gè)接受外源性刺激的通道，可以用式(4)、(5)和(8)來(lái)描述。

假設(shè)2：被動(dòng)神經(jīng)元內(nèi)部狀態(tài)的初始狀態(tài)為零，即U(0)=0。

論點(diǎn)1：假設(shè)2下，被動(dòng)神經(jīng)元的內(nèi)部狀態(tài)滿足：

證明：從假設(shè)2和式(8)，我們得到：

U(1)=S

U(2)=F(1)e-αF+S=S(1+e-αF)

類似的，n=3,4,5,...

這就完成了證明。

3 被動(dòng)脈沖周期分析

被動(dòng)脈沖周期是反映PCNN中被動(dòng)神經(jīng)元的脈沖頻率如何隨外界刺激的不同和神經(jīng)參數(shù)的不同而變化的，也可以揭示神經(jīng)元如何工作。為了方便、準(zhǔn)確地分析下一節(jié)中被動(dòng)神經(jīng)元的脈沖周期，在定義1給出了被動(dòng)脈沖周期。

定義1. 將nm和nm+1表示為時(shí)間階段，此時(shí)被動(dòng)神經(jīng)元分別在迭代期間m和m+1時(shí)間點(diǎn)進(jìn)行脈沖 。 所以在nm+1處的被動(dòng)脈沖周期可表示為：

T(nm+1)=nm+1-nm

(9)

3.1 實(shí)際被動(dòng)脈沖周期

假設(shè)一個(gè)PCNN神經(jīng)元分別在nm和nm+1處脈沖。從(5)開(kāi)始，我們有：

θ(nm+1)=θ(nm+1)e-(nm+1-nm-1)αθ=[θ(nm)e-αθ+Vθ]e-(nm+1-nm-1)αθ

從式(4)考慮到U(nm+1)≈θ(nm+1)，我們得到：

T(nm+1)=nm+1-nm=

(10)

另一方面，利用式(4)中U(n)和θ(n)之間的邏輯比較來(lái)確定神經(jīng)元是否脈沖，導(dǎo)致難以進(jìn)一步分析式(9)。因此，我們現(xiàn)在定義：

θ(nm)=δU(nm)

(11)

其中，δ∈(0,1)稱為動(dòng)態(tài)比較比，用來(lái)描述迭代中U(n)和θ(n)之間的線性差異。然后式(6)可以改寫(xiě)為使用式(9)：

(12)

3.2 估計(jì)被動(dòng)脈沖周期

雖然式(11)中的動(dòng)態(tài)比較比δ在0～1之間，但我們可以在假設(shè)1和論點(diǎn)2下得到更精確的動(dòng)態(tài)范圍。

論點(diǎn)2：比較比δ滿足：

證明：從式(4)和式(5)中可以得出，神經(jīng)元的內(nèi)部狀態(tài)與動(dòng)態(tài)閾值之間的關(guān)系滿足以下約束條件:

U(nm)>θ(nm)

(13a)

U(nm-1)<θ(nm-1)

(13b)

從式(13a)和式(11)我們很容易得出：

δ<1

(14)

因?yàn)椋?/p>

U(nm)=U(nm-1)e-αF+S

根據(jù)式(8)，和從(5)改寫(xiě)的：

θ(nm)=θ(nm-1)e-αθ，我們把(13-b)重寫(xiě)為U(nm)-S<θ(nm)eαθ-αF

鑒于式(11)，我們有：

(15)

使用論點(diǎn)1簡(jiǎn)化式(15)，然后得到：

(16)

因此，式(14)和(16)完成證明。

推論1. 在論點(diǎn)2和一些w.r.t.nm約束下，我們可以進(jìn)一步接近更精確的δ動(dòng)態(tài)范圍：

1)0<δ<1，為nm≥1;

3)e-αθ<δ<1，為nm→+∞

結(jié)論2：從推論1可以看出，隨著nm的增加，δ的下限從0增加到e-αθ。

如果存在ns?+∞時(shí)，被動(dòng)神經(jīng)元開(kāi)始周期性地脈沖，由于相同的脈沖周期和結(jié)論2，在ns和隨后的脈沖迭代時(shí)的動(dòng)態(tài)比較比δ′將接近于在+∞時(shí)的動(dòng)態(tài)比較比。因此，我們可以反過(guò)來(lái)選擇δ=e-αθ在nm→+∞處的下限作為其他脈沖周期穩(wěn)定的脈沖迭代的 估計(jì)動(dòng)態(tài)比較比。此外，由于ns更接近nt，nt

(17)

然后利用定理1進(jìn)一步計(jì)算估計(jì)的無(wú)源脈沖周期。

定理1：被動(dòng)神經(jīng)元的估計(jì)被動(dòng)脈沖周期滿足：

其中：

證明：從論點(diǎn)1，我們有：

(18)

(19)

通過(guò)使用式(18)和(19)簡(jiǎn)化式(17)，我們很容易得到：

其中：

推論2：在定理1的假設(shè)下，估計(jì)的被動(dòng)脈沖周期將接近一個(gè)穩(wěn)定周期：

nm→∞時(shí)

從推論2可以看出，隨著nm的增加，被動(dòng)神經(jīng)元的被動(dòng)脈沖周期估計(jì)值趨于穩(wěn)定。在實(shí)踐中，估計(jì)的被動(dòng)脈沖周期將穩(wěn)定在nm?+∞，這將在第3.4中得到證明。

3.3 估計(jì)脈沖周期和實(shí)際脈沖周期之間的誤差

定理2：估計(jì)脈沖周期和實(shí)際脈沖周期之間的誤差滿足:

TE(nm+1)-T(nm+1)=ε∈{s|s=-1,0}

(20)

δ≥e-αθ時(shí)

證明：定義一個(gè)以δ作為自變量的函數(shù)：

(21)

由于f(δ)是單調(diào)遞增的，證明w.r.t.(20)可轉(zhuǎn)換為證明以下不等式:

ε1=f(1)-f(e-αθ)<1

(22)

因此得到：

f(1)-[f(e-αθ)]={s|s=0,1}

(23)

基于式(12)和定理1,在滿足δ≥e-αθ時(shí)我們有:

ε=TE(nm+1)-T(nm+1)=[f(e-αθ)]-[f(δ)]?

[f(e-?θ)]-[f(1)]≤ε≤0

從式(23),我們得到:

ε∈{s|s=-1,0},δ≥e-αθ

3.4 具有穩(wěn)定脈沖周期的初始相位

定理3. 假設(shè)2，PCNN中的神經(jīng)元在以下式子或之后會(huì)以穩(wěn)定周期TE脈沖:

Ns∈{n|n=N1,N1+1,...,N1+TE-1}

對(duì)于N1∈R+N2?R+

(24a)

Ns∈{n|n=N2+1,N2+2,...,N2+TE}

對(duì)于N1?R+N2∈R+

(24b)

其中:

μ=S(e(TE-1)αθ-e-2αθ)-Vθ(1-e-αF)

η=Se-2αθ(eTEαθ-1)-Vθ(1-e-αF)

證明：根據(jù)定理2和推論1，一個(gè)具有穩(wěn)定被動(dòng)周期TE的神經(jīng)元脈沖，其必要和充分條件是:

TE(nm+1)-TE=0

(25a)

(25b)

對(duì)于(25a)，我們有:

?Se(TE-1)αθ≥γSe-2αθ+λVθ

(26)

其中:

考慮到nm=nm+1-TE，式(26)的右邊可以表示為:

然后(26) 可以寫(xiě)為:

Vθ(1-e-αF)≤Se(TE-1)αθ(1-e-nm+1αF)-Se-2αθ(1-e-(nm+1-TE)αF)?

Vθ(1-e-αF)≤Se(TE-1)αθ-Se-2αθ-Se(TE-1)αθe-nm+1αF+

Se-2αθe-(nm+1-TE)αF?e-nm+1αFS(e(TE-1)αθ-eTEαF-2αθ)≤

S(e(TE-1)αθ-e-2αθ)-Vθ(1-e-αF)

其中:

μ=S(e(TE-1)αθ-e-2αθ)-V(1-e-αF)

假設(shè)nm+1是一個(gè)正整數(shù)，那么:

nm + 1≥N1

(27)

其中:

(28)

這意味著在式(23)中，被動(dòng)神經(jīng)元在N1或之后會(huì)以穩(wěn)定周期TE脈沖。

同樣地，對(duì)于(25a), 我們有:

Se(TE-2)αθ<γSe-2αθ+λVθ?Vθ(1-e-αF)>

Se(TE-2)αθ(1-e-nm+1αF)-Se-2αθ(1-e-(nm+1-TE)αF)

?Vθ(1-e-αF)>Se(TE-2)αθ-Se-2αθ-

Se(TE-2)αθe-nm+1αF+Se-2αθe-(nm+1-TE)αF

?e-nm+1αFS(e(TE-2)αθ-eTEαF-2αθ)>

S(e(TE-2)αθ-e-2αθ)-Vθ(1-e-αF)

其中:

η=Se-2αθ(eTEαθ-1)-Vθ(1-e-αF)

然后得到:

nm+1≤N2

(29)

其中:

(30)

注意到式(28)可能導(dǎo)致負(fù)整數(shù)或復(fù)數(shù)，即N1?R+，而N2是正整數(shù)，即N2∈R+。這意味著被動(dòng)神經(jīng)元不能從N1開(kāi)始以穩(wěn)定時(shí)間TE脈沖；換句話說(shuō)，在N2之后，神經(jīng)元將以TE周期性脈沖。因此，具有TE的初始相位滿足:

Ns∈{n|n=N2+1,N2+2,...,N2+TE}

在N1?R+N2∈R+

同樣，當(dāng)N1為正整數(shù)時(shí)，式(30)中的N2也可以是負(fù)整數(shù)或復(fù)數(shù)。即，N1∈R+。也就是說(shuō)，被動(dòng)神經(jīng)元可以從:

Ns∈{n|n=N1,N1+1,...,N1+TE-1}

在N1∈R+N2?R+

結(jié)論3:根據(jù)定理3，有一個(gè)理想的初始相位Ns?+∞，從中被動(dòng)神經(jīng)元可以開(kāi)始周期性地脈沖。

結(jié)論4:根據(jù)推論2，利用期望的初始相位Ns，被動(dòng)PCNN神經(jīng)元的迭代可以依次分為兩個(gè)時(shí)間階段：非周期和周期階段。

根據(jù)定理1和推論2，如果αF→+∞，估計(jì)的被動(dòng)脈沖周期及其穩(wěn)定周期將是:

(31)

此外，當(dāng)αF→+∞時(shí)，定理3中N1和N2將是負(fù)整數(shù)或復(fù)數(shù)，這樣由于迭代中只存在周期性相位，被動(dòng)神經(jīng)元將從一開(kāi)始就周期性地脈沖。實(shí)際上，在這種情況下，被動(dòng)神經(jīng)元的F通道輸出將固定為外部刺激S。因此，在一些修正版本中[19,21-22,24]，通過(guò)將F通道簡(jiǎn)化為外部激勵(lì)，將PCNN簡(jiǎn)化，顯然，修正版本的PCNN在迭代中只保持周期性階段。

4 實(shí)驗(yàn)分析

本節(jié)通過(guò)數(shù)值模擬驗(yàn)證了理論結(jié)果的有效性，用式(4)～(5)和(7)描述了PCNN中的被動(dòng)神經(jīng)元。因此，在下面的示例中設(shè)置5個(gè)參數(shù)，即αF,αθ,Vθ,S和θ(0)。

圖1 例1中αθ=0.05的動(dòng)態(tài)比較比

圖2 例1中的實(shí)際和估計(jì)被動(dòng)脈沖周期αθ=0.05

例1. 神經(jīng)參數(shù)αF=0.03，αθ=0.05，Vθ=8，S=0.4，θ(0)=0.2。在圖1中，除了第二個(gè)脈沖迭代外，所有脈沖迭代的動(dòng)態(tài)比較比大于δ=e-αθ=0.95123，作為動(dòng)態(tài)比較比的最大下限。根據(jù)定理2，實(shí)際被動(dòng)脈沖周期T(n)和估計(jì)被動(dòng)脈沖周期TE(n)之間的誤差ε在-1～0之間。事實(shí)上，這一事實(shí)如圖2所示。此外，根據(jù)定理2和3的計(jì)算，穩(wěn)定被動(dòng)脈沖周期TE為16，N1=103，N2是一個(gè)復(fù)數(shù)。從圖2可以看出，被動(dòng)神經(jīng)元可以在Ns=109時(shí)開(kāi)始與TE一起脈沖，這也滿足定理3中的(24a)。

在期望的時(shí)間相位Ns之后，圖2中的實(shí)際被動(dòng)周期呈現(xiàn)絕對(duì)誤差，在前后周期之間為1。因此，在這種情況下，雖然估計(jì)被動(dòng)脈沖周期在Ns后是穩(wěn)定的，但實(shí)際被動(dòng)脈沖周期僅在Ns后接近穩(wěn)定。然而，如果我們選擇αθ=0.06，如圖3所示，神經(jīng)元將在隨后的期望初始階段以TE=14完全周期性地脈沖。

例2. 假設(shè)神經(jīng)參數(shù)為αF=0.03，αθ=0.029，Vθ=8，S=0.4，θ(0)=0.4，根據(jù)定理3可以產(chǎn)生正N1=23和負(fù)N2=-13，穩(wěn)定脈沖周期TE為推論2的16。注意，根據(jù)定理3，除了第一個(gè)周期，即使第二個(gè)和第三個(gè)動(dòng)態(tài)比較比低于圖5中動(dòng)態(tài)比較比的最大下限，也可以在圖4中達(dá)成一致。此外，根據(jù)圖4和定理3正確地給出了初始相位。

例3. 將參數(shù)設(shè)置為αF=0.05，αθ=0.03，Vθ=8，S=0.4，θ(0)=0.4，這樣根據(jù)定理3得到N1是復(fù)數(shù)，N2=66。圖6所示的結(jié)果服從定理2和3。TE(n)和T(n)之間的誤差為-1或0，但由于圖7中e-αθ=0.97045的值較低，因此第一個(gè)周期的誤差為2。

例4. 參數(shù)為αF=0.03，αθ=0.02858，Vθ=8，S=0.4，θ(0)=0.2，由此得出推論2和定理3的TE=17，N1=-61，N2=164。顯然，根據(jù)論點(diǎn)2和推論1得到的圖9所示的動(dòng)態(tài)比較比，不僅是推論2的估計(jì)穩(wěn)定周期TE，定理2的估計(jì)被動(dòng)周期和實(shí)際被動(dòng)周期之間的誤差，而且定理3的初始相位Ns∈[165,181]與圖8所示的結(jié)果吻合得很好。

圖3 例1中的實(shí)際和估計(jì)被動(dòng)脈沖周期αθ=0.06

圖4 例2中的實(shí)際和估計(jì)被動(dòng)脈沖周期

圖6 例3中的實(shí)際和估計(jì)被動(dòng)脈沖周期

圖7 例3中的動(dòng)態(tài)比較比

圖8 例4中的實(shí)際和估計(jì)被動(dòng)脈沖周期

圖9 例4中的動(dòng)態(tài)比較比

例5. 與其他隨機(jī)系統(tǒng)[29]一樣，PCNN中的隨機(jī)噪聲也會(huì)對(duì)外部刺激產(chǎn)生干擾，為了研究隨機(jī)噪聲對(duì)被動(dòng)神經(jīng)元被動(dòng)脈沖周期的穩(wěn)定性，我們?cè)O(shè)置了與例3相同的參數(shù)，而外部刺激則是由不同信噪比的高斯白噪聲(SNR)產(chǎn)生的。由圖10所示的結(jié)果可知，當(dāng)被動(dòng)神經(jīng)元的外部刺激不受干擾或受較小噪聲(如SNR=20或30)的干擾時(shí)，在經(jīng)過(guò)一些迭代后，被動(dòng)神經(jīng)元可以產(chǎn)生一個(gè)幾乎穩(wěn)定的真實(shí)被動(dòng)脈沖周期，且這些周期之間的絕對(duì)差最多為1(見(jiàn)圖10)。然而，當(dāng)外部刺激受到較大噪聲(如SNR=10)的干擾時(shí)，實(shí)際被動(dòng)脈沖周期在任何迭代中都不穩(wěn)定。因此，對(duì)于較小噪聲，被動(dòng)PCNN神經(jīng)元將周期性地在周期性相位中脈沖，而對(duì)于較大噪聲，神經(jīng)元將在所有相位中非周期性地脈沖。

圖10 例5中具有不同隨機(jī)噪聲的實(shí)際被動(dòng)脈沖周期

5 結(jié)論

本文研究了離散PCNN中被動(dòng)神經(jīng)元的被動(dòng)脈沖周期。通過(guò)定義的動(dòng)態(tài)比較比，而不是神經(jīng)內(nèi)狀態(tài)與動(dòng)態(tài)閾值之間的邏輯比較，給出了一個(gè)近似準(zhǔn)確的被動(dòng)脈沖周期公式，使得估計(jì)和實(shí)際被動(dòng)脈沖周期之間的誤差為-1或0。此外，由于被動(dòng)神經(jīng)元沒(méi)有穩(wěn)定周期，因此估計(jì)了一個(gè)初始階段，從中被動(dòng)神經(jīng)元可以在這個(gè)穩(wěn)定周期內(nèi)開(kāi)始周期性脈沖。文中給出了一些例子，并與被動(dòng)神經(jīng)元的相關(guān)分析結(jié)果相一致。