一個效率函數的極值原理及其解釋應用

【摘 要】對于函數S=xy，若x>0、y>0，且x+y=c，c為常數，則S在x=y時有最大值c?/4。該函數的極值原理對于現實經濟社會生活中的效率問題具有廣泛的解釋應用能力，因此可稱為效率函數。

【關鍵詞】 效率函數；極值原理；解釋應用

Absrtact： There is a mathematical theorem， i.e.， the function S = xy. If x> 0， y> 0， and x + y = C， wherein C is a constant， then S has a maximum c?/4 when x=y. The extreme value principle of the efficiency function has extensive explanatory power in real economic and social life， as long as the relevant economic and social phenomena satisfy the variable relationship of this function and the extreme conditions required.

Keywords： Efficiency Function； Extreme Value Principle； Interpretation Application

一、一個效率函數的極值原理

在數學中有一個定理，函數S=xy，若x>0、y>0，且x+y=c，c為常數，則S在x=y時有最大值c?/4。

其證明如下：

S=xy

=x（c-x）

=cx-x?

=-（x-c/2）?+c?/4

因此，當x=c/2，即（x-c/2）為0時，S有最大值c?/4。

此時，y=c-c/2=c/2，

即在x=y時，S=xy有最大值c?/4。

這一極值問題的幾何意義如圖1所示。

在圖1中，點（x，y）是連接點（c，0）、（0，c）兩點的直線x+y=c上的一點（不含兩端點），S=xy代表以x為長、以y為寬的矩形的面積。當點（x，y）運動到x=y的點（c/2，c/2）時，S取得最大面積c?/4。當點（x，y）背離中點向點（c，0）或點（0，c）運動時，S的面積就越來越小，逐漸趨近于0。十分明顯，S的極值由常數c決定，c的大小決定直線的進退，影響S的收放。

函數S=xy的現實意義是什么呢？可有多說，其中一說是效率。當某件事情需要分兩步完成，第一步效率為x，第二步效率為y，那么，S=xy就代表完成這件事的總體效率。因此，我們可以稱函數S=xy為分兩步完成之工作的效率函數，并把“若x>0、y>0，且x+y=c，c為常數，則x=y時S=xy有最大值c?/4”這一定理稱為效率函數的極值原理。

二、效率函數極值原理解釋應用的三個案例

筆者以為，效率函數的極值原理在現實經濟社會生活中具有廣泛的解釋應用能力，只要相關經濟社會現象滿足這個函數的變量關系及其要求的極值條件即可。下面，筆者就應用效率函數的極值原理，分別從宏觀、中觀、微觀層面各列舉一個案例來做出分析解釋。

圖 1楊胡鳳作。

（一）宏觀案例——社會資源總體配置效率提升問題

每個國家的社會資源都要經由國家與私人兩個部門來共同配置。因此，社會資源配置過程總體上可以理解為分兩大步完成：國家宏觀配置與私人微觀配置。宏觀和微觀的先后秩序在不同國家、不同體制、不同文化下會有所不同，同一國家的不同性質的社會資源的配置秩序也各有不同，但這些并不影響我們在總體上將社會資源配置分為宏觀與微觀兩大步完成的判斷和分析。

假設國家宏觀配置資源的效率為x，私人微觀配置資源的效率為y，那么，S=xy，即兩步的配置效率之乘積是一個表征社會資源總體配置效率的函數。這個乘積越大，標志著社會資源總體配置效率越高。當這個乘積達到最大，社會資源的總體配置效率就達到最高。在一定時期比如一個季度或一個年度內，由于國家和私人配置資源效率x和y的變化都很小，以至于其變化可以被忽略不計，這使得x與y之和也可被視為保持定值不變，即函數S=xy滿足x>0、y>0，且x+y=c，c為常數的條件。按照上述效率函數的極值原理，社會資源總體配置效率S=xy將在x=y時取得最大值。

這就說明，當且僅當國家與私人兩者的資源配置效率彼此均衡時，社會資源總體配置效率才能實現最大化。因此，各種經濟體都應盡力爭取均衡提升國家和個人兩方面參與社會資源配置的積極性和配置效率，不應厚此薄彼，不可有所偏頗，不必有主觀好惡。市場失序造成的混亂和社會僵化帶來的低效，政府過大產生的低效和政府過小造成的能力缺失，都無益于社會資源配置效率的提高。

美國的私有經濟很發達，企業配置資源效率很高；同時，憑借超級大國和強勢美元的地位，美國的國家配置資源能力也全球無敵，二者共同支撐了美國經濟在全球市場的高效運行。然而，美國在華盛頓共識下向北美、俄羅斯、東歐、中東和非洲等地輸出的國家經濟改革方案，卻都毫無例外地片面強調給予私人配置資源的便利，卻極端削弱政府配置資源能力，結果使這些國家的經濟在改革中因失去國家與私人在資源配置效率上的均衡，普遍出現了轉型失敗。普京在俄羅斯執政后，逐步重振國有經濟，使俄羅斯國家配置資源能力與私人配置資源能力開始趨向均衡，從而促使俄羅斯經濟重新得到了增長。從中，我們可以從正反兩方面看出效率函數S=xy極值原理的深刻效應。

中國的經濟發展歷史更是這樣。舊時的中國四分五裂，幾乎沒有國有經濟，國民經濟宛如一盤散沙，社會整體資源配置效率很低。新中國在實行計劃經濟時期，只注重政府對資源的配置效率，私人配置資源的約束強、效率低，社會經濟發展相對較慢。改革開放以來，中國堅持以公有制為主體、多種所有制并存的基本經濟制度，毫不動搖地鞏固發展公有經濟，毫不動搖地引導支持非公經濟發展，大力發展混合所有制經濟，不斷推進社會主義市場經濟體制建設，既注重發揮市場在資源配置中的決定性作用，又強調更好地發揮政府作用，國家和私人的資源配置效率均衡提升，公有經濟和私有經濟都得到很大發展，綜合國力大為提高，對世界的貢獻也不斷擴大。因此，可以說，在社會資源配置上堅持按效率函數S=xy的極值原理辦事，始終注重均衡發揮國家和個人兩個積極性，正是中國改革發展的獨特經驗。

世界各國的發展實踐表明，只要公有制經濟，不要私有制和混合所有制經濟，就不能充分調動廣大群眾的積極性，經濟發展就缺乏資本和效率，會出現發展不足的問題。這相當于圖1中（x，y）點往X軸移動，偏離直線中點后導致S面積逐漸縮小。只要私有制，不要公有制，經濟社會就會因兩極分化而陷于不公平不穩定的混亂狀態，導致資源配置效率下降，從而出現發展不當的問題。這相當于圖1中（x，y）點向Y軸運動，偏離中點后也導致S面積縮小。強調堅持公有制，鼓勵私有制，但不大力推進公有和非公有資本交叉持股、相互融合的混合所有制，經濟社會就會陷入彼此孤立、相互排斥、缺少合作、喪失和諧的不良狀態，會出現此進彼退、爭吵不斷、發展不穩的問題，不利于社會總體資源配置效率的進一步提高。這在圖1中相當于在較長時期內c=x+y直線存在向內收縮的危險、失去向外擴張的能力，不能實現每隔一段時間就躍上一個新的臺階，從而妨礙S的一步步提高。

因此，我們必須既堅持兩個毫不動搖，又大力發展混合所有制經濟，把公有制、私有制和混合所有制都視為社會主義初級階段基本經濟制度的重要實現形式。當前，我們特別要將加快包括國資控股企業和國資參股企業在內的混合所有制企業的發展作為提升經濟效率的重點工作，盡快將混合所有制企業與國有企業分開監管，使混合所有制企業獲得更好的市場化運營效率。未來，我們應該按照S=xy效率函數極值原理所揭示的規律，通過大力發展混合所有制經濟，擴大國有經濟和私有經濟投資發展空間，克服彼此的短板，弘揚雙方優勢，形成改革發展的更大合力，不斷提升全社會資源配置效率，通過“執兩用中”，促進“三生萬物”，穩中求進，確保中國經濟持續有效地實現高質量發展。

（二）中觀案例——企業制度演變問題

辦企業需要資本，做企業需要人本。資本與人本兩合是企業發展的客觀要求，企業制度建設要均衡考慮人合與資合兩大因素。在市場經濟條件下，企業將本求利，其發展先要有資本投入形成產能，后要靠員工勞動創造良品。在一定時期，比如一個季度或者一個年度，企業中資本運行效率與員工勞動效率x和y均為正值，且兩者之和x+y可被視為一個定量，因此，企業資源配置總體效率S=xy滿足效率函數的極值條件，企業運行效率將在資本運行效率與員工勞動效率均衡時實現最大化。

這就告訴我們，企業運作既要有良好的資本運行效率，也要有較高的勞動生產效率，即既要投得好，也要干得好，企業才有競爭力。不能只強調資本運行效率，再好的生產線也不會自動產出良品；也不能只強調員工勞動效率，生產線技術水平必然制約勞動效率的發揮。因此，每個企業都需要高度關注資本運行效率與員工勞動效率的均衡。

企業制度演變的歷程也反映了這一原理的長期作用和未來取向。企業制度演變的邏輯在于資本和人本的關系隨生產力變化而變化。企業發展需要資本和人本兩方面的合力。因此，人本與資本更好地實現雙合的機制設計是企業制度的靈魂。在生產力發展的不同時代，人合與資合有著不同的價值，因此導致不同時代的企業制度對人合與資合會有不同偏重。如圖2所示，企業制度隨生產力發展的演變過程，具有資合與人合兩合不斷增強的內在邏輯。

歷史上，世界各國先后出現了五種得到普遍應用的企業制度。最初，在農業社會，社會生產力主要是人的體力，對應出現的企業當然是獨資企業，各家舉一人一戶之資力創業發展。之后，為增強生產能力，加快企業發展，親朋好友相邀入伙，共同經營，有利同享，有責共擔，產生了純粹人合的無限合伙企業。當工業革命來臨，企業生產經營規模迅速擴大，機器成為主要的生產力，需要大資本支持大生產并抗衡大風險時，上市面向公眾籌資的純粹資合的股份公司便被創設出來。當工業革命創造的社會資本大量集中于機構投資者而非散戶手中之后，向少量機構投資者私募融資就能滿足企業資本形成需要，股東較少的以資合兼顧人合的有限責任公司便如雨后春筍般產生。到了后工業時代，創新引領發展，人的腦力成為最重要的生產力，人本價值大幅提升，以人合為主兼顧資合的有限合伙企業便加快發展起來。面向未來，十分明顯的趨勢是，科技文化產業將引領社會經濟發展，雙合力量均衡強大的平臺+小微形態的混合所有制企業將成為社會上的主導企業制度。

（三）微觀案例——企業管理中的集權分權問題

常識告訴人們：科學的分工提高勞動效率、恰當的分權提高管理效率、必要的分利提高協同效率。現在，我們可以用效率函數的機制原理來解釋組織中分權提升管理效率這類常識或常見現象。

任何母子公司結構的企業都面臨適度集權與分權的管理需求。權力過分集中于總部，有利于強化企業整體運行控制，但不利于子公司根據市場變化自主經營。權力下放基層，有利于增強子公司經營活力，更好地適應市場發展需要，但會對集團總體風控與平衡發展帶來挑戰。因此，企業需要適度的集權分權，于是帶來需要把握好總部和子公司管理效率提升的均衡性問題。

如果把企業管理中的權力視作一種資源，企業管理中的集權分權問題也就是一個資源配置問題。我們把企業管理權劃分為總部管理權和子公司管理權，設二者的管理效率分別為x和y，則企業整體管理效率S=xy。由于在一定時期比如一周、一月或一個季度內企業總部和子公司的管理效率變化不大，可以認定函數S=xy滿足x>0、y>0，且x+y=c， c為定值的條件。因此，根據效率函數S=xy的極值原理，企業的整體管理效率將在總部和子公司管理效率對等時取得最大值。

這就告訴我們，在母子公司的企業管理過程中，不進行正確的集權分權，片面追求總部管理效率最高或單方面強調子公司提高經營自主權，都是不正確的，都會損害企業集團的整體管理效率。要提升企業管理整體效率，必須注重總部集中管理和子公司自主經營的相互均衡，并通過優化集權分權、完善管理制度、調整管理者、提升員工執行力等，努力爭取每隔一段時間就有一個c=x+y的整體躍升，不斷提高企業管理總體效率。

三、其它應用展望

執兩用中，適為常道。顯然，對于社會年度產出用于積累與消費實現的經濟增長效率、社會資本在金融領域和實體產業中分配的總體配置效率、企業增加值用于勞動工資與資本報酬形成的激勵效率、平臺企業與小微實體通過利潤分享達成的協同發展效率、基礎設施建設與運營服務的總體效率提升等眾多與雙因素效率函數相關的經濟問題，我們都可以作出與上述三個案例類似的分析與解釋。因為它們都基本滿足S=xy的函數關系，又都在一定時期內有兩個變量的貢獻為正且二者之和為定值的極值條件。相信讀者們也可以輕松地從工作和生活中舉出更多例子，展開相應的分析與解釋，并受益于效率函數極值原理揭示的道理，學會既一分為二、又合二為一地看世界、干事業。

（*鄧志雄，中國政法大學商學院客座教授。

責任編輯：崔克亮）