論多視角下初中幾何圖形的一題多解

廖望清

(廣東省深圳市平湖中學(xué) 518111)

隨著新課改的不斷深入，初中數(shù)學(xué)教學(xué)呈現(xiàn)出多元化的特征，傳統(tǒng)的一題一解或是固定思維模式已經(jīng)不能滿足新教育形式下學(xué)生的成長成才需求，教師必須要以多個不同的教學(xué)視角與教學(xué)思路，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，給學(xué)生多種學(xué)習(xí)可能性.下文結(jié)合具體的案例談?wù)勗鯓釉诙嘁暯窍聦?shí)現(xiàn)初中幾何圖形的一題多解.

一、幾何圖形解題技巧

在學(xué)習(xí)幾何類知識時(shí)，教師應(yīng)當(dāng)指導(dǎo)學(xué)生明確以下幾條解題技巧：(1)在解幾何類圖形時(shí)，適當(dāng)?shù)奶砑訋讞l輔助線是十分有必要的.(2)在日常學(xué)習(xí)中，要多注重積累與運(yùn)用，要學(xué)會從例題中總結(jié)解題思路與方法，例如學(xué)生想要真正掌握輔助線的運(yùn)用，就需要在學(xué)習(xí)過程中收集幾道有關(guān)三角形添加輔助線的典型例題，分析總結(jié)這幾道題的解題思路.(3)對于幾何類習(xí)題的解答，必須要學(xué)會反復(fù)推敲，舉一反三，在以某一種思路解完題后，還需要換一種思路繼續(xù)嘗試解答，這樣能讓學(xué)生的邏輯思維得到鍛煉.(4)要充分利用教材，吃透教材，對于教材中的概念以及公式、關(guān)系都要熟記于心，如果在解題過程中找不到思路，就要從基本知識入手，因?yàn)橐磺薪忸}技巧都是從教材中的基礎(chǔ)知識上衍生而來.(5)要學(xué)會培養(yǎng)興趣，所謂興趣是最好的老師，如果學(xué)生對這類題目沒有探究的欲望，那么就不會有活的思維.

二、案例分析

有如下一道幾何證明題：若三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，則該三角形為直角三角形.該道題目中有以下已知條件：△ABC中，CD為AB上的中線，且CD是AB的一半，求證△ABC為直角三角形.

我們可以從一般思維角度進(jìn)行求解，方法如下：

∵AD=BD，又CD=1/2AB，∴AD=BD=CD,

∴∠A=∠ACD,∠B=∠DCB(等邊對等角)，

則∠A+∠B=∠ACD+∠DCB=∠ACB(等式的性質(zhì)).

又∵∠ACB+∠A+∠B=180°(三角形內(nèi)角和定理)，

即2∠ACB=180°(等量代換),

∴∠ACB=90°,

即△ABC為直角三角形(直角三角形定義).

除此之外，該道題還有第二種解法：

過D點(diǎn)作DE⊥BC，交BC于E,則∠DEB=90°.

∵AB=BD,又CD=1/2AB,

∴AD=CD=BD.

∴在等腰△ADC中，∠A=∠3(等邊對等角)，

在等腰△DBC中，∠1=∠2(等腰三角形底邊上的高與頂角平分線互相重合).

∴∠3+∠A=2∠A，∠BDC=∠1+∠2=2∠1.

又∵∠BDC=∠A+∠3(三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和),

∴2∠1=2∠A(等量代換),

即∠1=∠A.

∴AC∥DE(同位角相等，兩直線平行),

∠ACB=∠DEB=90°(兩直線平行，同位角相等),

∴△ABC為直角三角形.

此外，我們還能找到第三種

解法：

延長CD到E，使DE=CD,連接AE與BE.

∵AD=BD,

∴四邊形AEBC是平行四邊形(兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形),

∴CD=1/2CE(平行四邊形兩條對角線互相平分).

又CD=1/2AB,

∴1/2CE=1/2AB(等量代換),

即CE=AB.

∴平行四邊形AEBC是矩形(兩條對角線相等的平行四邊形是矩形)

因此∠ACB=90°(矩形的四個角都是直角),

∴△ABC為直角三角形(直角三角形定義).

三、多視角下初中幾何圖形的一題多解總結(jié)

通過上述分析可知，多視角下初中幾何圖形的習(xí)題具備多種解法，當(dāng)在解題過程中正向思維受阻時(shí)，教師就應(yīng)當(dāng)有效引導(dǎo)學(xué)生換一種思維繼續(xù)嘗試，如逆向思維，即逆證法，根據(jù)題目給出已知條件，分析解題思路，在分析過程中引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題目要求明確需要證明的結(jié)論，再從結(jié)論入手，利用反向思維一步步倒回式分析，分析過程中及時(shí)寫下解題要點(diǎn)以及過程，一步一步推理最終獲得答案.此外，在解題過程中我們不難發(fā)現(xiàn)，基礎(chǔ)概念、理論是解幾何題目的基礎(chǔ)，無論學(xué)生運(yùn)用哪種解題思維，都離不開基礎(chǔ)的定理、公式.因此，在學(xué)習(xí)這類知識時(shí)，拓展思維，大膽求證是一方面，更重要的，還是要將教材中的基礎(chǔ)知識做到融會貫通，這樣才能進(jìn)一步談學(xué)習(xí)能力的提升.除此之外，一道幾何類題目本身包含有多條線索，教師在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析思考時(shí)，一定要教會學(xué)生從題目中找線索，從題目中找思路與方法.最后，知識是靜態(tài)的，題目是固定的，但是思維是不斷活動變化著的，學(xué)生在拿到一道幾何類題目時(shí)，一定不能恐懼，不能慌，要認(rèn)識到題目就在這里，不會再改變，而我們卻可以動用智慧、將它解出來.

數(shù)學(xué)幾何類題目一題多解的案例是非常多的，教師應(yīng)當(dāng)在教學(xué)活動中給學(xué)生多舉例，利用這類題目學(xué)生的邏輯思維以及各方面的解題技能，有效提升學(xué)生的解題能力.