多元導函數問題的解題策略

李 偉

(遼寧省鞍山市第三中學 114000)

函數與導數的綜合是全國卷數學高考試題壓軸21題唯一命題內容.該題第二問號難度之大、區分度之高是數學試題具有選拔性的體現.縱觀幾年來該題的命題特點，采取多元導函數的形式命題是重要途徑之一，所以從提高數學成績角度思考有必要對此類問題做一些探討，歸納、整理出相關題型，給出解決此類問題的方法和思考策略，下面通過五個示例，試圖概括出此類問題題型結構特點及解題策略，僅供參考.

一、數形結合

數形結合就是通過通過繪制其函數、方程的曲線，觀察提煉曲線其特征，將其進行代數化，從而達到問題的解決.

例1已知函數f(x)=lnx+(a-2)x-2a+4(a>0)，若有且只有兩個整數x1、x2，使得f(x1)>0，且f(x2)>0，則a的取值范圍是( ).

A.(ln3，2) B.(0，2-ln3)

C.(0，ln3) D.(2-ln3，2)

分析由于f(x)=lnx+(a-2)x-2a+4(a>0)是超越式，所以采取解不等式方法解決是不能的.進一步分析已知條件，知其含義就是函數圖象兩個交點的橫坐標之間包含兩個整數，所以，解題的思考是先尋求兩個函數，再討論有兩個交點.

練習題已知函數f(x)=x-alnx-1(a為常數)的圖象與x軸有唯一公共點A.

(1)求函數f(x)的單調區間.

(2)曲線y=f(x)在點A處的切線斜率為a2-a-3，若存在不相等的正實數x1,x2，滿足|f(x1)|=|f(x2)|，證明：x1x2<1.

參考答案：a≤0時，(0，a)遞減；(a,+∞)遞增.a=1時，(0,+∞)遞增.

二、整體代換

整體代換就是將兩個變量的代數關系式看做一個整體，將其設為一個新的變量，從而轉化為一元問題，再借助一元問題的解題方法求解.

參考答案:D.

(2) 若關于x的不等式f(x)≤mx-1恒成立，求整數m的最小值. 答案：m=2

參考答案：(1)(0，1)；(2)m=2.

三、同構函數

通過轉化已知條件，或結論等手段，在觀察式子結構特點的前提下，把已知條件、或結論轉化為同一個函數取兩個不同自變量值時所呈現出的式子結構，再借助函數性質轉化為一元函數問題求解.

例3已知實數x,y滿足3x-y≤ln(x+2y-3)+ln(2x-3y+5)，則x+y=____.

分析觀察條件式的結構，注意到3x-y=(x+2y-3)+(2x-3y+5)-2,所以條件式可看做不等式lnt-t≥-1中取兩個不同值而得到.

略解因為3x-y=(x+2y-3)+(2x-3y+5)-2.所以，ln(x+2y-3)-(x+2y-2)+ln(2x-3y+5)-(2x-3y+5)≥-2.求導運算知函數f(t)=lnt-t的最大值為-1，所以只有ln(x+2y-3)-(x+2y-2)=ln(2x-3y+5)-(2x-3y+5)=-1.

練習題：已知函數f(x)=x-alnx(a∈R)的極小值小于a.

(1)求實數a的取值范圍；

(2)是否存在正整數k，使得當a>k時，不等式aa+1>(a+1)a恒成立？若存在，求出最小的正整數k；若不存在，請說明理由.

參考答案:(1)a>1；(2)k=3.

四、消元法

消元法是通過尋求變量之間的常量關系，借助變量之間的常量關系實現用一個變量表示另一個變量，從而達到消元的目的.

例4已知函數f(x)=x2+mln(1+x),

(1)討論函數f(x)的單調性;

(2)若函數f(x)有兩個極值點x1、x2，且x1

求證：2f(x2)>-x1+2x1ln2.

五、最值法

把所要解決的問題，轉化為通過函數的最值問題，通過函數最值之間的大小關系解決函數值之間的大小關系.

略解注意條件中x1,x2,x3的任意性，要證f(x1)+f(x2)≥f(x3)，只需證2fmin(x)≥fmax(x)即可.

當a≤1時，由2fmin(x)≥fmax(x)得a=1.

當1

當a≥e時，由2fmin(x)≥fmax(x)得e≤a≤4.

所以，1≤a≤4.

六、代入化簡

從化簡的角度出發，將復雜的式子直接代入，達到求解目的.

例6 已知函數h(x)=aex，直線l:y=x+1

(2)若函數h(x)=aex的圖象與直線l:y=x+1有兩個不同交點，求實數a的取值范圍;

(3)對于(2)的兩個交點橫坐標x1,x2及對應的a，當x1

分析(只給出(3)的分析)首先由(2)知：0-1.由已知得aex1=x1+1,aex2=x2+1，將上式代入2(ex2-ex1)-(x2-x1)(ex2+ex1)

略解略.

(1)討論函數f(x)的單調性;

(2)若函數f(x)存在兩個極值點x1,x2且滿足f(x1)+f(x2)>4，求a的取值范圍.

提示：由條件知x1,x2是方程f′(x)=0的兩個根，由韋達定理及f(x1)+f(x2) ，代入化簡即可得關于a的不等式，再借助求導即可解決.

參考答案：(2)1

上述介紹了六種多元導函數問題及解決策略，不論題型還是解法基本涵蓋多元導數問題，如果深刻理解上述示例，我想不僅對專題復習教學和學生成績提升一定帶來很多益處.