審視結(jié)構(gòu)特征 構(gòu)造合理函數(shù)
——例談利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的構(gòu)造法

范習(xí)昱

(江蘇省鎮(zhèn)江市丹徒高級中學(xué) 212143)

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值和最值，再由單調(diào)性來證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個(gè)難點(diǎn)，也是近幾年高考的熱點(diǎn)．解題思路是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證明不等式.而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造出一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵，也是難點(diǎn)之處．

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本的思維程序：根據(jù)不等式的特點(diǎn)，構(gòu)造輔助函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)求出該函數(shù)的最值，由輔助函數(shù)取最大(或最小)值時(shí)不等式都成立，可得目標(biāo)不等式恒成立，從而把證明不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問題.

而利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)，下面選取經(jīng)典的案例(一些是高考題)，探討構(gòu)造輔助函數(shù)的幾類有效策略.

一、直接移項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)

點(diǎn)評當(dāng)要證的不等式結(jié)構(gòu)比較簡單，由基本的表達(dá)式(基本的多項(xiàng)式、根式、三角式，對數(shù)式等)構(gòu)成，可以直接移項(xiàng)就能構(gòu)造函數(shù)，這應(yīng)該是利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的最為常見和基本的方法．

二、合理換元構(gòu)造函數(shù)

構(gòu)造輔助函數(shù)f(x)=1-x+lnx，證明其最大值小于或等于零即可．

另解構(gòu)造輔助函數(shù)：

∴當(dāng)-10時(shí)，f′(x)>0，即f(x)在x∈(0,+)上為增函數(shù).因此在x=0時(shí),f(x)取得極小值f(0)，而且是最小值.

點(diǎn)評一些不等式結(jié)構(gòu)看似復(fù)雜，直接移項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)，雖然也能證明，但會帶來較大的運(yùn)算量，這樣構(gòu)造的函數(shù)并不合理，適當(dāng)變換后合理換元，再來審視要證的不等式，構(gòu)造方法便豁然開朗了．

三、恒等變換構(gòu)造函數(shù)

點(diǎn)評一些不等式結(jié)構(gòu)具有雙變量的特點(diǎn)，經(jīng)過恒等變換，能夠化成一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值的關(guān)系，根據(jù)這種通式便可找到合理的“輔助函數(shù)”加以解決．

四、對數(shù)變換構(gòu)造函數(shù)

案例5當(dāng)b>a>e時(shí)，證明ab>ba.

案例6已知m、n都是正整數(shù)，且1(1+n)m．

點(diǎn)評一些不等式結(jié)構(gòu)具有冪指數(shù)形式，對所證不等式兩邊取對數(shù)，進(jìn)行恒等變形，就可找到很合理的“輔助函數(shù)”．

五、確定主元構(gòu)造函數(shù)

點(diǎn)評這是2004年全國卷理工科第22題第二問，大部分的學(xué)生都會望而生畏而放棄，學(xué)生的思維盲點(diǎn)主要就在對所給函數(shù)不知怎么用，雖然有兩個(gè)變量，但我們?nèi)匀浑y以像案例3一樣通過整體換元，或者像案例4那樣通過恒等變換構(gòu)造輔助函數(shù)，但是如果確定一個(gè)主元，利用極值偏移的思想，還是能找到合理的輔助函數(shù)求解的．

毫無疑問，構(gòu)造輔助函數(shù)是異常艱難的過程，很多學(xué)生都會覺得輔助函數(shù)是“可望而不可及”的，帶著很強(qiáng)的猜測性，其實(shí)，我們?nèi)缒芸偨Y(jié)這些構(gòu)造的常見方法，也是能找到很多共性的．當(dāng)然，還有很多不太常見的構(gòu)造方法，這里不在贅述．