微專題復習：值得重視的一類課型
——以“黃金分割”專題復習課為例

☉江蘇省蘇州高新區實驗初級中學 丁 香

黃金分割是一個非常重要的知識點，各種版本的教材都在不同章節通過例、習題或數學活動進行滲透，作為中考復習，有必要將黃金分割作為一個專題復習.本文是筆者設計的一節“黃金分割”專題復習課，整理出來，供研討.

一、“黃金分割”專題復習活動設計

活動1：復習黃金分割的定義

問題1：如圖1，點C在AB上，AC∶AB=BC∶AC.若AB=1，求AC的長.

圖1

預設：學生利用一元二次方程解出AC的長為之后，給出黃金分割比值，指出它的近似值通常用0.618表示，進一步給出定義.

定義：黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值

運用定義解釋以下尺規作圖：

如圖2，以AB為直角邊作直角三角形ABC，使∠ABC=90°，BC=AB，在斜邊AC上取CP=CB，再在AB上取AG=AP.則點G為線段AB的黃金分割點.

圖2

活動2：認識黃金三角形

問題2：如圖3，在等腰△ABC中，頂角∠A=36°，BD為∠ABC的平分線.

（1）求證：AD=BD；

（2）圖中有三角形相似嗎？

（3）若AC=2，求底邊BC的長.

教學組織：在學生練習之后，引導他們根據黃金分割的定義，確認點D為邊AC的黃金分割點，這種三角形常常稱為“黃金三角形”（頂角為36°的等腰三角形），它的底邊與腰長的比值為

圖3

活動3：找一找黃金分割點

問題3：以下構圖簡單、自然，卻能得出黃金分割點，你能說明理由嗎？

（1）如圖4，分別以BC為一邊向兩側作等邊三角形ABC和正方形BCDE.以點C為圓心、CE為半徑畫弧，與射線AB交于點F.則B是線段AF的黃金分割點.

圖4

圖5

（2）如圖5，先構造邊長分別為3、4、5的三角形ABC.作角B的平分線，與邊AC交于點D.以點D為圓心、DA為半徑作圓，與角平分線分別交于點E、F.則E是線段BF的黃金分割點.

（3）如圖6，畫一個含30°角的直角三角形ABC，∠ABC=30°，∠C=90°.取AB的中點E，以點E為圓心、AB的長為半徑畫圓，與CB的延長線交于點D，則B為線段CD的黃金分割點.

教學組織：通過幾個好懂的作圖得出黃金分割點，安排學生“回到定義”去判斷，加深對黃金分割比值的理解.

圖6

活動4：考題中的黃金分割

問題4：如圖7，菱形ABCD中，點E是對角線AC上一點，且EA=AB，EB=EC=ED=1，求菱形的邊長.（至少兩種方法求解）

圖7

解法預設：

圖8

解法1：如圖8，連接BD交AC于點O，設菱形的邊長為x，則在直角三角形AOD、直角三角形DOE中，利用公共邊DO，可得關于x的方程，解得x=

解法2：可證△CDE∽△CAD，可得CD2=CE·AC.設菱形的邊長CD為x，可得x2=1·（x+1），解得

解法3：設∠CDE=α，容易導出∠DCE=α，∠DAE=α，∠ADE=∠DEA=2α.在△ADE中，利用三角形內角和可求出α=36°，于是△ADE是黃金三角形，底邊DE=1，則腰長為，即菱形的邊長為

教學組織：先安排學生獨立練習，然后組內展示不同解法，最后由小組派出代表上臺講解，教師點評時注意引導學生識別黃金三角形.

二、教學立意的進一步解讀

1.深入研究教材，挑出在不同分冊的素材與題例

教材編寫者對一些經典問題或奇異性質往往采取分批呈現、螺旋上升的安排方式，像本文關注的黃金分割的經典圖形，在八年級上學期學習等腰三角形時就出現過“黃金三角形”，但是由于當時還沒有相似的知識，也沒有一元二次方程的知識儲備，所以對“黃金三角形”的研究并不深入，所以這個圖形在本專題復習中得到全面關注和研究.此外，有些教材在圖形認識初步學習時，讓學生通過畫四邊形，并取四邊中點得到“中點四邊形”，學生通過度量、猜想發現中點四邊形的性質，但由于沒有學到平行四邊形、中位線的性質，所以在七年級時沒有進行證明，這也是不同分冊的教材對經典問題、奇異性質的分批呈現與螺旋上升，我們在中考備考復習時就要注意抓取這些素材，引導學生“再認識”.

2.檢索各地考卷，精選體現黃金分割考點的習題

研究中考試題是很多同行的興趣，特別是針對一些較難的綜合題進行解析更是不少教研群（QQ群、微信群）的主要內容，然而針對經典問題（如黃金分割）這樣的專題研究不是很多，似乎研究考題一定有要“獵奇”的追求.我們通過檢索各地考卷發現，在不少地區（如上海、安徽等地）關鍵考題的位置上都隱含考查了黃金分割的考點.需要注意的是，這種檢索并不是按關鍵字、關鍵詞來檢索，而是需要認真解題，在演算過程中發現試題中存在黃金分割的結構特征，這類習題就需要被抓取出來，作為歸類收集的重要素材，為日后研發黃金分割習題課積累資料.

3.注重演算說理，呈現數學問題預設多解與追問

黃金分割的相關作圖、構圖方法很多，如何帶領學生解讀、理解這些方法也是備課階段重點考慮的.在上面的課例中，我們提供了4種較為典型的構圖方法，為了節約課堂時間，沒有安排學生模仿作圖，而是安排學生對這些構圖方法進行解讀、演算，通過運算確認構圖方法的正確性，也感受到黃金分割的奇異之美.另外，對一些典型問題還預設了不同思路，要求學生運用不同方法解答，體現思維的發散性，同時不同的解法也對應著不同知識模型，體現黃金分割與多個不同知識模型的廣泛聯系.

三、關于微專題復習的兩點思考

1.值得重視的微專題復習課型

我們注意到高考備考階段特別重視微專題的復習研討活動，在中考復習階段也有不少教師積極嘗試，開展了中考微專題復習課型的建構與推介，這些都給我們積極啟示.從教學實踐來看，微專題復習課能讓學生更有參與的熱情，充滿探索新知的興奮與樂趣，是值得我們積極參與的一類課型.相比傳統的中考復習分一輪、二輪，微專題復習這種“八股化”做法，以某一個知識點或主題推進復習進程，所選習題跨不同年級，形散神聚，讓學生有“一線串珠”的感覺.

2.微專題復習課重在精選主題

微專題復習課的備課選題需要教師長期積累，特別是針對本地區中考試題、課本例題和習題有深入的對比研究，能敏銳地抓取出一些典型問題，挑選出一些有價值的研究主題，然后將這些典型例、習題或考題在某一個主題下由易到難“串題成課”，使得一節課下來，學生訓練不同章節的習題，但都是聚焦某一條主線，漸次展開.上文關注的黃金分割，其實還可以主題關注“圍長方形問題”，從七年級的字母表示數、一元一次方程，到八年級的整式乘除、因式分解、分式運算，再到九年級的一元二次方程、二次函數等，都可以聚焦“圍長方形問題”；再比如，聚焦“三個一次”，關注一元一次方程、一元一次不等式、一次函數之間的聯系，等等.這些都是值得研究的微專題復習課.