不可忽視的隱含條件

☉山東省濟南市萊蕪區雪野鎮中心中學 郭立春

-（x2+2x）=1，則x2+2x的值為______.

小明的解法：設x2+2x=y，原方程可變形為-y=1，整理得y2+y-6=0.

解得y1=-3，y2=2.

經檢驗，y1=-3，y2=2都是原方程的根.

則x2+2x的值為-3或2.

小明的解法是否正確？當x2+2x=-3時，x2+2x+3=0.該方程的判別式Δ=22-4×1×3=4-12=-8＜0，因此方程x2+2x+3=0無實數根，這與已知條件“x為實數”矛盾.因此不存在這樣的實數x，使x2+2x=-3.也就是說，x2+2x的值不可能為-3.為什么x2+2x的值不可能為-3呢？我們不妨對x2+2x的取值范圍進行考察.通過配方，可得x2+2x=（x+1）2-1.顯然（x+1）2≥0，因此（x+1）2-1≥-1，即x2+2x≥-1.由于x2+2x在原分式方程中還處于分母的位置，因此x2+2x≠0.所以x2+2x的取值范圍是x2+2x≥-1且x2+2x≠0.而-3＜-1，不在x2+2x的取值范圍內，因而x2+2x的值不能為-3.2＞-1，在x2+2x的取值范圍內，因而x2+2x的值為2合理.因此x2+2x的值為2.

從上面的分析不難看出，小明的解法不對，它忽視了x2+2x的取值范圍，這是一個隱含條件，不易察覺，稍有不慎，就很容易被忽略而致錯.事實上，不僅我們會遇到很多蘊含隱含條件的數學問題，而且我們所學的很多數學公式、定理、幾何圖形的性質等也蘊含隱含條件.在解決數學問題時，要注意考慮其中蘊含的隱含條件，剔除不合題意的解.

一、在解決分式問題時忽視分母不能為0這個隱含條件

分式的分母不能為0，這是分式有意義的條件.解分式方程為什么要驗根？實質上也是從分式有意義的條件上進行考慮.在解答與分式有關的問題時，這個條件常常容易被忽視而致錯，這應當引起我們足夠的重視.

例1分式的值為0，則x=______.

一些學生一看到題目，認為只需令分子x2-1=0即可，解得x=±1.事實上，當x=1時，分母x2+2x-3=0，此時分式無意義，因此x≠1.當x=-1時，分母x2+2x-3=-4≠0，因此x=-1.因此本題的正確答案是x=-1.如何避免上述錯誤？我們可以先將原分式化為最簡分式，得，然后令最簡分式的分子等于0，得x+1=0，則x=-1.這樣就可以避免上述錯誤.

牛刀小試：分式的值為0，則x=______.

例2先化簡，然后對a取一個你喜歡的數代入求值.

牛刀小試：先化簡），然后選取一個你喜歡的m值代入求值.

二、在解決一元二次方程問題時，要注意方程有實數根的隱含條件

我們知道，一元二次方程的判別式與一元二次方程的根有密切的關系.當判別式大于0時，一元二次方程有兩個不相等的實數根；當判別式等于0時，一元二次方程有兩個相等的實數根；當判別式小于0時，一元二次方程沒有實數根.在解答一元二次方程問題時，一些學生經常由于忽視一元二次方程有實數根的條件而致錯.

例3已知關于x的一元二次方程x2-mx+2m-1=0的兩個實數根的平方和為7，那么m的值是______.

錯解：設方程的兩根分別為x1、x2，則有x1+x2=m，x1x2=2m-1.

x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=7，則m2-2（2m-1）=7，即m2-4m-5=0.解得m=5或m=-1.

剖析：當m=5時，原方程為x2-5x+9=0，此時判別式Δ=（-5）2-4×9=-11＜0，方程無實數根，因而m=5不合題意，應舍去.當m=-1時，原方程為x2+x-3=0，此時判別式Δ=12-4×（-3）=13＞0，因此m=5符合題意.因而正確答案為m=5.上述錯解忽視了一元二次方程有實數根的條件，因而在解答時要注意考慮一元二次方程有實數根這個隱含條件，并根據這個條件剔除不滿足原方程有實數根的m的值.

牛刀小試：已知關于x的一元二次方程x2+kx+2k-1=0的兩個實數根的平方和為23，那么k的值是______.

三、在解決三角形問題時，要注意三角形存在的隱含條件

三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，這是三角形的三邊關系定理.在解決與三角形有關的問題時，要注意考慮三角形存在的隱含條件.

例4已知關于x的方程x2-（2k+1）x+4（k-0.5）=0.

（1）求證：無論k取什么實數，這個方程總有實數根.

（2）若等腰△ABC的一邊長a=5，另兩邊的長b、c恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長.

第（1）問比較簡單，只需證明原方程的判別式大于或等于0即可.對于第（2）問，需要對a進行討論.因為a可能是等腰三角形的底邊長，也可能是等腰三角形的腰長.下面我們來解答第（2）問.

①當a為底邊時，b、c為腰長，則方程x2-（2k+1）x+4（k-0.5）=0有兩相等的實數根.所以原方程的判別式等于0，即（2k+1）2-4×4（k-0.5）=0，解得k=1.5.此時方程為x2-4x+4=0，方程的根為x1=x2=2，即b=c=2，三角形的周長為5+2+2=9.

②當a為腰長時，b、c兩邊中必有一邊為腰，因而5必是原方程的根.代入原方程，得52-5（2k+1）+4（k-0.5）=0，解得k=3.原方程為x2-7x+10=0.解得x1=2，x2=5.三角形的周長為5+5+2=12.

因此△ABC的周長為9或12.

表面上看上述解答天衣無縫，其實存在漏洞.當a為底邊時，我們求出的三角形的三邊長分別為5、2、2，這樣的三角形存在嗎？2+2=4＜5，顯然這樣的三角形不存在，這種情況不符合題意，它忽視了三角形存在的條件.當a為腰長時，所求出的三角形三邊長分別為5、5、2，滿足三角形的三邊關系定理，因而這樣的三角形存在，符合題意.因而△ABC的周長為12才是正確答案.

牛刀小試：已知關于x的方程x2-（3k+1）x+2k（k+1）=0.

（1）求證：無論k取什么實數，這個方程總有實數根.

（2）若等腰△ABC的一邊長a=6，另兩邊的長b、c恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長.

四、在解決一元二次方程的實際問題時，忽視一些關鍵字詞等隱含條件

在解答一元二次方程的實際問題時，一般情況下所列的一元二次方程有兩個實數根，多數情況下我們會舍去負數根.如果所列的一元二次方程有兩個正實數根，有時我們也要根據實際問題中的關鍵字詞蘊含的隱含條件將其中一個正實數根舍去.如根據“減少庫存”或“使顧客得到實惠”等，舍去那些對商家或顧客“不利”的根.

例5某百貨商場服裝柜在銷售中發現“寶樂”牌童裝平均每天可售出20件，每件盈利40元.為了迎接“六·一”兒童節，商場決定采取適當的降價措施，擴大銷售量，增加盈利，減少庫存.經市場調查發現：如果每件童裝降價4元，那么平均每天就可多售出8件.要想平均每天在銷售這種童裝上盈利1200元，那么每件童裝應降價多少元？

牛刀小試1：某商場將進價為2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8臺.為了配合國家“家電下鄉”政策的實施，商場決定采取適當的降價措施.調查表明：這種冰箱的售價每降低50元，平均每天就能多售出4臺.商場要想在這種冰箱銷售中每天贏利4800元，同時要使顧客得到實惠，每臺冰箱應降價多少元？

牛刀小試2：圖1是一個正方體的表面展開圖，已知正方體相對兩個面上的數相同，且不相對兩個面上的數值不相同，則“★”面上的數為（ ）.

A.1 B.1或2 C.2 D.2或3

圖1

以上我們僅從四個方面舉例談了在解決數學問題時要注意題目中的隱含條件.當然，數學問題中的隱含條件遠不止這些，如在解決二次根式問題時，容易忽視被開方數為非負數這個隱含條件，在應用拋物線的性質比較二次函數值的大小時，容易忽視在對稱軸的同側這個隱含條件，在應用反比例函數的性質時，容易忽視在每一象限內這個隱含條件.中考命題者常常根據這些隱含條件設置一些陷阱，只要我們在平時的學習過程中注意總結，多加練習，相信在中考中一定能繞過這些“陷阱”，取得令人滿意的成績.F