揭示“結構”：讓解題教學更顯深度

☉江蘇省常熟市尚湖中學 戴曉艷

深度教學是當前一個熱點教研課題，不少教師在自己的教學實踐中追求深度教學.新授課中以針對教學內容的深刻理解，設計出具有深度的教學環節，促進學生深刻理解新知.但針對習題課的解題教學，如何更顯深度、更有品質的題例教學研究并不多見.本文結合最近收集的幾則解題教學案例，反思解題教學如何追求深度教學，供研討.

一、解題教學講評案例

案例1：如圖1，點P是鄰邊為4、6的矩形ABCD內一點，連接PA、PD，作PE⊥BC于點E.分析PA+PD+PE的最小值.

圖1

圖2

圖3

圖4

講評記錄：這是一份?？荚嚲碇械奶羁疹}，從批改情況來看，學生都不會解答，幾個優秀學生誤認為點P恰為矩形的中心時，PA+PD+PE取得最小值，這是一種典型錯誤.還有少數優秀學生有了一些進展，如圖2，先確認P點應該在AD的垂直平分線上，作PH⊥AB于H點，設PE=x.PH=3，AH=4-x.由勾股定理，得AP=.設PA+PD+PE=k，則k=2+x，接下來沒有進展了，于是他們放棄了這種思路.事實上，這種思路也是可以走通的，只是運算量太大，比如，整理成關于x的一元二次方程，得到3x2+（2k-32）x-k2+100=0.由根的判別式為非負數，可得關于k的不等式k2-8k-11≥0.利用二次函數的圖像分析出k≥4+3，于是問題獲得解決，PA+PD+PE的最小值為4+3

順便指出，我們也可利用高中階段的基本不等式處理.比如，設點P到AD的距離為b，則PE=4-b，可列出t=2+4-b.注意到

以上解法主要是繁雜的運算，難以順利“算”出來，所以不少學生選擇放棄了這個方向.但從上面求解來看，這是一種“通法”，是值得積累的解題經驗.如果止步于這種“算”的思路，只是就題解題，滿足于一種解法的獲得，屬于淺層次教學，我們需要追求深度教學.比如，選擇構造圖3進行分析，分別以AD、AP為邊作兩個等邊三角形ADG、△APH，可證出△APD≌△AHG，PD=GH，這樣分析PA+PD+PE的最小值就是過點G作GE⊥BC于點E（如圖4），此時容易求出最小值就是等邊三角形ADG的高3與矩形的寬4之和，即4+3.

解后回顧：進一步觀察圖4，當PA+PD+PE取得最小值時，點P在AD的垂直平分線上，且PA與邊AD的夾角為30°.原問題中矩形的邊長可以一般化為任意數據，都可使用這種幾何構造的方法獲得最值，這樣也就可以解答以下這個經典問題.

同類鏈接：如圖5，正方形ABCD中，對角線AC、BD交于點O.如圖6，正方形ABCD中，點E、F在AD的垂直平分線上，∠EAD=∠EDA=∠FBC=∠FCB=30°，可以證明AE+DE+EF+BF+FC＜AC+BC.

圖5

圖6

案例2：如圖7，梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=4，BC=6，AB=14，在邊AB上找一點E，當△EAD與△EBC相似時，求AE的長.

圖7

圖8

圖9

講評記錄：如果我們只是滿足于設AE=x，分類討論（兩種可能的相似對應）列出方程，求出x的3個值，就結束該題的講評，則是典型的淺層次教學，入寶山而空返.我們需要進一步通過解后反思，揭示問題的圖形結構.比如，先構造圖8，以CD為直徑作圓交AB于點E、E′，進一步根據直徑所對的圓周角為直角，可得到兩種相似的情形；在此基礎上，如圖9，取點D關于AB的對稱點F，連接CF，交AB于點E″，對應著第三種情形.這樣就可以讓學生對這道習題的理解走向深刻，解題教學的深度也得到顯現.此外，熟悉圖9中構造圖形的方式，還可以為一些找不到思路的學生打開思路，獲得解題念頭.講評之后，再安排一道同類題跟進，鞏固效果.

同類鏈接：如圖10，在矩形ABCD中，點M、N分別在邊AB、BC上，且AM=AB，將矩形沿直線MN折疊，點B恰好落在AD邊上的點G處.若CD邊上恰有（有且只有）2個點P，能帶來△PGD與△PNC相似，探究的值.（限于篇幅，不再給出解析，答案為

圖10

圖11

案 例3：已知拋物線y=x2+bx+c經過A（m，n）、

（1）用含m的式子表示b；

（2）求n的值；

（3）求△ABC的面積.

教學記錄：（1）根據A、C兩點坐標的特征，容易看出拋物線的對稱軸為直線x=m+3，即b=-2m-6.

（2）把點A（m，n）、C（m+6，n）的坐標分別代入拋物線的解析式，先后解出b=-2m-6，c=m2+6m+n，代入拋物線的解析式，得y=x2-（2m+6）+m2+6m+n，再把點的坐標代入，就可解出n=8.這是重要進展和關鍵步驟，有些學生因為這一步沒有解出導致思路受阻.

（3）學生容易看出AC的長是6，且AC與x軸是平行的，但是對于AC邊上的高不容易突破，因為有些學生第（2）問中的n就沒能求出.事實上，如果我們深刻理解二次項系數為1的拋物線的形狀，也可以直觀讀出AC邊上的高應該是5.如圖11，直觀揭示了本題的深層結構，講評時或講評之后，有必要帶領學生理解這種結構，也是加深學生對形如y=x2的二次函數圖像性質的理解.

二、關于解題教學走向深度的進一步思考

1.理解習題“深層結構”，想清“多解何以歸一”

教師在解題教學的講評之前需要精心備課，不能滿足于習題答案的獲得，或者某一種思路的貫通，這樣走進課堂，往往只是照著解答的淺層次教學，不能實現深度教學.如考題2只是滿足于利用方程思想“盲解”出答案，結束講評就“看下一道題”，就是沒能走向深度教學.值得一說的是，對于有些習題，開展一題多解的教學講評是必要的，但還需要更進一步，思考“多解何以歸一”，以便幫助學生揭示問題的深層結構，使學生感受到不同解法在“高觀點”反思之后的和諧與一致.

2.多讓學生“講題”展示，跟進評析并回顧反思

解題教學走向深度還需要重視發揮學生的主體作用，具體的操作要義是“讓學”，即海德格爾所說的“讓學生學”.在解題教學過程中，我們可以讓學生走上講臺，讓他們講解對習題的理解，思路是怎樣獲得的，受到哪一句關鍵詞句信息的影響，或者受到哪一種解題模型、解題經驗的啟示，如果沒有求得最后結果，教師要通過追問讓學生展示有哪些進展，主要障礙在哪一步，能否攻克某一關鍵步驟，等等.在講評之后引導學生回顧反思，思考關鍵步驟是如何攻克的，哪些是易錯點，如何糾錯和究錯，等等.最后，還可把同類問題進行鏈接式訓練，幫助學生從“解一題”到“會一類”.這樣，就使得解題教學走向了深度教學，也就能讓學生通過“學解題”達到“會解題”.