合作學習：從“數學交流”走向“互助學習”

☉江蘇省蘇州市吳江區松陵第一中學 陳 明

最近讀到福建師范大學數學與信息學院李祎教授的《別被理念綁架教學》（見參考文獻［1］），文中指出：“我們日常所謂的數學合作學習，其實是數學交流，數學交流僅僅是數學合作學習中的一個環節，并非數學合作學習的全部．”合作學習是指“學生在小組或團隊中為了完成共同的任務，有明確的責任分工的互助性學習”．近年來，筆者在“合作學習”的課題研究過程中，對李教授的上述觀點深有感觸、引發共鳴．本文將結合課題研究實踐過程中積累的一些案例，例談合作學習要注意從“數學交流”走向“互助學習”．

一、“互助學習”的案例與解讀

案例1：探究兩個三角形全等的條件

三角形全等的判定方法是非常重要的幾何知識，義務教育課程標準將“邊邊邊”“邊角邊”“角邊角”作為基本事實給出，教學時如何組織這些判定方法的情境創設考驗著不少教師的教學基本功．經過多次實踐，筆者覺得適時運用合作學習、互助學習能有效提升課堂教學效率．以下整理筆者關于“邊邊邊”判定方法的教學活動：

教學活動：同學們剛剛通過作圖確認了在兩個三角形中，只給定一個元素相等，或兩個元素分別相等，兩個三角形不一定全等，大家畫出的三角形“各不相同”，下面我們給定三個元素再來作圖.比如，第一小組的同學作三邊長分別是2cm、3cm、4cm的三角形，第二小組的同學作三邊長分別是3cm、4cm、5cm的三角形，第三小組的同學作三邊長分別是3cm、3cm、4cm的三角形，第四小組的同學作三邊長分別是1.5cm、2.5cm、3cm的三角形，在各組作好三角形之后，由各小組組長檢查對比本組同學所畫三角形的形狀與大小，可以確認小組內作出的三角形都是全等的．從而給出基本事實：三邊分別相等的兩個三角形全等．簡記為“邊邊邊”或“SSS”．

說明：上述教學活動充分發揮了分組學習、合作學習的優勢，讓不同小組做不同的嘗試，用不同的邊長畫圖，分別確認，這樣可以有效節約課堂教學時間，因為每個小組的作圖任務的思維含量、數學技能的層級是一致的，所以這樣的分組合作學習就是有效的．事實上，在此基礎上，繼續研究“邊角邊”“角邊角”判定方法時，也可采用同類的教學方法，開展小組合作學習，這也就從簡單交流走向了互助學習．另外，在圓周角性質的發現與證明過程中，也可安排小組合作學習，讓不同小組對同弧所對圓周角展開探究，小組內先交流各自發現，然后組織大組交流展示，最終確認圓周角的性質．

案例2：探索發現一元二次方程“根與系數的關系”

一元二次方程根與系數的關系（韋達定理）雖然是選學內容，但由于在高中階段有著廣泛的運用，而目前初中生有大多數都將升入高中學習，所以在平時教學中，教師都不會淡化這個知識點的教學．那么，如何引出一元二次方程根與系數的關系呢？筆者有如下的實踐：

教學活動：先將學生分成4個小組，小組長從教材或近期作業中選出4道左右有代表性的一元二次方程題，列表對比這些方程兩根之和與兩根之積．然后小組內交流各自的發現，形成意見后全班交流，猜想歸納得出根與系數的關系．教師在學生“分組實驗”的基礎上，啟發學生猜想發現才邁出重要一步，雖然在各組分工研究過程中沒有發現“反例”，但是并不能保證它的正確性或一般性，需要進行證明才能確認這一性質，于是讓學生“回到定義”，需用求根公式證明韋達定理．

說明：現在不少地區推行數學實驗，而且把數學實驗簡單化理解為一些折紙操作的動手實驗活動．事實上，像上面分組探究一元二次方程根與系數的關系也是數學實驗的重要內容，但是分組合作、動腦計算、猜想發現之后還需要啟發學生走上“一般證明”之路，“有了證明才是真數學”，否則與其他科學類課程傳遞的實驗教學區別不大．類似地，反比例函數圖像的位置的探索，也可以運用類似的分組合作學習的方式，讓不同小組將探究到的反比例函數圖像的位置、特點與性質進行交流，最后大家討論確定反比例函數的圖像與性質.在這個過程中，也要注意從圖形直觀的實驗走向理性說明，比如，充分考慮反比例函數解析式中“分式”的特點，發現自變量、函數值都不可能為0，這樣就可充分解釋雙曲線與坐標軸沒有交點等性質，也可讓學生感受到數與形之間的和諧、一致與數形互助思想．

案例3：寫出兩個正多邊形的相同點與不同點

進行正多邊形的教學時，筆者曾設計如下一道習題：給出正五邊形、正六邊形（如圖1），寫出它們的相同點、不同點（至少各寫3點）.

圖1

教學組織：考慮到答案的豐富多樣，安排學生先獨立思考，然后分組合作，互助學習，在小組內匯報交流各自發現，然后派出代表到講臺上講解他們小組的發現，再安排幾個學生在黑板上類比收集，寫在黑板上相應的位置.待各個小組都匯報展示之后，引導學生思考為什么有這么多答案，大家是從哪些角度思考的，并在此基礎上小結出研究一個幾何對象的套路，如定義、要素（邊與角）、相關要素（外角、對角線）、對稱性質（軸對稱與中心對稱）、外接圓與內切圓（中心、邊心距）等，讓這道開放式習題的教學功能得到強化，而不只是滿足于多樣化答案的獲得.

案例4：銳角三角函數起始課的探究情境

銳角三角函數的概念引出是很多教師感到困惑的一個教學難點，因為不同教材上的方式各不相同，多數版本的教材采取的是生活現實情境，從中抽象出直角三角形，分析各邊之比定義銳角三角函數.筆者經過對比，采取如下合作學習的方式，引出新知：

圖2

圖3

圖4

進一步安排學生分組研究這3條直線，在這些直線上任意取點P、Q，研究點P的坐標之間的比值在各自圖形中是否變化.學生分組交流確認不變之后，抽象出圖5，走向一般，得出變量α與比值之間的單值對應關系，從而對照函數概念，定義銳角三角函數（先定義正切函數，再生成正弦函數、余弦函數）.

圖5

說明：基于坐標系定義銳角三角函數有一個優點，即有利于將來高中階段將三角函數進一步擴充、完善，同時是基于學生 “最近發展區”（正比例函數的圖像）而設計的一個“數學現實”．安排學生分組研究，匯總各組的發現可以確認和歸納出一些性質，從而引導學生對照函數定義（變化過程中，兩個變量，單值對應）生成新的概念．

二、關于合作學習的進一步思考

1.基于教學內容想清“合作學習”是否必要

為了防止合作學習流于形式，教師在備課階段就要針對教學內容想清教學組織形式，針對一些合作學習的環節想清辨明是否存在分組合作的必要，對于一些可有可無的合作形式，能精減則精減，寧可多安排學生獨立思考、探索.特別是對一些解題活動，考慮到數學解題步驟之間連續性、關鍵步驟的獲得，不宜過多安排合作討論，因為在合作討論時，往往是優秀學生展示“破題”方法，其他學生看似領悟、學會，實質上關鍵步驟的獲得“得來全不費功夫”，不利于他們對解題重點和難點的掌握.而對于一些“等價”的探索活動，如上文案例1～2中，作三角形、不同一元二次方程根與系數的關系就適合分工合作進行“實驗”，然后匯總“實驗”結果，提出猜想并證明性質.

2.基于教學效率預設“合作學習”操作要義

課堂教學時間十分寶貴，為了確保一定的教學容量，我們需要恰當運用合作互助學習的方式來提高教學效率，上面提供的一些案例都是提高教學效率的有效活動.具體來說，針對教學內容的特點，預設合作學習的方式、時間、節點，并相機融入教師的指導、追問與點評，都對教師的課堂駕馭能力提出較高的要求，這就是所謂“怎么教”的研究課題.當然，還可提及弗賴登塔爾倡導的“有指導的再創造”，對有些低效的合作學習需要刪減，可以用教師的啟發式講授或指導取而代之，以提高課堂教學效率.總之，合作學習在課堂教學中需要相機而行，既要根據教學內容，又要兼顧課堂教學效率，在這個意義上說，教學也是一種“平衡”的藝術.