為“思”而學

張宏偉

全景式數學教育倡導：始終關注并充分發掘每一項數學內容、每一次數學教學活動在培養數學思考方面的重要價值，讓學生用數學學會思考，更多地為學生的思維發展而教，更多地為學生“成為有思想的人”而教，更大程度上把“數學知識的教學”轉變為“數學智慧的教育”。

下面以長方形和正方形的周長為例，說明全景式數學教育，如何用一節看似簡單、貌似沒有多大思維含量的課，來發展孩子數學思維、培養孩子數學智慧。

一、一樣的學習內容

以北京版小學數學教科書三年級上冊，第70、71頁，例2、例3（分別見圖1、圖2）為例。

二、不一樣的學習目標

1.知識技能：理解、掌握長方形和正方形的周長計算公式，會計算長方形、正方形的周長。

2.問題解決：能正確判斷和抽象哪些生活問題是求哪樣的圖形的周長問題，能解決生活中相應的、簡單的實際問題。

3.數學思考（上位與核心）：

①在思考周長問題時，能根據周長的意義，進行相應的空間想象，自覺向物體或圖形一周的邊線定向。明確求周長的時候，應該把思考的著力點放在分析邊線的特征上。

②能自覺地根據特征進行分類思考，決定采用一般的方法，還是與特征匹配的特殊方法。感悟到一般問題用一般方法去解決，特殊問題用特殊方法去解決;感悟到一般性方法是通用的方法，特殊的方法只能解決具有同樣特征的專項問題。特殊問題用特殊方法解決會更簡便。

③感悟用特殊方法解決問題的核心是發現事物和圖形的特殊之處;從不同的角度來思考，可以發現不同的特殊性，繼而發現不同的特殊方法。

④通過匯總、比較、分類、類推等策略，對同類問題進行整體性分析和思考，初步學會系統、結構性地思考和解決問題。

4.情感態度：在發現與周長問題相關的一般和特殊規律的過程中感受數學的簡潔、概括、神奇之美，在豐富多彩的學習過程中感受數學學習的有趣和快樂，在處理和解決問題中感受研究數學的價值。

三、不一樣的推進邏輯

這部分內容，國內所有版本的教材編排的思路都是先學長方形的周長，后學正方形的周長，無一例外。筆者卻把它們顛倒了過來，先學（圖2）正方形的面積，再學（圖1）長方形的面積

筆者之這樣顛倒，正是因為筆者看到了它培養孩子思考力的特殊價值。

筆者把這節課的推進邏輯（思考邏輯）確定為

先兩頭后中間！也就是先研究“一種極端情況”，再研究“相反的另一種極端狀況”一最后研究“中間狀況”。

四、不一樣的課程設計和教學過程

推進邏輯確定后，筆者以四點數學思考目標為核心進行了課程和教學的重建，具體的學習過程大致分為六個環節進行。

環節一：筆者引導學生把生活問題抽象成數學問題。

出示學生生活中的實際問題和情境，引導學生通過自己的思考、辨析和討論，明確求籬笆、封條、邊框、圍池塘走一周的長度等生活問題（見圖3），就是求相應圖形邊線的總長，即“周長”。

環節二：依次出現下面圖形.讓學生列算式求周長。

正方形的前四個圖形，學生都是用連加法，當正方形出現后，學生自然出現兩種算法，而且認為用乘法更簡便。

筆者接著追問，引發學生進一步思考：乘法簡便，前面的為什么不用，只有它用？

生：因為它特殊，四條邊都一樣。

師：它特殊，用特殊的方法（乘法）去解決，那這些一般的呢？

生：用一般的方法去解決。

此時，學生的智慧火花已經開始閃觀。

環節三：跳出正方形

1.我先拋出這兩個圖形：

師：它們能用特殊辦法解決嗎？

生：能，因為它們也是特殊的，四條邊都一樣？

通過這兩個圖形，讓學生突破了直角和直邊的限制。

2.再推廣到正多邊形：

通過讓學生解釋省略號的意思，啟發學生概括出：正幾邊形，就用邊長×幾。

3.再引入五角星突破凸平面圖形的限制：

4.最后，集中起來，整體比較，系統分析：

學生就會發現：求圖形的周長，不管曲直、凹凸，只要所有的邊長相同，就直接乘法計算：邊長×邊數。這是一種整體的、系統化、結構性的思考訓練。

老師們，回憶上面的過程，筆者僅僅是在教正方形的周長嗎？

絕對不是！

正方形只是思考特殊圖形周長的一個跳板，是發現“特殊問題特殊解決”的敲門磚。

環節四：從長方形周長學起

在學生研究完“最特殊”的正方形的基礎上，進入第4個學習模塊——研究長方形的周長：

師：你覺得它特殊嗎？

生：有一點特殊，特殊的地方是兩個長一樣，兩個寬一樣—所以用：長×2+寬×2。

生：可以看成最特殊的：這半圈的長和寬聯合起來，和那半圈是一樣的。所以，可以先求出半圈，再乘以2。

這種算法很難理解的，它是本節課的難點。這時，筆者把數學戲劇拉了進來。

這是一組學生在排練長和寬的過家家：他們把紅色的長比喻成男的，黃色的寬比喻成女的，然后一個長和一個寬結婚成一家人，這樣就可以組成兩個家庭，這兩家的總長完全相同，所以用長加寬的和乘以2。形象、生動、有趣，好理解，有學生一輩子都小會忘。

接著再引入下面四種圖形讓學生求它們的周長：

從直線到曲線，從直角到任意角，從四邊到多邊，讓學生學會類推，學生的思維一下子又打開了。

最后一個圖形，還引發了一段很逗趣的一段話：有的學生說像正方形一樣過家家，右邊的a、6、c三個人（邊）是一家，左邊的三個也是一家，兩家的總長度是一樣的，所以先用a+b+c，然后再乘以2。有的學生立馬反對，三個人怎么能結婚呢？有的學生馬上回擊：這不是玩游戲嗎？讓人忍俊不禁。

老師們，發現沒？長方形也只是解決這類問題的一塊敲門磚！

環節五：補上中間，全景分析

1.補上中間：

任何事物都不是非黑即白，還有中間的灰色地帶。

在學生研究好上述圖形周長后，還又全景地完善圖形類型和思考區域——補上圖形的中間地帶：

筆者首先引導學生認識到所有邊“都不一樣”和“都一樣”是兩個相反的極端，那么，下面四個圖形，學生自然就把它們放在中間地帶。

2.全景分析

最后，把本節課研究過的圖形，匯總成下圖：

讓學生看著匯總的全部圖形，同顧本節課的研究經歷，隨便聊聊自己的看法、自己的想法。學生談到的想法有：

l.左邊都不一樣長，只能用一般方法，也就是加法解決。右邊都一樣長，是特殊的情況，用特殊方法，也就是乘法解決。中間也可以用乘加解決。

2.加法可以算所有圖形的周長，乘法只能算特殊的、邊都一樣的圖形。

3.特殊的圖形用特殊方法更簡便。

4.求周長要注意看它的邊是不是都一樣長。

5.有的中間圖形，把邊聯合起來看，可以變成都是一樣的圖形（此時，我點破：這樣就把中間的圖形，變成了最特殊的都一樣的圖形，這就叫轉化）。

6.我們先學了極端的，后學習了中間的等等。

環節六：超越數學

師：孩子們，不僅僅是數學上的問題，生活當中遇任何問題，你都要先分析是什么情況。一般的情況一般對待，用一般的方法解決;特殊的情況應特殊對待，用特殊的方法解決。

比如，按照我們班級的約定，遲到是該批評的。如果遲到的學生在上學的路上，因為幫助路人，遲到了幾分鐘，你說覺得該批評嗎？

學生都覺得不應該批評，應該表揚。教師點撥：這就叫特殊情況特殊對待——這是在毓養更一般的、通用的思考方式和處事態度。