整數乘法最后一課的教學途徑與策略

沈敏杰

[摘 要]“三位數乘兩位數”是小學階段整數乘法知識的最后一個板塊，是學生在認識、理解和掌握兩位數乘兩位數的知識的基礎上進行算法遷移和理解算理，是小學階段筆算乘法的總結。通過梳理教材讀懂教學內容，進行前測，把握學生認知起點，把握本課教學目標。在此基礎上提出有效落實教學目標的三大策略：“計算”與“情境”相融，主動完成遷移; “算理”與“算法”相輔，自主構建模型;“估算”和“筆算”銜接，提升運算技能。

[關鍵詞]三位數乘兩位數;途徑;策略

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2019）17-0014-05

一、反思：“整數乘法最后一課”到底教什么

“三位數乘兩位數”是人教版教材四年級上冊的內容。很多教師都認為這節課沒什么好上的，太簡單了。打開教材，內容非常“簡單”：一個例題，只呈現了豎式計算和估算，后面加了一個練習，剛好一頁內容。分析后發現：學生已經掌握了筆算兩位數乘兩位數的方法和算理，其兩者間的算理、算法是一致的，只要稍微提示，學生便能順利遷移。

然而，真是這么“簡單”嗎？

筆者不這么認為。首先，“三位數乘兩位數”是筆算乘法的最后內容，既是對整數乘法筆算的總結，又是后續學習小數乘法的基礎。其次，學生掌握三位數乘兩位數的筆算的方法不難，但單純、反復進行計算訓練單調枯燥，會降低學生的學習興趣。最后在教學中，教師處理通常會教條化：關注算理和算法，忽略整數乘法的最后一堂課的意義所在;過分重視算法多樣化和強調計算的準確性等。

所有的這些，都意味著“三位數乘兩位數”的教學絕不能簡單化。

二、三個方面：“整數乘法最后一課”學什么

“三位數乘兩位數”作為義務教育階段整數乘法的最后一個知識板塊，到底要給學生留下什么？學生在整數乘法最后一節要學什么？可以從以下三個方面進行思考。

（一）梳理：讀懂教學內容

通過梳理教材可以發現，“三位數乘兩位數”是在學生掌握了口算乘法、多位數乘一位數的口算及筆算、兩位數乘兩位數的筆算的基礎上進行教學的。

整數乘法其計算本質是計數單位的累加，筆算乘法就是用豎式記錄幾個幾、幾十個幾、幾百個幾相加的和。從教材內容上可以發現，四年級的學生已經積累了相當豐富的活動經驗，能夠借助小棒、點子圖等理解算理，并用算理解釋算法，應該說，學生對算理的理解和算法的掌握已經非常好了。

（二）前測：把握認知起點

數學學習是以學生已有的知識和經驗為起點。學生學習新的知識和技能的遷移依靠原有的知識基礎、認知能力。“三位數乘兩位數”是在三年級學習了“多位數乘一位數”“兩位數乘兩位數”的筆算基礎上進行學習的內容。與“多位數乘一位數”“兩位數乘兩位數”相比，“三位數乘兩位數”和它們的算理及算法是相同的，這是教材編寫的邏輯起點，也是教師對學生預設的認知起點，然而，這兩個起點是不是一致？學生掌握到了什么程度？學生能否將原有的算理和算法主動遷移到新的情境中來？只有了解了這些問題，才能準確定位本節課的教學目標。

為了了解學生的真實狀況，對授課班級進行教學前測：

分析：學生基本掌握了“三位數乘一位數”，大部分學生能正確計算“兩位數乘兩位數”，并能夠利用之前的計算經驗遷移計算“三位數乘兩位數”。對于正確率還是低于教師預期，有三個原因：①一小部分學生不清楚算理算法，在第二步計算時數位對齊有問題;②連續進位時漏加或加錯進位數字;③學生缺乏檢驗的意識。

（三）建構：確定學習目標

1.要對整數乘法系統進行總結

“三位數乘兩位數”的學習建立在學生已有的知識與經驗的基礎上，其中的算理與算法沒有什么難度，學生能夠通過遷移進行學習。但是作為整數乘法教學的最后一塊內容，學習目標僅僅設定為“會算”是否夠了？筆者認為：學生應獲得更深的學習感悟，對整數乘法系統有一個總結。

2.自主遷移學習是主線

如果本節課只是單純地要求學生掌握算理和算法，那么這節課就會缺乏數學學習的生命力。計算教學蘊含著豐富的數學思想方法，如轉化、歸納思想等。本節課中，教師應引導學生根據已有的知識探究“三位數乘兩位數”的方法，從而遷移到后續的“三位數乘三位數”“四位數乘三位數”的運算中，最后總結整數乘法的算理和算法，整體把握筆算乘法的內涵。“遷移”作為掌握新知的方法，在關注計算的教學中往往是作為暗線來處理，而本節課中可以讓其成為明線，不僅關注計算，同時注重數學方法的提煉與總結，注重提升學生運用方法的意識，提升學生的學習力。

最后，本節課的學習目標定位如下：

知識技能：結合“三位數乘一位數”“兩位數乘兩位數”的知識經驗，自主理解“三位數乘兩位數”的筆算算理，類推“三位數乘兩位數”的計算方法，歸納筆算乘法的算法和算理。

數學思考：通過觀察、比較、推理與概括等實踐活動，經歷利用舊知解決新問題的過程，發展類推能力，提高估算能力和運算能力。

問題解決：在與他人交流算法的過程中，學會表達自己的想法，逐步養成善于傾聽、勇于質疑的好習慣，提高問題解決的能力。

情感態度：在數學學習中感受數學內在的魅力，形成良好的計算和估算習慣。

三、三大策略：探究“整數乘法最后一課”怎么學

（一）“計算”與“情境”相融，主動完成遷移

人教版教材將運算和解決問題這兩個內容放在一起編排，目的是把計算教學融入現實應用中，讓學生在問題的現實背景下經歷算法的探索過程，在解決問題中認識計算的工具性和解決現實問題的價值。

1.創設情境融合復習鋪墊

教材中的每個例題總是配一幅生活情景主題圖，所以很多教師課堂教學的第一環節就是“創設情境、提出問題”，一般都是按“復習——新授——鞏固”這樣的環節走，其實可以將這些過程合并。

【教學片段1】

出示情境：請選擇其中的一個問題后列式解答。

（1）王阿姨從杭州乘高鐵去北京用了5小時，高鐵每小時行315千米。杭州到北京有多少千米？

（2）張大伯從杭州開車去青島用了11小時，汽車每小時行75千米。杭州到青島有多少千米？

交流反饋：

師：你為什么用乘法來解決？你是怎么算的？

（學生回答略）

師：你這個“5”要寫在這里？

生：是的，因為它不是5，是50。

師：那這個“75”表示什么？（75個一）這個呢？（75個十）

出示情境：（3）李叔叔從某城市乘火車去北京用了12小時，火車每小時行145千米。該城市到北京有多少千米？

師：145×12到底等于多少呢？你會算嗎？請試一試。

“三位數乘兩位數”和“兩位數乘兩位數”的計算過程與算理在本質上是一致的。因此，“三位數乘兩位數”的教學目標不再是掌握算理，而是相同算理的遷移和運用，讓學生根據兩位數乘兩位數的筆算方法，推測、掌握三位數乘兩位數的筆算方法。通過“十一黃金周旅游”這樣一個融合新舊知識的問題情境，學生能主動喚醒原有計算經驗，自然建立新舊知識點的聯結，體驗到成就感。

2.現實價值融合算理理解

課程標準強調：計算教學應通過解決實際問題進一步培養學生數感，增進學生對運算意義的理解。

【教學片段2】

師：你們根據已有的兩位數乘兩位數筆算的經驗遷移得出了三位數乘兩位數的計算方法。但是，數學是講道理的，能結合實際問題情境，說一說每一步算的是什么意思嗎？

生1：290算的是2小時行的路程，145算的是10小時行的路程。

生2（指著豎式中的“145”）：這里的“145”的意思是1450，因為10個145是1450。

師：那么1740算的是什么呢？

生（齊）：12小時行的路程。

學生結合現實的問題情境說清每一步算的是什么，進一步理解豎式算法，從而理解算理。情境的價值并不局限于使學生感受數學與生活的聯系，更多的是讓數學的學習依托現實，讓問題更具有現實的價值，并通過現實的價值助力學生理解。

（二）“算理”與“算法”相輔，自主建構模型

在計算教學中，“怎么算”是基礎，“為什么這樣算”是依據，這兩點在計算教學中缺一不可。本節課力求在現實的情境中使學生主動遷移算法，在比較中明晰算理，在交流中總結和建立筆算乘法的模型。

1.遷移計算中明晰算理

【教學片段3】

師：145×12，說說你是怎么算的？

生1（如圖4）：我先用2乘5得10，寫0進1，用2乘4加1得9，用2乘1得2;再用1乘5得5，1乘4得4，1乘1得1。5和十位對齊。最后的結果是1740。

生2（如圖5）：我先算2乘145得290，再算十位上的1乘145得145，5和十位對齊。最后把兩次相乘的積相加，結果是1740。

師：他們的算法有什么相同的地方，又有什么不同的地方？

生3：相同的地方是都把12拆成了2和10，再分別去乘，最后相加。

生4：都強調了第二步的得數與十位對齊。

師：你們覺得哪一個說法更好？好在哪？

生5：生2說的更清楚和簡潔。

師：我們之前沒有學過“三位數乘兩位數”，現在大家已經會算了，你們的算法根據的是什么？

生6：跟兩位數乘兩位數差不多的。

師（出示圖6）：相比之下，新知識多了百位上的1，這個1是怎樣乘的？多了多少？

生7：用乘數個位上的2與十位上的1去乘，分別多了200與1000。

師：如果與三位數乘一位數比較，多了十位上的1，這個1又是怎樣乘的？多了多少？

生8：用乘數十位上的1去乘145，多了1450。

學生在之前的學習中已經充分探討過筆算乘法的算理，作為整數乘法的最后一節課，其目的是為了讓學生經歷算法多樣化和算法優化的過程。多次試教本節課后發現，在主動嘗試環節，絕大部分學生自動選擇了豎式筆算的方法，而教師預設的口算的方法都沒有出現。因此，這里不再過多糾纏于算理的理解和算法的多樣化，而是在學生主動遷移算法的基礎上，借助現實情境，解釋豎式每一步算的是什么。

2.算法類推中提煉總結

【教學片段4】

師：我發現大家已經會計算三位數乘兩位數。請觀察下面這些算式，在計算過程中它們有什么相同點？

生1：算法是一樣的，先用個位上的數去乘，再用十位上的數去乘，然后把兩次相乘的積再相加。

師：我知道你們為什么會算了——將學過的知識運用到新的知識的學習中，這個方法在數學上稱為“遷移”。

師：你覺得接下來我們還會學什么？

生2：四位數乘四位數、四位數乘三位數……

師：你能舉個例子嗎？

生2：1123×123，2341×5134。

師：可惜今天是我們整數乘法的最后一節課，如果老師不教，你還會嗎？

生3：會的。

師：你打算怎么算？

生3：跟之前的算法一樣。

師（出示圖8）：請想象一下，筆算這兩題的時候，豎式會是一個什么樣子。

生4：像一個樓梯。

師：我們以后筆算乘法，其實只要先……再……

……

通過計算過程的比較，再遷移“四位數乘四位數”的算法，最后幫助學生建立數學模型。作為整數乘法的最后一課，更多地需要放慢腳步，讓學生有更深的感悟，對整數乘法的學習有一個總結。

（三）“估算”和“筆算”銜接，提升運算能力

“口算、筆算、估算”被稱為計算三寶。筆算與估算能互相促進，互為檢驗手段。培養估算意識，要讓學生體會估算價值的同時也要認識到估算不是獨立于筆算之外的，估算與筆算應該是相輔相成的，最終提升學生的觀察與分析的能力、運算能力等。

1.算前估與精算后相銜接，優化估算方法

【教學片段5】

師：請估計一下，145×12的得數大約是多少？

生1：100×10=1000。

生2：145×10=1450。

師：答案是大于1450，還是小于1450？

生3：應該比1450要大，因為他把12估成了10，積就變小了。

生4：150×10=1500。

師：比較這三種估算的結果，你認為哪個更接近準確結果？（教師對學生的回答不做評價）

師：你對哪個估算方法有建議？為什么？

生5：對于100×10=1000，因為把倆個因數估小了，特別是145估小到100，這樣離準確結果就有點遠了。

在課堂上先通過估算，知道精算的大致得數范圍，最后算出結果后再和開始的估算結果進行比較，從而優化估算的方法。顯然，“合理估算——精確計算——優化方法”在這里并不是簡單地把估算處理成“為了估算而估算”，而是把估算的意識和習慣當作一項重要的目標去實施。課堂的實施中還有一個意外的收獲，一個學生在探究算法的過程中采用“145×10+290=1740”，在估算的基礎上，探究出了口算的方法。這樣的教學過程真正體現了估算的價值——培養良好的估算能力有助于提高學生的計算能力，有助于培養學生的數感。

2.估算與精算相銜接，提升運算能力

【教學片段6】

師：某位同學計算得出121×13=484，他算得對嗎？你是怎么判斷的？

生1：看末位，1乘3得3，肯定是錯的。

師：那改成483，對嗎？

生2：不對。因為就算是100×10也等于1000，答案應該比1000大。這里是484，不可能。

師：那改成1483，對嗎？

生3：那要算一算了。

生4：不對。120乘10等于1200，120乘3等于360，加起來等于1560。

師：生4非常厲害，既有估算，又是精算，還能夠結合估算和精算進行判斷。

師：對于第4題，你會怎樣判斷？

生5：把983看成990，93看成100，乘一下是99000，結果應比99000小。

師：這讓我想起了這道題目“最大的三位數999乘最大的兩位數99的積是多少，是幾位數呢？”。

生6：如果看成1000乘100，剛好是個六位數，所以999乘99是個五位數。

師：如果算一算，999乘99等98901，所以“三位數乘二位數”的積最小是10000，最大是98901。其他的積都在這個范圍內。

在“精算”之前，先估計積的大致范圍，對計算結果做到心中有數;在“精算”之后回過頭對結果進行估計，可以幫助學生檢驗計算結果的準確性。因為估算不僅僅是一種技能，更是一種良好的意識和習慣。

“三位數乘兩位數”既是筆算乘法的新授課，也是“算理算法”的鞏固課，更是整數乘法的總結課。整數乘法是后續小數乘法的基礎，學生在這里對筆算乘法的算理、算法掌握的程度，都將直接影響將來的計算學習。因此讓學生借境梳理以“遷”構“型”，是一項具有重大意義的課題。

（責編 金 鈴）