一元高次方程的計算機程序的求根研究

孫瑞杰 劉穎

摘?要：就一元高次方程的解法進行研究，總結(jié)了運用計算機程序達(dá)到求解一元高次方程的根的目的，根據(jù) 伽羅瓦代數(shù)理論當(dāng)方程的次數(shù)達(dá)到五次及以上時一般沒有解析解，所以根據(jù)盛金定理、卡丹公式、計算機語言等知識達(dá)到應(yīng)用計算機求解這些二到三次方程的根的目的，高次方程的求解是代數(shù)學(xué)中重要的組成部分，高次方程的求解應(yīng)用于數(shù)學(xué)、物理、醫(yī)學(xué)、生物學(xué)、國防等領(lǐng)域，就前人發(fā)現(xiàn)的基礎(chǔ)上進行計算機語言表出，應(yīng)用計算機達(dá)到求解一元高次方程的目的，這樣做可以減少人力物力，并且可以知道計算機與數(shù)學(xué)結(jié)合后為人們帶來的方便。

關(guān)鍵詞：盛金定理;c語言;一元高次方程;卡丹公式;伽羅瓦代數(shù)理論

中圖分類號：G4?????文獻標(biāo)識碼：A??????doi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2019.17.094

高次方程即是最高次數(shù)大于等于二的方程，本文只研究二次和三次方程的解的C語言程序。解高次方程是數(shù)學(xué)史上著名的問題，虛數(shù)概念的引進、復(fù)數(shù)理論的建立，促進了高次方程的解答。意大利學(xué)者卡爾丹發(fā)表了三次方程X^3+PX+Q=0的求根公式，并由此引進了虛數(shù)的概念，因此負(fù)數(shù)便可以寫進根號內(nèi)，高次方程的快速發(fā)展形成了后來的復(fù)數(shù)理論。一元三次方程應(yīng)用廣泛，用根號解一元三次方程，雖然有著名的卡爾丹公式，但是使用卡爾丹公式解題比較復(fù)雜，缺乏直觀性。于是中國的數(shù)學(xué)教師范盛金對解一元三次方程問題進行了深入的研究和探索，發(fā)明了比卡爾丹公式更實用的新求根公式——盛金公式，并建立了新判別法——盛金判別法，同時提出了盛金定理，盛金定理清晰地回答了解三次方程的疑惑問題，且很有趣味，盛金公式的特點是由最簡重根判別式A=B^2-3AC;B=BC-9AD;C=C^2-3BD和總判別式Δ=B^2-4AC來構(gòu)成，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的有序、對稱、和諧與簡潔美。盛金公式簡明易記、解題直觀、準(zhǔn)確高效，關(guān)于盛金定理有 ①當(dāng)A=B=0時，方程有一個三重實根; ②當(dāng)Δ=B^2-4AC>0時，方程有一個實根和一對共軛虛根;③當(dāng)Δ=B^2-4AC=0時，方程有三個實根，其中有一個兩重根;④當(dāng)Δ=B^2-4AC<0時，方程有三個不相等的實根，然后根據(jù)盛金公式求解三次方程的根，根據(jù)伽羅瓦代數(shù)方程理論和伽羅瓦群論可知五次及以上一元方程無解析解（公式解），所以將四次方程降次化為三次方程再根據(jù)三次方程的盛金定理及公式求解一元四次方程的復(fù)數(shù)域上的四個根，但本文中并未給出四次方程的解法程序。設(shè)一元三次方程為ax3+bx2+cx+d=0，盛金定理：當(dāng)A=B=0時，若B=0，則必定有C=D=0。當(dāng)A=B=0時，若B≠0，則必定有C≠0。當(dāng)A=B=0時，則必定有C=0。當(dāng)A=0時，若B≠0，則必定有Δ>0。當(dāng)A<0時，則必定有Δ>0。當(dāng)Δ=0時，若A=0，則必定有B=0。當(dāng)Δ<0時，一定不存在A≤0的值。

對于一元二次方程，設(shè)方程為a*x*x+b*x+c=0，關(guān)于b*b-4*a*c跟0的關(guān)系作出3種討論，再根據(jù)有實根時的根公式，求出它的實根，所以得出如下程序：

}高次方程的求解道路很漫長，最終止于伽羅瓦理論所說的五次及以上的方程無解析解，但一次到四次的求解由于類似于盛金，卡丹這樣的數(shù)學(xué)家最終由于求解公式得到完美的解析解，再將這些編入計算機中，運用計算機來求解最終使得求解變得簡單，由于計算機理論的發(fā)展才使得某些著名數(shù)學(xué)難題被計算機成功解決，這說明了把計算機與數(shù)學(xué)理論結(jié)合起來有助于難題的解決，并減少人力物力。

參考文獻

[1]譚浩強.c語言程序設(shè)計[M].北京：清華大學(xué)出版社，2018.

[2]孫小麗.伽羅瓦的代數(shù)方程理論研究[D].西安：西北大學(xué)，2018.