基于多參量微分方程的地球人類居住指標模型

魏天琦

摘?要：由于人類的活動對自然資源的消耗等原因，存在于霍金預言中的“地球毀滅日”可能真實存在，我們稱其為“地球人類居住臨界點”。從自然資源等真正影響人類生存的因素入手，結合一些系統性的方法，我們用數學建模的方式去建立描述“地球人類居住臨界點”的 “地球人類居住指標模型”，給出預測地球還能供給人類生存時間的方法，并由此為人類的生存發展給出新的啟示。

關鍵詞：人口模型;層次分析;微分方程;線性泛函;人類生存;自然資源

中圖分類號：TB?????文獻標識碼：A??????doi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2019.17.100

0?引言

人類活動需要自然資源的支持，如果使用不當，自然可能導致資源匱乏，從而影響人類的生存，同時，人類活動也影響著自然資源的變化情況。霍金預言中的那個“地球毀滅日”可能是真正存在的，且并未有前人進行研究，在這里我們稱其為“地球人類居住臨界點”。我們所要實現的目的，就是用數學建模的方式去建立描述“地球人類居住臨界點”的數學模型，從而系統地預測地球還能供給人類生存的時間，并由此為人類的生存發展給出新的啟示。我們稱此數學模型為“地球人類居住指標模型”。

1?問題提出

1.1?霍金預言

所謂霍金預言，指的是著名物理學家史蒂芬·霍金關于人類命運的預測。他2011年在接受美國著名知識分子視頻共享網站BigThink訪談時，稱地球將在200年內毀滅，而人類要想繼續存活只有移民外星球。

霍金在接受一家網站采訪時說：“人類在未來數百年里必須認真考慮自己的生存問題。過去曾出現過多次人類的生存危機，而發生類似情況的頻率還會增加，我們需要十分謹慎地避免這類危機。但我是一個樂觀主義者，如果人類在未來二百年間能成功向外太空擴張，那么我們就能避免災難。在過去的一百年里，我們的科學技術取得了卓越的成就，如果我們想延續進步，就不得不放眼外太空。”

霍金指出，人類有望在未來駕駛宇宙飛船做時光旅行，從地球到銀河系邊緣的漫長路程僅需八十年，這給人類殖民外太空帶來了技術上的可能。另外，霍金多次警告說，外星人可能會以掠奪資源為目的入侵地球。

1.2?對霍金預言的理解

霍金預言向我們指出了這樣一個問題，地球在不久的未來面臨毀滅，這一點聽上去似乎荒謬但其實并不難以理解，它并不是指地球會經歷恒星爆發或陸地消失等毀滅性的災難，而是隨著時間的推移，我們的地球可能會漸漸變得無法供給人類生存的基本需要，換句話說，這個語言不是地球毀滅，而是人類在地球的毀滅。但是對于霍金所說“兩百年以內地球毀滅”，我們并不持相信的態度，因為我們沒有看到這個結果“兩百年”從何而來，沒有數據與計算方法的支持，也就不存在預測的科學性和真實性。所以我們對這位已故的科學巨人做出的預言是十分懷疑的。

然而，卻正是這樣一個沒有數據根據和支持的預言，讓我們陷入了思考，的確，人類活動需要自然資源的支持，如果使用不當，自然可能導致資源匱乏，從而影響人類的生存，同時，人類活動也影響著自然資源的變化情況。所以，我們不妨把霍金預言當作一個提醒，其中的那個“地球毀滅日”可能是真正存在的，在這里我們稱其為“地球人類居住臨界點”。我們所要實現的目的，就是用數學建模的方式去建立描述“地球人類居住臨界點”的數學模型，從而系統地預測地球還能供給人類生存的時間，并由此為人類的生存發展給出新的啟示。我們稱此數學模型為“地球人類居住指標模型”。

2?背景

2.1?自然資源概況

自然資源以自然形式出現在自然界中，不受人們的干擾，在沒有人類幫助的情況下多年形成的資源。地球上充滿了利用周圍環境發展和重新生長的自然資源。有些像水和空氣，用于我們的日常生存。其他如煤，天然氣和石油也可用于其他需求。所謂十大自然資源是：水，空氣，煤炭，石油，天然氣，磷，其他礦物，鐵，土壤，森林和木材。

除了上面列出的資源外，巖石和沉積物，湖泊和河流，山脈，濕地，沿海海岸，農田，沙地，銅，粘土，錳和石頭亦是人類繼續消耗的其他一些自然資源。

在目前全球70億人口中，自然資源需求將不可避免地增加。隨著越來越多的國家幫助弱勢群體的發展，對這些資源的需求將會增加。

數據指出水、石油天然氣、磷、煤炭、 稀土元素等自然資源已經受到當前消費的嚴重壓力。即使全世界都喊出了節約資源的口號，事情也并沒有好轉，人類每年都在減少對地球上水，土壤，清潔空氣和其他資源的回饋。

到2017年8月2日，人類每年使用的資源更多的來源于不可再生，而不是地球在一年內的新產出。下文我們稱將一年內的地球產出使用完的時間為“過沖日”。1980年，過沖日在11月，分別在1993年和2000年，提前到了10月和9月。到2016年已經到了8月。雖然它似乎在朝著錯誤的方向穩步前進，但科學家認為它已經放慢了速度，在2018年，過沖日仍在8月。但不得不說的是，人類仍然沒有成為良好的土地管家并改善地球的健康。

2.2?自然資源分析

在人類文明蓬勃發展的今天，自然資源的使用卻正面臨較大的危機，具體情況如下：

（1）盡管數量巨大，地球上的水能直接被人們生產和生活利用的卻微乎其微。地球上有97%的水資源被鹽化，僅有3%可利用的淡水資源，而且大部分是主要分布在南北兩極地區的固體冰川，在目前技術條件下還無法大規模利用。目前人類比較容易利用的淡水資源，主要是河流水、淡水湖泊水以及淺層地下水。在全部淡水的儲量中，這些部分只占0.3%，占全球總水量的十萬分之七。據統計，目前，全球80多個國家的約15億人口面臨淡水不足，其中26個國家的3億人口完全生活在缺水狀態。

（2）土地資源告急。全世界現有的可用耕地約占地球陸地總面積的10%。然而由于人類活動的原因，世界土地資源的數量和質量正在不斷下降，主要表現在土壤的肥力下降、土壤嚴重退化、土壤遭受侵蝕、農田被侵占等。據統計，亞洲83%的可耕種土地被使用， 歐洲則有88%，前蘇聯的比例是61%，北美洲也有一半以上。世界可利用土地資源銳減，土地資源的使用面臨著巨大的挑戰。

（3）全球森林資源損失嚴重。其中熱帶國家受影響最大，990萬公頃損失林地面積超過了地球總量的一半。

（4）礦產資源告急。礦產資源是指埋藏于地下或出露于地表，經過地質成礦作用形成的，具有現實或潛在經濟價值的天然富集物，是重要的自然資源，社會生產發展的物質基礎，現代社會人類生產和生活的必備元素。它們的儲量有限，屬于不可再生資源。

礦業是人類從事生產勞動的經典領域之一。礦業的發展、礦產資源的開發利用的擴大，對人類社會文明的發展與進步產生了無可替代的促進作用。歷史學家將人類古代歷史階段劃分為舊石器時代、新石器時代、青銅器時代、鐵器時代，其命名都是根據當時人們開發利用的主要礦產種類。

全球使用的90%能源取自化石燃料，即煤炭、石油和天然氣，80%以上工業原料取自金屬和非金屬礦產資源，但這些資源都屬于用一點少一點的耗竭性資源，是無法再生的。

3?關于模型的一些假設

由于實際問題的多元化，有很多對結果造成細微影響的干擾因素，在很多情況下針對它們不能用簡單的參數進行概括，但這種干擾因素是可以避免的，且對結果影響不大，所以我們忽略這些因素，對數學模型進行簡化處理，從而我們做出如下假設：

（1）假設在研究此問題的時間區間內世界人口數量不會出現生物聚變，突增或突減。

（2）假設在這個時間區間內人了社會和平穩定，不會出現全球性天災和大規模戰爭。

（3）假設在模型中自然資源總儲量不會突變，且每種自然資源儲量都是變量時間的函數。

（4）假設在這個時間區間內，由非自然死亡或其他微小因素影響的人口變化，以及與自然資源無關的微小擾動的影響可以忽略不計。

4?基于自然資源體系建立的初步模型

我們采取如上思維導圖中的思維模式進行分類，將環境容納量與人口的關系與環境容納量和自然資源的關系聯立，從而得到下面的數學模型。

4.1?變量及其含義

4.2?自然資源模型

分析各種對人類生存有決定性意義的自然資源，我們總結出以下幾個決定性資源：水、大氣、土地、化石能源、金屬以及其他自然資源。

我們將把它們的儲量與時間的關系定義為函數：

LS（t），LW（t），LF（t），LA（t），LM（t），L1（t），L2（t），…

其中每個函數均只需要對相應自然資源的使用情況展開調查并進行分析，即其儲量與時間的對應變化進行分析就可得出相應表達式。

BP能源統計數據顯示，2012年的世界能源消耗結構中，水電僅占6.7%，可再生能源僅占1.9%，兩者總和不到10%，同年世界人口共70億人，可再生能源可供給的人口在現有的能源結構的情況下不到7億人。同時，人類數量還在繼續上漲，為了維持更多的人口需求，勢必會加大資源的利用量，那么，不可再生的能源（如化石等）的儲備量與其枯竭時間將與能源可供給人口數有巨大的相關性。

所以，我們認為，如果在不可再生能源枯竭前，馬爾薩斯所提出的積極性抑制與預防性抑制不會出現的話，人口的增長是無法避免的，那么人口的增長與能源的使用，會一直有密切的聯系。因為我們知道自然資源的儲備量是會影響人口的數量增長的，資源儲備量越少，人口增長越緩慢，于是結合Logistics人口模型的思想，我們可以得到以下多參量系統：

這就是結合logistics人口模型與多元線性泛函得到的多參量微分方程組。

此系統中的每個指標都是其對應資源的簡單函數，通過建立行向量與列向量的乘法，我們建立線性泛函微分方程組，從而確定了時間與各個參量間的關系。這就是我們給出的確定“地球人類居住臨界點”的方法。

結合上述模型，我們可以得出一些初步結論，目前地球正處于人口數量的上升階段，而且人口數量大大高于可再生能源所能支持的人口數目，我們需要降低能源的使用，來養活更多的人，同時，我們需要發展科學技術，提高可再生能源所提供的能源量。也就是說，增加可再生能源在能源結構的占比，以及控制人口數量去延緩能源枯竭的時間等方法，是目前我們正確的努力方向。

4.3?具體案例闡述（以化石能源為例）

4.3.1?化石能源概述

化石能源是一種碳氫化合物或其衍生物。它是由古代生物的化石沉積而來，埋藏在地下與海洋下的不可再生能源。化石燃料中按埋藏的數量的順序分為如下幾個種類，而每個種類的儲量均與人類生存有著不可分割的關系。

（1）煤炭。埋藏在地下的植物受地下和地熱的作用，經過幾千萬年乃至幾億年的炭化過程，釋放出水分、二氧化碳、甲烷等氣體后，含氧量減少而形成的化合物。

（2）石油。水中堆積的微生物殘骸，在高壓的作用下形成的碳氫化合物。是一種全球使用量最高的化石燃料，其經過精制后可得到汽油、煤油、柴油和重油。石油耗盡的時間較其他幾項會較晚來到，然而因為是石化產品的原材料，石油使用量高，用途廣泛，故而同樣需要作為重點對象。

（3）油頁巖。水藻炭化后形成的化合物。

（4）天然氣。天然氣直接采掘于地下，以甲烷為主。在攝氏零下162度被冷卻，液化后使用。

（5）可燃冰。儲存在深海低的一種以固態甲烷形式存在的可燃物。

4.3.2?化石能源模型

以上已經將化石能源分為各種類別，而它們也分別對環境容納量有不同程度的貢獻，所以我們要建立獨立的能源函數li（t）其中（i=1，2，…），li（t）為儲量隨時間變化的關系，并給他們賦權，權重表示為bi。于是得到化石能源函數，形如

LF（t）=b1l1（t）+b2l2（t）+b3l3（t）+…+bili（t）+…

其中（i=1，2，…）

以上僅為化石能源對應的簡單函數（線性）的獲得方法，用相同的方法，我們可以分別得到其他自然資源的時間函數，這里不再詳述。

下面主要介紹以層次分析的思想對多層線性函數進行賦權的方法。

4.4?模型賦權的方法

A目前確定權重的方法比較多，從權重數據的來源大概可以分為主觀賦權法、客觀賦權法和組合賦權法。在本文中，我們采取了主觀賦權法，確定影響環境容納量的指標的權重。

根據指標體系，利用層次分析法確定最大的環境容納量權重步驟如下：

（1） 構造重要度判斷矩陣A。

我們通過兩兩相互比較各準則對于目標的重要度構造判斷矩陣，任取每個函數中的兩個子函數在同一時間下的函數值，記為指標因子xi和xj，以aij表示xi和xj對上層指標的影響的大小，則判斷矩陣記為A=（aij）n×n。

為使矩陣中的各要素的重要性能夠定量表示，引入矩陣判斷標度（1-9標度法）進行判斷矩陣的確定。若xi和xj對上層指標的影響之比為aij，則xj與xi的重要性之比為1aij。下表列出了1-9級標度的含義（參照美國匹茲堡大學T.Satty教授的分級建議）。

對于裝備評價指標判斷矩陣的確定我們則通過裝備該功能的能力值進行比較。

（2）權重值計算與一致性檢驗。

判斷矩陣A最大特征值的特征向量W，再進行歸一化處理，此時該向量就是同一層次對應指標因子與上一層次指標的相對重要度的排序。該構造方法雖然可以減小其他因素的影響，但在綜合全部比較結果時，難免會出現非一致性，如果要使比較結果前后完全一致，則矩陣A的元素還應該滿足。

aijaji=aik（i，j，k=1，2，…，n）

如果矩陣A的元素滿足上述關系，則稱矩陣A為一致矩陣.此時，若A的最大特征值λmax對應的特征向量為W=（w1，w2，…，wn）T（此即為各指標權重向量），則有

aij=wiwj（i，j=1，2，…，n）

此時矩陣A為

A=w1/w2w1/w2…w1/w2

w2/w1w2/w2…w2/wn

wn/w1wn/w2…wn/wn

為了測試由此方法得出權重的合理性，需要對判斷矩陣A進行一致性檢驗，判斷矩陣的一致性，具體步驟如下：

（ⅰ）計算一致性指標CI：

CI=λmax-nn-1

（ⅱ）查找相應的平均隨機一致性指標RI

表3?一致性指標表

n123456789

RI000.580.901.121.241.321.411.45

（ⅲ）計算一致性比例CR：

CR

當CR<0.10時，認為判斷矩陣的一致性是可以接受的，否則需要對判斷矩陣進行分析修正。

5?定性模型的不足、改進方案與發展方向

不難發現，自然資源模型中并未考慮其他重要因素的影響。在假設前提下，初步模型中可以認為自然資源儲量不僅是環境容納量的決定性因素，也是唯一的因素，所以我們可以建立這樣的數學模型。然而在實際情況中，其他人類活動會對自然資源的儲備和使用產生影響。如果要得到更確切的地球人類居住指標，我們就需要考慮人類活動的影響，并建立更完善的模型。

其他人類活動的影響，就其本身而言是人類產業對環境的改變以及人類科技文明的發展，前者主要以人類活動破壞生態、污染環境為主，而后者則以提供新的能源方式，提高自然資源利用率為主。也就是說，一個對地球人類居住指標做出正向貢獻，而另一個做出負向貢獻。因此，目前階段我們提出的改進建議為，考慮環境污染與科技發展的影響，同樣找到他們對環境容納量的貢獻函數以及貢獻力權重，建立泛函，找到與初步模型間的關系，從而完善初步的自然資源方程組，得到更加準確的地球人類居住指標模型。

顯然，即使這樣改進之后，此模型的主體仍是定性的，因為我們能力有限，無法掌握人類活動導致環境變化和人類科技發展的具體指標，而將它升級為定量模型也是需要更深入地進行調查并投入時間和資金進行具體分析模擬的，筆者并不具備這樣的能力。

雖然就目前而言筆者給出的定型模型無法直接使用，但此思想方法，無疑在這個方向上看到了一條道路。并且，我們希望通過進一步的努力和數據支持，找到“地球人類居住臨界點”，從而證偽霍金預言，未雨綢繆，在模型中得到更多結論，并借此對世界提出改革的建議，從而將人類的未來緊握在我們自己手中。

參考文獻

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