基于最小二乘法的五軸機床靜態誤差建模

赫煥麗,王 量

(1.咸寧職業技術學院 工學院,湖北 咸寧 437100; 2.河南科技大學 機電工程學院,河南 洛陽 471003)

數控機床的加工精度是衡量一個國家制造業發展水平的重要標志,在社會的發展中得到了廣泛應用.靜態誤差是影響數控機床精度的重要因素,靜態誤差主要包括裝配誤差、彎曲誤差及熱誤差等[1].與動態誤差相比,靜態誤差在機床操作過程中變化緩慢.若不能對機床靜態誤差進行有效補償,長時間操作機床,就會造成零件加工精度降低.因此,研究機床靜態誤差預測模型,及時進行誤差補償,對于提高機床精度具有重要意義.

誤差補償法不需要對機床設計結構和制造進行變更,成本較低,已成為提高機床精度的良法[2].為了預測機床加工零件產生的誤差,許多學者對機床誤差模型進行了研究.文獻[3-4]采用徑向基網絡模型預測機床主軸熱誤差,建立機床主軸測溫點分布圖,引用徑向基函數建立熱誤差與溫度變化的神經網絡模型,通過實驗驗證熱誤差模型的合理性,從而降低了機床主軸產生的熱誤差.文獻[5-6]采用多元線性回歸法預測機床靜態誤差,分析機床結構特點和誤差來源,確定機床溫度測量點,采用概率統計方法對機床誤差數據進行分析,通過多項式曲面擬合理論創建靜態誤差預測模型,獲得較好的預測精度.文獻[7-8]采用多體動力學理論預測機床靜態誤差,通過ANSYS軟件分析機床最大變形位置,對機床各個軸運動分別建立誤差轉換矩陣,根據多體動力學理論創建靜態誤差預測模型,采用實際測量驗證預測模型,從而判斷預測模型的可行性和準確性.但是,以往研究機床靜態誤差預測精度較低,不能很好地對靜態誤差進行在線補償.對此,本文以五軸機床為例,采用矩陣變換分析機床五軸靜態誤差,通過最小二乘法建立機床靜態誤差預測模型,采用激光跟蹤器測量機床實際產生的誤差,并與預測模型進行比較,為深入研究機床靜態誤差建模方法提供參考價值.

1 機床靜態誤差模型

本文采用的五軸機床移動軸為x,y,z,旋轉軸為y和z.機床靜態誤差可以通過一系列齊次變換來表示,這個系列由交替關節和形狀變換組成.主軸位置誤差變換方程式[9]為

(1)

式中:φB,φw分別為y軸旋轉角度和z軸旋轉角度;φx,φy,φz為移動距離;Ti為誤差矩陣.

為了將旋轉、平移誤差引入到坐標系和關節轉換中,在坐標系轉換中引入常數(不依賴位置)的誤差分量,而位置相關的分量被引入到關節變換中.對于機床來說,有3種類型的轉換.

1.1 坐標系轉換

對于機床3個直線軸而言,靜態誤差為3個垂直度誤差,如圖1所示.圖1中:x,y為理想坐標軸;x1,y1為測量數據擬合的坐標軸.

實際坐標系轉換后的誤差矩陣表達式為

(2)

式中:αi,βi和γi為z,y和x方向旋轉誤差;[xiyizi]T，[ΔxiΔyiΔzi]T分別為坐標系位置和位置誤差.

圖1 靜態誤差測量方法Fig.1 Static error measurement method

1.2 旋轉轉換

理想的旋轉接頭(旋轉軸y軸)的聯合變換可以表示為

(3)

式中:B為關節的旋轉角位移.

關節在轉動過程中,可能會引起幾個誤差動作.當節點控制位置B時,可能產生定位誤差β.此外,旋轉誤差可能引入傾斜角α和γ,由于轉動誤差dx,dy和dz的積累,整個桌面發生移動.假設旋轉角度很小,實際旋轉關節(繞y軸旋轉)的變換誤差為

(4)

1.3 移動關節轉換

移動關節在實際運動過程中,會產生誤差,包括沿著關節的位置誤差、直線誤差和角度誤差.對于變換矩陣來說,誤差項是關節位移的函數,即

(5)

式中:x為被控制的關節位置;δx為定位誤差;dα/dx,dβ/dx和dγ/dx為角誤差的累積率.

1.4 體積誤差模型

主軸框架中刀具的實際坐標變換表示為

(6)

采用一階正運動學方程消除誤差的二階項和高階項,其方程式為

(7)

H為式(1)中得到的理想正運動學,由理想的機床關節和支撐它們的結構元件尺寸決定ΔH為一階項誤差.

因此,機床的體積誤差分量可以定義為實際和理想正運動學的差值，即

(8)

式中:e為誤差向量;T0為形狀變換參考矩陣;rt為機床主軸位置.

2 誤差模型參數識別

誤差模型中的參數估計是通過觀察其工作空間中不同位置的機床體積誤差來完成的,如圖3所示.然而,要做到這一點,激光跟蹤器進行測量的框架必須首先在誤差模型的參數得到之前進行估計.這是在以下兩個步驟中完成的.測量框架與表架(從機床的運動學模型)之間的關系是由齊次變換矩陣T0獲得的.

2.1 測試框架

為了識別T0,假設在式(1)中定義的機床理想運動學方程式為

(9)

T0的方程式[10]為

(10)

式中:rt0為測量框架中的圖像.

對于不同的關節命令(或測量點),機床的運動學傳輸H會有所不同.對于第i個測量點,在正向運動學傳輸和激光跟蹤器記錄的測量之間的誤差矢量ei方程式為

(11)

式中:qi為跟蹤器測量值.

2.2 誤差模型

模型在參數集合中是線性的,可以用一個誤差參數向量來表示,即

(12)

式中:M,P為矩陣.

考慮一個觀察集由在n點觀察到的誤差組成,假設每個點都能觀察到誤差的情況下,采用的誤差模型[11]為

(13)

式中:ei=[ex,iey,iez,i]T為誤差矩陣;Mi為觀察到相應的3×32關系矩陣；N為高斯分布的概率密度函數，N(0,δ)，δ為標準差.

因此,可以建立一個3n方程組來估計誤差參數

(14)

式中:e=[ex,1ey,1ez,1…ex,ney,nez,n]T∈R3n為點集里測量誤差向量的分量;M=[M1T…MnT]T為新矩陣系數.

采用最小二乘法[12-13]估計p′,式(14)變換為

(15)

3 結果與討論

為了識別誤差預測模型,對機床主軸上的刀具進行測量,在測試中采用激光跟蹤器,如圖2所示.

圖2 刀具靜態誤差測量示意圖Fig.2 Schematic diagram of static tool error

假設機床主軸轉速為2 000 r/min,每5 min記錄一次測量數據,記錄32組數據.每次測量誤差計算為

ei,j=

(16)

式中:ei,j為第i點的第j項誤差;[xi,jyi,jzi,j]為第i點的第j次測量;[xiv,yiv,ziv]為第i點的平均測量值.

機床主軸分別安裝50和100 mm長度刀具,采用最小二乘法和線性回歸法預測機床靜態誤差結果,分別如圖3和圖4所示.

圖3 短刀具測量誤差(50 mm)Fig.3 Short tool measurement error(50 mm)

圖4 長刀具測量誤差(100 mm)Fig.4 Long tool measurement error(100 mm)

由圖3可知:機床主軸靜態誤差采用線性回歸法預測模型,產生的誤差最大值為25.33μm,均方根值20.67μm,誤差變化幅度較大;而采用最小二乘法預測模型,產生的誤差最大值為5.94μm,均方根值為3.75μm,誤差變化幅度較小.

由圖4可知:機床主軸靜態誤差采用線性回歸法預測模型,產生的誤差最大值為26.67μm,均方根值21.32,誤差變化幅度較大;而采用最小二乘法預測模型,產生的誤差最大值為7.44μm,均方根值為4.52μm,誤差變化幅度較小.因此,隨著刀具長度的增加,預測結果偏差也會增加.同時,采用最小二乘法預測結果與實驗測量結果符合度較高,能夠提高機床主軸加工精度.

4 結論

針對機床主軸靜態誤差問題,采用了最小二乘法建立誤差預測模型,并與線性回歸法預測結果進行比較,主要結論如下:

(1) 機床主軸在旋轉過程中,由于裝配存在誤差及運行產生熱變形,導致機床主軸產生靜態誤差現象.

(2) 機床主軸長度不同,加工過程中產生的誤差也不一樣,長度越長,產生的靜態誤差也越大.

(3) 采用最小二乘法對機床主軸靜態誤差進行預測,預測精度較高,為機床主軸加工誤差補償提供理論依據.