善于歸納總結，活用導數
———剖析導數在解題中的應用

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導數有廣泛的應用，為我們解決函數問題提供了有力的工具，它的引入為解決中學數學問題提供了新的方法，是研究函數性質，求函數最值，單調性，證明不等式以及求曲線斜率和解決一些物理問題等簡潔而有效的工具。在解決一些復雜問題時有得天獨厚的優勢，在教學中應著重強調導數的應用。

在現實教學中，對于導數應用方面的問題，學生往往很難找到切入點，從而使怎樣利用導數的問題成了學生學習掌握導數的“攔路虎”。新課標下導數的教學仍是一個重點，也是一個難點問題。很多學生都抱怨導數公式太多，法則太亂，顧此失彼，以至于不知道導數有何作用。其實只要打好基礎，善于總結，仔細分析，了解并掌握導數及其應用并不難，關鍵在于積累和總結。

筆者結合教學實踐，就導數在函數中的應用作初步探究。

一、利用導數求函數的切線問題

在求過點P(x0，y0)所作函數y=f(x)對應曲線的切線方程時應先判斷該點是否在曲線上。

1. 當點 P(x0，y0)在曲線上，即點 P(x0，y0)為切點時，則切線方程為 y-y0=f′(x0)(x-x0).

2. 當點 P(x0，y0)不在曲線上時，則設切點坐標為(x1，y1)，由先求得切點的坐標，然后進一步求切線方程。

例 1.已知函數 f(x)=x3+1，求曲線 y=f(x)經過點 P(1，2)的切線方程.

注意：本題解法可進行分類解決(分為點P是或不是切點這兩類情況)，也可采用如下解法。

解：由題意，設切點為(x0，f(x0))，即為，

則經過點P(1，2)的切線方程為l:y-2=f′(x0)(x-1).

解得：x0=1或，∴f′(x0)=3 或，

即所求切線方程為3x-y-1=0或3x-4y+5=0.

二、利用導數判斷函數的單調性問題

函數的單調性是函數的最基本性質之一，是研究函數所要掌握的最基本的知識。用單調性的定義來處理單調性問題需要有很強的技巧性，較難掌握好，而用導數知識來判斷函數的單調性簡便而且快捷。

只要求出函數的導數，判斷其正負性，則能判斷函數的單調性。這種方法比傳統的“定義法”及“圖像法”更方便。

例2.已知f(x)=ex-ax-1。

(1)求f(x)的單調增區間；

(2)若f(x)在定義域R內單調遞增，求a的取值范圍；

(3)是否存在 a 使 f(x)在(-∞，0]上單調遞減，在[0，+∞)上單調遞增？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由。

解：(1)∵f′(x)=ex-ax-1，∴f(x)=ex-ax-1，∴f′(x)=ex-a

令 f′(x)≥0，得 ex≥a，

當 a≤0 時，有 f′(x)＞0 在 R 上恒成立；當 a＞0 時，有 x≥ln a。

綜上情況，當 a≤0 時，f(x)的單調增區間為(-∞，+∞)；當a＞0 時，f(x)的單調增區間為［ln a，+∞)。

(2)∵f(x)=ex-ax-1，∴f′(x)=ex-a，

∵f(x)在 R 上單調遞增，∴f′(x)=ex-a≥0（等號只能在有限個點處取得）恒成立，即ex≥a，x∈R恒成立。

∵x∈R 時，ex∈(0，+∞)，∴a≤0。

(3)由已知 f(x)在(-∞，0]上單調遞減，在區間[0，+∞]上單調遞增可知，f(0)是f(x)的極值。

∴f′(0)=e0-a=0→a=1，∴ 存在 a=1 滿足條件。

三、利用導數求函數的極值與最值

最值問題是高中數學的一個重點，也是一個難點。它涉及到高中數學知識的各個方面，要解決這類問題往往需要各種技能，并且需要選擇合理的解題途徑。用導數解決這類問題可以使解題過程簡化，步驟清晰，學生也好掌握。應注意函數的極值與最值的區別與聯系，極值是一個局部性概念，最值是某個區間的整體性概念。

例3.已知a為實數，函數f(x)=(x2-4)(x-a).

求導數 f′(x)。

若 f′(-1)=0，求 f(x)在[-2，2]上的極大值和極小值以及最大值和最小值。

解：由原式得 f(x)=x3-ax2-4x+4a，則 f′(x)=3x2-2ax-4

四、利用導數證明不等式

利用導數研究函數的單調性，再由單調性來證明不等式是函數、導數、不等式綜合中的一個難點，也是近幾年高考的熱點。其主要思想是構造輔助函數，把不等式的證明轉化為利用導數研究函數的單調性或求最值，從而證得不等式。

例 4.求證：ex＞1+x(x＞0)

證明：令 f(x)=ex-1-x，則 f′(x)=ex-1＞0

∴f(x)在(0，+∞)上是增函數.

當 x＞0 時，f(x)＞f(0)=0，即 ex＞1+x(x＞0)

五、利用導數解應用題

運用導數解決實際問題，關鍵是要建立恰當的數學模型(函數關系)。如果函數在區間內只有一個點使f′(x)=0，此時函數在這點有極大(小)值，那么不與端點比較，也可以知道這就是最大(小)值。

總之，導數作為一種工具，在解決數學問題時使用非常方便。導數可用于解決函數的單調性、極值與最值等，因此能幫我們較為明確函數圖像的基本動態。在利用導數解題過程中，要加強對基礎知識的理解，善于歸納總結，認真分析，了解導數體現在哪方面的應用，解題時自然得心應手。希望通過以上對導數應用的探討，能進一步幫助有需要的學生加深對函數的理解和直觀認識，并能更好地利用導數解題。