面板數據公共變點的非參數最大似然估計

高鵬麗,夏志明

(西北大學數學學院,陜西 西安 710127)

1 引言

面板數據中存在公共變點這一現象在經濟學中十分常見.本文用非參數最大似然的方法研究了面板數據中帶有單個公共變點的問題,證明了當面板個數N和每個序列的觀測值n都非常大時估計量的統計性質.

迄今為止,大量的文獻致力于研究變點模型,尤其是在經濟學、基因組研究、質量控制、信號過程等領域.文獻[1-2]最早研究面板數據變點問題.他們研究了隨機變點模型中帶有N個序列的變點問題,且假設每個序列存在一個變點,而所有變點構成的序列是獨立同分布的.文獻[3]用貝葉斯的框架分析面板數據中的變點問題.文獻[4]基于經驗似然的方法研究了半參數變點模型,并且運用該方法檢測一個分布中存在的變點.文獻[5]提出了另一種經驗似然方法,沒有假設兩個分布中存在任何關系.但是沒有將這種方法直接推廣到面板數據問題.文獻[6]應用經驗似然的方法檢驗兩樣本均值問題.文獻[6]建立了面板數據中均值和方差變點的相合性,他用最小二乘方法去估計均值變點,同時用擬最大似然方法估計均值變點和方差變點,并且證明方差中沒有變點的情形擬最大似然的方法比最小二乘的方法效果更好.文獻[8]應用非參數最大似然的方法研究了多元變點問題.近來,文獻[9]用累積和的方法估計面板數據中共同的均值變點,并且建立了變點估計量的相合性.文獻[10]分別用最大似然方法和最小二乘方法估計面板數據中共同的均值變點,并且對兩種方法進行了對比,建立了變點的相合性和漸近分布.文獻[11]提出了一種涉及獨立分析每個時間序列的新的方法來檢測面板數據中最新的變點集合.

文章其他部分的結構如下:第二部分給出了統計模型及基本假設.第三部分運用非參數最大似然方法得到變點估計量,并且證明了變點估計量的相合性及收斂速率.第四部分對全文進行總結.

2 統計模型

基于獨立的數據Xi1,Xi2,···,Xik?,Xik?+1,···,Xin,1≤k?

在此模型中,每個序列有一個公共變點k?,其中k?是未知的.序列{Xit}的變點前后的累積分布函數分別是Fi1(x)和Fi2(x),并且滿足Fi12.稱n是觀測值的數目或者是樣本量,N是面板個數.下面給出理論結果所需要的假設.

假設 1假設當n→∞時,有

假設 2(a)Fi1,Fi2是連續函數,且Fi12;

假設3當n→∞,N→∞時,.

假設 4假設i個面板之間是獨立的,其中i=1,···,N.

3 變點估計

3.1 變點估計的非參數最大似然方法

對于單個時間序列中不存在變點的情形,文獻[8]已經給出了非參數最大對數似然函數.即假設X1,X2,···,Xn獨立同分布F0,并且令是樣本的經驗累積分布函數,則.如果把樣本看作是成功概率為的二項數據,那么非參數最大對數似然函數為

類似的基于模型(1),可以得到單個面板(N=1)變點估計的非參數最大似然函數.即對給定的k滿足1≤k

對(2)式關于i求和可以得到N個面板的非參數最大對數似然函數為

為了估計變點k?,以積分的形式最大化(3)式

其中w(.)是正的權函數,所以Rn(.)是有限的,且對所有的u進行積分.

3.2 變點估計量的性質

定理 3.1在模型(1)下,如果假設1-假設4成立.當n→∞,N→∞時,有

為了證明定理,首先給出如下幾個引理.

引理 3.1對n→∞,N→∞,如果假設1-假設4成立,則

這個引理表明UNn(k)和VNn(k)之間的距離在k處一致小.

引理 3.1的證明根據UNn(k)和VNn(k)的定義,有

則可以得到

接下來討論VNn(k)在k?處取得唯一的最大值.

引理 3.2對k∈(1,n),VNn(k)滿足,其中C1是常數,且C1>0.

引理3.2的證明令

其中C1,C2是正常數.由對稱性,只需要考慮k

定理3.1的證明已知

最后一個不等式是根據引理3.2得到的.上述不等式對每一個k∈(1,n)成立,特別的對也成立.因為

推論 3.1在模型(1)下,如果假設1,2和3成立,當n→∞,且N→∞時,

4 結論

本文研究了帶有單個公共變點的面板數據變點估計量的統計性質.運用非參數最大似然方法得到變點估計量,并在序列數N及每個序列的觀測值數量n都趨于無窮時證明了變點估計量的相合性及收斂速率.