基于雅可比矩陣逆預處理的快速潮流計算方法

林亞君 陳學軍 陳越

摘 ? 要：隨著電網規模變大，利用穩定雙共軛梯度法（Bi-CGSTAB）求解潮流計算中的修正方程組時，收斂速度會變得很慢。通過尋找合適的預處理矩陣是解決問題的關鍵。研究了雅可比矩陣預處理方法，針對牛頓法求解潮流過程中雅可比矩陣的變化特性，提出將第一次外迭代的雅可比矩陣逆作為預處理矩陣，并與穩定雙共軛梯度法相結合，提高潮流計算的收斂速度。借助InterPSS電力系統仿真軟件，對IEEE118、IEEE162、IEEE300和一個歐洲大陸真實電力系統進行仿真計算，驗證了在處理大規模電網時，所提方法相對稀疏近似逆預處理具備更好的有效性。

關鍵詞：潮流計算;預條件處理;雅可比矩陣逆預處理;稀疏近似逆預處理

中圖分類號：TM7 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A

Fast Flow Calculation Method with Jacobian Matrix Inverse Preconditions

LIN Ya-jun？覮，CHEN Xue-jun，CHEN Yue

（School of Mechanical & Electrical Engineering，Putian University，Putian，Fujian 351100，China）

Abstract：The choice of preconditioning method is the key to improve convergence and quicken calculation speed，while using Bi-CGSTAB to solve the correction equation of lager scale power system. This paper raised a new precondition method by using the inversion of Jacobian matrix after analysis of the characteristics of Jacobian matrix preconditioning. Then Combine these preconditioning methods with Bi-CGSTAB algorithm. Compared to sparse approximate inverse，which is considered as the most effective way，the effectiveness of the proposed approaches is verified by using InterPSS Simulink Tool in certain lager scale power system.

Key words：power flow calculation;preconditioning;Jacobian matrix inverse preconditions;sparse approximate inverse

作為電力系統分析的基礎，提高潮流計算速度是實現電力系統超實時控制的關鍵。在傳統的牛頓拉夫遜潮流算法中，求解修正方程組耗時占達80%[1]。目前解線性方程組主要有直接法和迭代法兩種。直接法包括采用稀疏技術的高斯消元法和LU分解法，由于稀疏線性方程組用直接法求解是以對系數矩陣進行分解為基礎的，在進行矩陣分解時中會引入填充元，削弱了稀疏的特征，對計算機的存儲需求和計算量一般相當大，所以對于大型的稀疏矩陣應用迭代法更優。因此，在大規模電網潮流計算的研究領域，采用迭代法求解修正方程組已成為主流[2-3]。

然而雅可比矩陣隨著電網規模變大會出現病態，在采用迭代法求解修正方程組時將難以收斂，使迭代法失去優勢。于是對雅可比矩陣進行適當的預處理顯得十分重要。目前常用的預處理方法有不完全分解法[4-5]，PQ分解法[6]，稀疏近似逆預處理[7]，正交方法預處理[8]。其中不完全分解法在填充量選擇上存在一定困難;文獻[9]對PQ分解法和不完全分解法做了對比，證明PQ分解法優于ILU分解法，然而PQ分解法在求 取預處理矩陣時比較繁瑣;文獻[7]驗證了稀疏近似逆預處理效果優于PQ分解法;文獻[8]論證了正交方法預處理相較于PQ分解法，具有較少的迭代運算次數;而稀疏近似逆預處理與正交方法預處理都存在不適用于超大規模電網的問題。

嘗試直接取第一次外迭代的雅可比矩陣的逆作為預處理矩陣。在InterPSS平臺進行仿真分析，以大規模電網為例，將該方法與Bi-CGSTAB方法結合，驗證該方法相比稀疏近似逆預處理，計算時間更短，具有更好的收斂性。

1 ? 預處理矩陣

在潮流計算過程中需求解修正方程組：

ΔPΔQ = -JΔθΔV/V ? ? ? ? （1）

采用Bi-CGSTAB算法求解式（1）時，若J接近單位矩陣，收斂速度很快。然而當J的條件數大于102的時候，通常在用迭代法之前，需對系數矩陣進行預處理，提高收斂性。所謂預處理就是通過一個非奇異的預處理矩陣M使得MJ盡量接近單位矩陣，也就是使得J矩陣轉化為另一個條件數低的矩陣。這時式（1）等價于

MΔPΔQ = -MJΔθΔV/V ? ? ? ? （2）

經過預處理以后可使求解的收斂性能大大提高。

很容易理解，當M = J-1，則預處理后的系數矩陣 為單位矩陣，其條件數為1，理論上條件數會變成最小。此時預處理的效果最佳，但這其實就等價于直接法，在實際中是不可能的。然而，上述的理想化情況為尋求好的預處理方法提供了一個基本思路。

2 ? ?雅可比矩陣的幾種預處理方法

2.1 ? 稀疏近似逆預處理

基于稀疏近似逆的預處理方法是目前認為較為有效的雅可比矩陣預處理方法，能夠有效改善迭代算法求解線性方程組的收斂性。

它的預處理矩陣時將雅可比矩陣按式（3）形式分裂：

對式（3）進行近似求逆，即得到預處理矩陣M：

2.2 ? 雅可比矩陣逆預處理

考慮到在潮流初始值選得合理的情況下，雅可比矩陣在潮流程序整個迭代過程中不會大幅度變化。另一方面，雅可比矩陣的條件數隨著牛頓法外迭代次數的增加逐漸減小[10]。通過InterPSS平臺對大規模電網（IEEE300和歐洲大陸真實系統）進行潮流計算，發現采用牛頓-穩定雙共軛梯度潮流計算法時，求解修正方程組的最大迭代次數都是在第一次外迭代時發生的。

于是考慮直接用第一次外迭代過程時的雅可比矩陣的逆作為預條件矩陣，即：

雖然對雅可比矩陣求逆的工作量比較大，但是可以抵消掉第一次外迭代時求解修正方程組的時間。在采用該預處理方法后，潮流計算的流程如圖1所示。

3 ? 算 ? 例

為了驗證本文提出的雅可比矩陣逆預處理方法的實際效果，本節基于InterPSS平臺對不同規模電網進行測試。首先不采用任何預處理技術，直接測試IEEE118、IEEE162、IEEE300和歐洲大陸真實系統（UCTE_2000_WinterOffPeak，節點數目為1254，線路數目為1944）最大內迭代次數、潮流運算總耗時。計算過程中Bi-CGSTAB算法的迭代誤差（內迭代）取10-10，最大迭代次數取5000;牛頓法的迭代誤差（外迭代）取10-20，具體計算結果如表1所示。

采用稀疏近似逆預處理，測試以上四個系統在不同外迭代中基于穩定雙共軛梯度求解修正方程組所需的最大內迭代次數，以及潮流計算總耗時，具體計算結果如表2所示。

可見對于小于等于300個節點的電網，該方法具有較好的預處理效果，然而隨著電網規模的增大，稀疏近似逆預處理的最大迭代次數劇增，效果并不理想。表3為采用雅可比矩陣逆預處理的測試結果。

為更加清晰地對比兩種預處理方法的效果，分別追蹤了兩種方法的最大迭代次數和潮流計算總時長，對比結果如圖2和圖3所示。

通過對比表2與表3可以看出對于規模小于等于300個節點的電網，本文提出的方案的加速性能沒有基于稀疏近似逆預處理的好。這是因為盡管該方法有著很好的預處理性能，但是該方法需要對雅可比矩陣進行求逆。只有當電網規模達到一定程度，本文提出的預處理方法取得的預處理性能的優勢才足以彌補求逆的耗時。所以該方法適用于電網規模超過300節點的電網。

4 ? 結 ? 論

對牛頓-拉夫遜法求解潮流方程中雅可比矩陣出現病態提出了新的預處理方法——雅可比矩陣逆預處理。數值結果表明，處理較大規模電網（300個節點以上電網）時，相對現有的預處理方法，大大降低了迭代次數，縮短潮流計算總耗時。

參考文獻

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