“三桿+軌”問題的試題編制與分析策略

福建

“三桿+軌”問題是中學“桿+軌”模型在單桿和雙桿題型基礎上衍生的一種新的物理模型。作為中學物理考查動生類電磁感應問題的重要載體，三桿與導軌的結合不僅使試題延續了傳統“桿+軌”問題中的研究對象多、綜合知識點多、分析情境復雜、知識和能力綜合性強等特點，而且還增強了對學生物理思維、科學探究等核心素養的考查。不論對教師命題還是學生解題都是一個新的研究課題，因此積極探索三桿問題的命題情境和分析策略，編制契合高考考綱要求的試題體系，對增強學生物理建模的能力，培育學生處理問題的能力，提升學生物理思維都具有積極的意義。

【方向1】三桿均置于磁場內，桿1切割，束縛桿2、3均處于靜止。

【設計思路】設計三根導體桿放置于同一磁場或不同磁場內(如圖1)，其中桿1切割磁感線，而桿2和桿3均于磁場中處于靜止狀態。

圖1

【分析策略】桿2和桿3在磁場中相當于電阻，模型的本質仍是單桿問題，解題時可分別對動桿和束縛桿進行受力分析，動桿按單桿模型動態分析，綜合法拉第電磁感應定律、歐姆定律、牛頓運動定律、動能定理求解，受外力約束而靜止的束縛桿應用平衡條件處理，然后以電流強度作為橋梁聯立分析即可，在分析時要注意電源的位置及三桿的連接方式。

【例1】如圖2所示，間距為L、電阻不計的平行金屬導軌OPQ和LMN分別固定在兩個豎直面內，在水平面PQMN區域內有方向豎直向上、大小為B1的勻強磁場，傾角為θ的斜面OPML區域內有方向垂直于斜面向上、大小為B2的勻強磁場。將質量為m、電阻為R、長為L的三根導體棒放置在導軌上，其中棒2的兩端分別固定在P、M點，表面粗糙的棒3放置在傾斜導軌上，剛好不下滑，光滑的棒1在水平外力作用下由靜止開始以恒定的加速度a沿水平導軌向右運動，棒1始終與導軌垂直且兩端與導軌保持良好接觸，滑動過程中始終處于豎直磁場中，重力加速度為g。求：

(1)棒3剛要向上滑動瞬間，棒3中電流I的大小和方向；

(2)棒3剛要向上滑動瞬間，水平外力的功率P。

圖2

【解析】(1)開始時，棒3剛好不下滑，根據平衡條件

mgsinθ=Ff

棒3剛要上滑的瞬間，根據平衡條件

B2IL=mgsinθ+Ff

通過棒3的電流方向沿棒垂直紙面向里。

(2)將棒2、棒3看成定值電阻，根據串并聯關系得

I總=2I

以棒1為研究對象，根據法拉第電磁感應定律得

E=B1Lv

根據牛頓第二定律F-B1I總L=ma

棒3剛要上滑的瞬間，拉力的功率P=Fv

【點評】棒2和棒3受約束處于靜止狀態，在電路中可看成定值電阻，棒1在磁場中做切割磁感線運動產生感應電動勢，根據回路的串并聯關系可得出棒1和棒3電流的關系，對棒3受力分析，由平衡條件可求出通過棒3的電流大小及方向，結合感應電動勢、閉合電路歐姆定律、牛頓運動定律和功率公式即可聯立求解。

【方向2】三桿均置于磁場內，桿1切割，桿2處于靜止，桿3沿磁場方向共線運動(v3∥B)。

【設計思路】設計三根導體桿放置于同一磁場或不同磁場內(如圖3)，其中桿1運動切割磁感線，而桿2約束處于靜止狀態，桿3(共線桿)于磁場中沿磁場方向運動。

圖3

【分析策略】桿2受約束處于靜止狀態，相當于定值電阻，共線桿由于速度方向平行于磁場方向沒有產生感應電動勢，模型的本質仍是單桿問題，題型分析策略是切割桿按單桿模型進行分析和處理，受外力束縛而靜止的束縛桿根據平衡條件處理，共線桿則進行動態分析，尋找最終穩態的動力學關系，以電流為橋梁聯立三桿方程進行求解。

【例2】相距L=1 m的足夠長金屬導軌豎直放置，質量為m1=1 kg的金屬棒ab和質量為m2=0.27 kg的金屬棒cd均通過棒兩端的套環水平地套在金屬導軌上，金屬棒ef固定于金屬導軌上，如圖4所示，虛線上方磁場方向垂直紙面向里，虛線下方磁場方向豎直向下，兩處磁場磁感應強度大小相同。ab棒光滑，cd棒與導軌間動摩擦因數為μ=0.75，三棒的電阻均為R=0.3 Ω，導軌電阻不計。t=0時刻起，ab棒在方向豎直向上、大小按圖5所示規律變化的外力F作用下，由靜止沿導軌向上勻加速運動，同時由靜止釋放cd棒。(g取10 m/s2)

圖4

圖5

(1)求磁感應強度B的大小和ab棒加速度大小；

(2)已知在2 s內外力F做功40 J，求這一過程中金屬棒cd產生的焦耳熱；

(3)求出cd棒達到最大速度所對應的時刻t1。

【解析】(1)導體棒ab在勻加速運動的過程中，ef棒始終處于靜止，cd棒運動方向與磁場方向平行沒有產生感應電動勢，閉合回路仍為單電源問題。

設經過時間t，金屬棒ab的速率v=at

回路中的感應電流為

對金屬棒ab，由牛頓第二定律得

F-m1g-BIL=m1a

由圖5可知

t1=0時，F1=11 N

t2=2 s時，F2=14.6 N

代入解得a=1 m/s2，B=0.9 T

(2)在2 s末金屬棒ab的速率vt=at=2 m/s

電路中產生的總熱量Q=6Qcd

聯立以上方程解得Qcd=3 J

(3)由題意可知，cd棒先做加速度逐漸減小的加速運動，當cd棒所受重力與滑動摩擦力相等時，速度達到最大；然后做加速度逐漸增大的減速運動，最后停止運動。

當cd棒速度達到最大時，有m2g=μBIcdL

整理得t1=4 s

【點評】棒ef受約束處于靜止狀態，在電路中可看成定值電阻，棒ab運動產生感應電動勢，棒cd共線桿沒有感應電動勢，本題仍為單電源問題，結合單桿問題的分析思路和數學知識(斜率和截距)，即可求磁感應強度B的大小和ab棒加速度大小；動態分析cd棒的運動情況，得出當cd棒所受重力與滑動摩擦力相等時，速度達到最大，由平衡條件可求出電路中的電流，再由E=BLv、歐姆定律和運動學公式結合求解時間t1。

【方向3】兩桿發生完全非彈性碰撞，碰撞后與桿3在磁場中同時切割磁感線。

【設計思路】設計三根導體桿放置于同一磁場、不同磁場或磁場內外(如圖6)，其中桿2運動與桿3發生完全非彈性碰撞，碰后三桿于磁場中切割磁感線。

圖6

【例3】如圖7所示，一上、下兩層均與水平面平行的U形光滑金屬導軌放置于磁感應強度大小為B、方向豎直向上的勻強磁場中，兩導軌面高度差為H，導軌寬為L，導軌足夠長且電阻不計，在導軌面上各放一根質量均為m、阻值均為R的勻質金屬桿2和3。開始時兩根金屬桿位于同一豎直面內，桿與軌道垂直且處于鎖定狀態，現有一質量為m、阻值為R的金屬桿1于金屬桿2的左側相距L處以水平速度v0向右運動，與金屬桿2相碰(作用時間極短)并粘連一起，碰撞前瞬間同時解除桿2和桿3的鎖定使兩桿能沿導軌自由滑動，求：

(1)桿1向右運動L過程中通過桿1的電量q；

(2)桿1和桿2碰撞后瞬間的速度大小；

(3)整個運動過程中回路的感應電流產生的總焦耳熱。

圖7

(2)對桿1任一極短時間Δt內應用動量定理得

-BIL·Δt=mΔv，即-BL·Δq=mΔv

由于在極短時間內上式均成立，故在桿1運動至碰撞前過程中也成立，則有

-BLq=mv1-mv0

桿1和桿2碰撞瞬間，取桿1和桿2為系統，由動量守恒定律得mv1=2mv2

(3)桿1碰撞前在安培力作用下做減速運動，安培力做負功將棒的動能轉化為電能，再通過電流做功將電能轉化為內能，故焦耳熱等于桿1的動能減少量，由動能定理得

桿1和桿2碰撞之后在安培力的作用下，兩桿做減速運動，桿3在安培力作用下做加速運動，當三桿速度大小相等時，回路內感應電流為0，之后三桿做勻速直線運動，根據動量守恒定律得

2mv2=3mv3

根據系統的能量守恒定律得

故整個過程回路產生的總焦耳熱為

【方向4】三桿均放置于磁場內，同時切割磁感線。

【設計思路】設計三根導體桿放置于同一磁場或不同磁場內(如圖8)，賦予相同或不同的速度同時切割磁感線產生感應電動勢。

圖8

【分析策略】三桿在磁場中同時切割磁感線時，產生三個感應電動勢，模型會涉及三個電源的連接方式和三桿的動態分析問題，基于《考試大綱》的要求，試題的編制仍限定于電源串聯方式的討論。與雙桿同時切割模型類似，在涉及動態分析時，要注意桿系統有外力作用和無外力作用的最終穩態問題。

【例4】如圖9所示，三根光滑金屬導軌ABC、DEF和GH水平固定，AB、EF平行于GH，BC平行于DE，導軌間距均為L，電阻不計，且整個導軌平面均處于豎直向下的勻強磁場中，磁感應強度為B。三根金屬棒a、b、c垂直放置在導軌上，與導軌接觸良好，其中a、b兩金屬棒質量均為m，電阻均為R，c金屬棒質量為2m，電阻為2R，開始時金屬棒a、b處于靜止狀態，給c棒初速度v0向右運動，假設軌道足夠長，棒a只在軌道AB與GH上運動，棒b只在軌道BC與DE上運動。求：

(1)金屬棒a、b、c最終穩定的速度分別為多少；

(2)金屬棒a從開始運動到最終穩定所產生的熱量；

(3)在三根金屬棒的整個運動過程中金屬棒a、b、c與水平導軌圍成面積的變化量。

圖9

【解析】(1)導軌光滑，所以在運動過程中a、b、c不受摩擦力作用，在水平方向只受安培力，棒c以初速度v0向右運動，則回路產生逆時針方向電流，c受向左的安培力，a受向右的安培力，b受安培力方向沿CB方向，所以a、b均開始做加速運動，c做減速運動，a、b產生的感應電動勢與c方向相反，當三者產生的感應電動勢互相抵消時，回路電流為零，達到穩定平衡狀態，三棒同時開始做勻速運動，故最終穩定時Ec=Ea+Eb，即BLvc=BLva+BLvb①

對金屬棒a，根據動量定理得BLqa=mva-0 ②

對金屬棒b，同理得BLqb=mvb-0 ③

對金屬棒c，同理得-BLqc=2mvc-2mv0④

由于a、b、c始終串聯，故qa=qb=qc

聯立②③得vb=va⑤

(2)取金屬棒a、b、c為系統，根據系統的動能定理得

由于通過金屬棒的電流相同，故產生的熱量與電阻成正比，得

(3)取金屬棒a，由動量定理得BLq=mva，得

【點評】多軌多桿問題的分析重點在于注意金屬棒的動態運動過程，明確在自由滑動的條件下金屬棒都勻速運動時回路中總電動勢為零，要了解多個電源在電路中的連接特征，知道運用動量定理是求電磁感應中電量、動能定理是求熱量的常用思路。