注重實踐探究提升數學素養

李霞 楊麗

教材內容：人教版數學五年級上冊第七單元106頁例1。

教學目標：

1.通過探究發現一條線段上“兩端要栽”“兩端不栽”“只栽一端”三種不同情況植樹問題的規律。

2.通過“動手畫”“動手擺”等數學活動過程探究新知，從中滲透數形結合、建模等數學思想，使學生經歷和體驗“復雜問題簡單化”的解題策略和方法。

3.讓學生感受數學在日常生活中的廣泛應用，嘗試用數學的方法來解決實際生活中的簡單問題，培養學生的應用意識和解決實際問題的能力。

教學重、難點：探究棵數與間隔數之間的關系。應用植樹問題的模型靈活解決一些相關的實際問題。

教學準備：教學課件、樹的模型、小路的模型。

教學過程：

一、 游戲導入，滲透規律

師：同學們喜歡做游戲嗎？

生：喜歡。

師：那我們來做個一刀兩“段”的游戲。（板貼：一刀兩“段”。）請同學們看黑板，老師畫了一個繩子的草圖，我一刀切下去，繩子變成了幾段？

生：2段。

師：那2刀呢？

生：3段。

師：4刀呢？

生：5段。

師：99刀呢？

生：100段。

師：反過來問，分成2段，需要幾刀？

生：1刀。

師：在這個游戲里，我們通過畫一個簡單的草圖，找到了剪繩子時，刀數與段數之間的規律，這個規律是什么呢？

生：段數比刀數多1。

生：刀數比段數少1。

師：有了這個規律就可以推導出一個公式。（板貼：段數=刀數+1。）

師：有了這個公式，計算大的數據就簡便了。這節課我們繼續利用“畫——找——推”的方法，解決數學廣角中的植樹問題。（板書：植樹問題。）

【評析】根據學生的年齡特點，創設學生喜歡的游戲情境，在游戲中，學生初步感受、發現數學規律就在身邊，同時滲透給學生“畫——找——推”的學習方法，讓學生有本可依，有據可照，為接下來探究植樹問題的三個基本規律奠定基礎。

二、合作探究，發現規律

1.明確植樹的三種情況。

師：同學們知道3月12日是什么日子嗎？對，是植樹節，從這一天開始全國上下都開始植樹，為保護環境獻一份力量。園林工人想請同學們幫幫忙：在一條長20米的小路上設計一份植樹方案。（課件出示設計要求。）

小組合作

在全長20米的小路一側植樹，每隔5米栽一棵，可能有幾種情況？每種情況可以栽幾棵樹？

請聰明的你選擇出一種植樹情況設計出植樹方案。

師：誰來讀一讀？提了哪些要求？

生：在一條長20米的小路一邊，每隔5米栽一棵樹。

師：兩棵樹之間的距離，在數學中我們把它叫做間隔，間隔長是5米。你我之間有間隔嗎？請你起立，咱們三個人之間有幾個間隔？（師依次指前后兩個學生起立，生回答。）

師：20米長的小路一邊，每隔5米栽一棵樹，你猜想一下會需要幾個樹苗呢？

生：4棵、5棵、3棵……

師：現在就讓我們以小組為單位動手驗證一下，小組內可以動手畫一畫，也可以用老師為你們提供的學具擺一擺。做一名小小的園林設計師，按要求為這條小路設計植樹方案吧。

（學生分小組設計植樹方案。）

師：大多數小組已經完成了，哪一位同學說一說你們小組是怎樣設計的？栽了幾棵樹？（小組匯報設計方案。）

小組1：我們小組設計栽了5棵樹。在一條長20米的路上，在路的一端先栽1棵，然后隔5米栽第2棵，再隔5米栽第3棵……再隔5米栽第5棵。（板貼。）

師：他們設計了栽5棵樹，還有不同的設計方案嗎？

小組2：我們小組設計栽了4棵樹，開頭的地方沒栽，隔5米栽第1棵……隔5米栽第4棵。（板貼。）

師：為什么開頭的地方不栽？

生：因為有的時候在一條路的一頭可能會有房屋或其他建筑物，所以不能栽。

師：你想得真周到，真是個細心又愛動腦的孩子。

師：（看屏幕）是這樣的嗎？

師：是呀，如果路的一端有建筑物，就只能在另一端栽了！同學們的設計真精彩啊！其他小組還有不同的設計方案嗎？

小組3：可以栽3棵樹。（板貼。）

師：你回答得太棒了！

【評析】基于學生已有的認知水平，先讓學生猜需要多少棵樹苗，再引導學生開展探究活動，放手讓學生以小組合作的方式通過“畫一畫”“擺一擺”等方法給學生提供了自由探究的空間，充分關注學生數學學習的全過程，學生輕松地設計出了三種植樹方案。

2.探究間隔數與棵樹之間的關系。

師：同樣長的路，有三種植樹情況。讓我們再一次觀察，找一找它們相同的地方和不同的地方，同桌之間可以討論一下。

師：誰說一下？（屏幕出示。）

生：相同的是總長20米，間隔的長度是5米，間隔數都是4個。不同的是栽的棵樹不同。

師：根據植樹的情況不同，給它們起名字：栽5棵的是兩端栽的，我們可以叫它兩端都栽;（板貼：兩端都栽。）栽4棵的是一端栽的，我們叫它只栽一端;（板貼：只栽一端。）栽3棵的是兩端都不栽的，我們叫它兩端不栽。（板貼：兩端不栽。）

師：這三種植樹情況又有什么相同點和不同點呢？

生：間隔數相同，栽的棵樹不同。

師：同樣都有4個間隔，間隔數與棵樹又存在著什么關系呢？你們再來找一找，看看能發現什么？

生：兩端都栽，植樹棵數比間隔數多1;（板書：棵數=間隔數+1。）只栽一端，植樹棵數與間隔數相等;（板書：棵數=間隔數。）兩端不栽，植樹棵數比間隔數少1。（板書：棵數=間隔數-1。）

師：20米長的路，每隔5米栽一棵樹，要想求出需要栽多少棵樹，首先得求出什么？

生：間隔數。

師：列式是……

生：20÷5=4。（板書。）

師：間隔數是怎么求呢？

生：總長÷間隔長=間隔數。

生：當兩端都栽時，棵數=間隔數+1;[師板書：4+1=5（棵）。]當只栽一端時，棵數=間隔數;[師板書：4=4（棵）。]當兩端不栽時，棵數=間隔數-1。[師板書：4-1=3（棵）。]

【評析】引導學生看圖觀察三種植樹方案，學生通過“比一比”“找一找”的方法，探索規律，發現規律，讓學生經歷知識的建模過程。學生找出了棵樹與間隔數之間的規律并推導出公式，進而解決三種植樹方案問題，驗證之前的猜測。

3.分組驗證規律。

師：同學們很了不起，讓我們鼓勵鼓勵自己，我們用“畫——找——推”的方法掌握了植樹問題的三種基本情況。但是我們是以小路總長20米的一邊每隔5米栽一棵樹為例，發現了間隔數與棵樹之間的關系，這個關系在25米、30米、35米長的小路上還適用嗎？我們需要怎么辦呢？

生：驗證。

師：那好，我們分組來驗證。（看學習卡2：舉手確認總長數，25米、30米、35米。）下面繼續利用“畫——找——推”的方法，同桌之間按照學習卡上的小路長度來進一步驗證三種植樹情況中棵樹和間隔數之間的關系。請看學習提示。（課件出示學習提示。）

學習提示

1. 畫一畫：小組分別在全長25米、30米、35米的小路一側，每隔5米栽一棵樹，請畫出植樹的三種情況，求出每種情況能栽多少棵樹？

2.填一填：根據畫的結果完成學習卡中的表。

3.說一說：把你的發現和同桌說一說。

（學生驗證——教師巡視——學生匯報——課件出示。）

【評析】考慮到有個別學生還沒有真正體驗到獨立植樹的過程，所以再用25米、30米、35米長的小路植樹來驗證得出的結論。這樣每一名學生都通過操作探究、分析比較，進一步認識到棵數與段數、間隔數之間的聯系，使規律根植于心，從而建構起植樹問題的數學模型。

4.記憶三種植樹規律。

師：剛才我們通過一系列驗證，得出了植樹問題的三種情況的基本規律。可是這三種情況很容易混淆，想一想我們應該怎樣記憶呢？（師舉手。）我的手上有哪些數字？5指的是什么？

生：5棵樹。

師：4空指什么？

生：4個間隔。

師：那么可以用5指4空來記憶，5指4空是哪種植樹情況？

生：兩端都栽。

師：最多栽幾棵，實際上就是求兩端都栽，最少栽幾棵，實際上就是求兩端都不栽的情況。小手是不離身的，有了這個模型帶在身上我們還會弄混淆這三種植樹情況嗎？

（學生記憶規律。）

【評析】運用學生最熟悉的小手模型的“5指4空”法來幫助學生鞏固、強化記憶三種植樹規律。

三、解決問題，內化規律

1.自主學習例一。

師：植樹問題的三種基本情況我們已經掌握了，但這節課我們的重點是解決兩端都栽的植樹問題。那老師可要考考你們了，下面就試一試解決題卡中的例1。

（師出示例一，指名讀題。）

例1：同學們在全長100米的小路一邊植樹，每隔5米種一棵（兩端都栽），一共要栽多少棵樹？

師：屬于哪種植樹情況？

生：兩端都栽。

師：做在答題卡上。

生：100÷5=20（個），我是先求出間隔數。兩端都栽，所以棵數就多1，20+1=21（棵）。

師：還有不同意見和不懂的地方嗎？那我把這道題變一個字，該怎么做呢？

生：一邊植樹變成兩邊植樹，用21×2=42（棵），所以兩邊需要栽就是42棵樹。

師：我們在解決問題時應注意什么呢？

生：認真讀題。

師：對，讀題時要細心，讀懂關鍵字。

2.變式例一。

師：老師把例1再變一下，該怎么解答呢？

例1二變：同學們在小路一邊植樹，每隔5米種一棵（兩端都栽），一共要栽21棵樹，這條小路長多少米？

師：給你棵數了，怎么求小路總長？做在你的學習卡上。

（生做題后匯報：21-1=20（個）間隔，再用20×5=100（米）。）

3.擴展遷移。

師：同學們很棒！老師把例1變了兩次都沒有難倒你們，其實植樹問題并不只是與植樹有關，生活中還有許多現象和兩端都栽的植樹問題很相似。你還知道哪些？

生：排隊、敲鐘、擺花、掛彩燈、上樓……

師：這些現象都可以用植樹問題的策略來解決它，你們想試試嗎？

生：想。

師：讓我們進入數學樂園。

【評析】學生運用發現的規律和所建立的數學模型獨立解決植樹問題例1后，教師再對例題兩次變形，培養了學生學習數學的態度和思維方式。最后延伸到生活中類似的現象，使學生感受到數學就在身邊。

四、嘗試實踐，應用規律

第一個板塊：鞏固練習填一填。

園林工人在長27米的小路一側擺花（兩端都擺），每隔3米擺一盆花，有（）個間隔，擺（）盆花。

第二個板塊：動腦思考判一判。

1.小明從1樓走到3樓，共走了3層樓梯。（）

2.5路公共汽車行駛路線全長6千米，相鄰的兩站之間的路程都是1千米，一共要設5個車站。（）

3.元宵節，中華大街一側從頭到尾一共掛了200個大紅燈籠，如果在每兩個燈籠間掛一個中國結，需要199個中國結。（）

第三個板塊：火眼金睛選一選。

在一條全長2000米的街道一旁安裝路燈（兩端也要安裝），每隔50米安一盞。一共要安裝多少盞路燈？（）

A.2000÷50=40（盞）

B.2000÷50=40 ? 40+1=41（盞）

C.2000÷50=40 ? 40-1=39（盞）

【評析】通過不同層次的練習，讓學生了解生活中的“植樹”問題。學生運用新獲得的數學知識來解決生活中的實際問題，使學生意識到生活中處處有數學，數學源于生活，又運用于生活。

五、總結提升，拓展規律

師：同學們，這節課我們運用了“畫——找——推”的方法，掌握了植樹問題三種情況的基本規律，重點解決了“兩端都栽”這種情況下的植樹問題，使復雜的問題變得簡單了。在下節課的學習中，我們將繼續利用這些規律去解其他兩種情況的植樹問題，好嗎？

總評：

“植樹問題”是小學數學中較為復雜的問題，教學內容本身需要很強的數學思維，有很大的探究空間。它需要學生的自主探究和教師的有效引領。李霞老師給我們展示了一堂精彩的數學課。整節課目標定位準確，主線明朗清晰，訓練扎實有效， 對模型、數形結合、化歸、一一對應等數學思想做了有效的詮釋和滲透。在愉悅的氛圍中引發了學生學習的動機，讓學生學有所獲。綜觀整節課，亮點有三：

1.教學內容以關注學生的經驗為起點，科學合理。

植樹問題應有兩大類型：一是在直線上植樹;二是在封閉圖形上植樹。兩個類型可以相互轉化。其中，直線上植樹是最基本的類型，它有三種不同情況：兩端都栽、兩端都不栽、一端栽一端不栽。另外，植樹問題還存在著單邊植樹和雙邊植樹兩種情形。如果不同的類型、不同的情況和不同的情形相互交叉，那么就會演繹出更多的、更為復雜的植樹問題。本節課作為數學廣角“植樹問題”的起始課，教師關注了學生學習的起點，根據五年級學生的認知實際情況。在第一課時上，讓學生找出直線上三種植樹情況的基本規律，驗證規律后，選定將“兩端都栽的情況”作為重點研究對象，將“會用植樹問題的模型解決一些相關的實際問題”作為教學目標來完成，有序安排教參建議的課時數。我認為，這節課目標定位很準確，容量適當，避免因知識容量大、知識類別雜而造成學生學得累、掌握效果不佳的后果。

2.數學規律的認知依存于學生的實踐探究，循序漸進。

先以游戲導入，滲透規律。教學中，李老師從生活中“一刀兩段”這一簡單的數學現象出發，引導學生去掉表象保留其數學本質，達到化繁為簡、內化知識的目的。學生依據規律推導出“段數=刀數+1”，為探究學習植樹問題做好鋪墊。接著合作探究，發現規律。李老師引導學生“在20米長小路上栽樹”開展探究活動，將三種植樹方式融入一個情境中進行對比研究，設計有著獨到之處。放手讓學生通過“畫、擺、找、推”等方法，以小組合作的方式探索規律、發現規律，給學生提供了多樣化的選擇，充分關注了學生數學學習的全過程，讓學生經歷了知識的建模過程。學生找出了棵樹與間隔數之間的規律并推導出公式后，繼續探究，驗證規律。學生分組驗證25米、30米、35米長的小路三種植樹情況下棵數和間隔數之間的規律。通過操作探究、分析比較，進一步認識到棵數與段數、間隔數之間的聯系，使規律真正根植于學生內心，而非簡單的被動記憶。再利用“5指4空”法幫助學生鞏固加深記憶三種植樹情況，從而建立牢固的數學模型。最后利用模型解決實際問題，內化規律，嘗試實踐并應用規律。數學是研究數量關系和空間形式的科學。作為數學教師，不僅讓學生記住公式、規律，更要關注學生如何理解探究公式、規律的方法，學生利用熟悉的直觀模型和掌握的數學思想探究規律，這也是“數學廣角”要達到的教學主旨。

3.問題情境的創設立足于學生的生活運用，生動有效。

培養學生應用數學知識解決生活中問題的能力是新課程實施的重要目標之一。整節課教學活動的展開緊緊圍繞學生的生活與運用。從學生熟悉的“剪繩子”的游戲引入新課，又以“植樹節設計植樹方案”的情境引出對問題和新知的探討，記憶規律時教師讓學生張開手指，仔細觀察。在對例題的變式中，一變是由“小路一邊植樹”變為“兩邊植樹”，二變是由“給小路總長求棵數”變為“給棵數求小路總長”，培養學生數學學習的嚴謹態度和思維方式，提高數學素養，提升學生舉一反三的能力。在實際應用中，讓學生走進生活中的那些類似于植樹問題的現象，意在告訴學生這些現象都可以用植樹問題的策略來解決。在練習設計不同板塊時，也是解決生活中的數學問題。“鞏固練習填一填”利用的是園林工人在小路擺花的情境;“動腦思考判一判”創設的情境是：小明走樓梯、公共汽車行駛路線上設車站、元宵節大街掛紅燈籠和中國結;“火眼金睛選一選”的情境是：在街道旁安裝路燈。多種形式的訓練中，有求總長的，有求段數的，有求棵樹的，有求間隔數的，在題型設計上由易到難，由淺入深，訓練有序，這些都較好地體現了思維訓練的開放性，加深了學生對植樹規律的實踐性體驗和理解。我認為，根植于生活的教學情境的創設放飛了學生思維的翅膀，把數學教學融于千姿百態的生活之中，讓學生在具體生活中理解數學現象、解決問題，深深地體會到數學的應用價值與魅力。

總之，這節“植樹問題”的教學，讓學生經歷了“感知——探究——應用”的全過程，從中習得解決問題的方法，體驗到學習數學的樂趣。教師對課程資源的關注、對學情的關注、對數學思想的滲透、對學生應用意識的培養、對思維訓練的把握，都有效地提升了學生的數學素養。

編輯∕韓曉雨