基于學生認知起點的平面圖形面積學習調研

張秋爽

【摘要】缺內容的數學教學變革，能改善學生的數學學習境遇，提升數學課程的育人質量。本文闡述了數學文化的內涵，同時從追問數學問題的源頭、剖析數學家的品格、詮釋數學思想的內涵、豐富數學原理的變式等維度提出了一些參考策略。

【關鍵詞】數學教育 數學文化 實施策略

五年級學習平面圖形的面積時，教材中先學平行四邊形，接著學習三角形，最后學習梯形。教材這樣安排，就沒有新的學習順序嗎？要想尋找新的學習順序，還需要把握學生的認知起點，更需要了解學生在三年級學習了面積以及長、正方形的面積之后，他們已有的知識基礎是什么？困惑是什么？他們能走多遠是我們想知道的。教材安排的順序是唯一的學習順序嗎？學生心中又有怎樣的學習順序呢？帶著這樣的疑惑和思考，我進行了調研。

我們從五年級、六年級隨機抽取了193人進行關于三個面積學習順序的調研，又從四年級學生中對5名學生進行了訪談，其中4名學生知道長方形面積的計算方法，但說不清道理。這是為什么呢？帶著這樣的疑問和思考，我從四年級抽取一個班40名學生對他們進行了調研。測查過程的基本環節如下：第一步，先讓學生自己完成題目，完成之后與身邊的老師進行簡單的交流和詢問，確認每一個學生的真實表達;第二步，再讓每個學生匯報自己的想法;第三步，教師欣賞學生的作品，揣摩背后的價值。

1.調研過程

（1）學習平面圖形順序的調研

五年級前測：下面這些平面圖形的面積，你能想辦法推導出來嗎？你想先學習哪個圖形的面積？然后學習哪個圖形的面積？請在圖形左側標出序號，并在圖形右側說出你的理由。

學習順序：

設計意圖：五年級學生在沒學習平行四邊形、三角形和梯形的面積之前，憑直覺思考學習三種平面圖形面積的順序。

六年級前測：回憶已經學過的這些圖形的面積計算公式推導過程（在圖中標明）

你覺得求圖形面積最關鍵的是什么？

教師教學的學習順序（寫序號）______________________。

你覺得還可以有其他的學習順序嗎？寫出來，說明理由。

設計意圖：學生根據圖形之間的關系，思考其他的學習順序。

我們對未學過三種平面圖形面積的四年級學生和已經學過的五、六年級學生一共193人進行了調研，問題是：對于“平行四邊形、三角形和梯形”三種圖形，你認為應先學習哪種圖形？其中認為先學平行四邊形面積的有117人，占60.6%;認為先學三角形面積的有43人，占22.3%;認為先學梯形面積的有33人，占17.1%。

先學習平行四邊形的理由：三角形和梯形都可以轉化為平行四邊形，進行面積計算公式的推導學習;

先學習三角形的理由：平行四邊形和梯形都可以分成兩個三角形，所以只要學會了三角形的面積計算，其他兩個平面圖形的面積計算就不用學習了;

先學習梯形的理由：梯形的上底為0就是三角形，梯形的上底和下底相等時就是平行四邊形，所以可以學習梯形后就能求出這三種圖形的面積了。

從調研中，我們看出這三種平面圖形的學習是多元的，先學哪種圖形都行，先學習哪種圖形都能根據圖形之間的聯系推導出其他圖形的面積計算公式。

（2）四年級學生學習面積的前測調研題目：

①長方形的面積等于長×寬，你能解釋原因嗎？

設計意圖：把握學生的認知起點，學生是否理解了面積概念，程度如何？是否知道長乘寬的具體含義？有哪些思考經驗和策略方法為后續學習其他平面圖形的面積做好了鋪墊？

②學習長方形和正方形面積后，你還可以得到哪些圖形的面積？把你的想法寫下來。

設計意圖：在學生認知的基礎上，學生能否利用已學的方法策略解決新問題，看學生的發展潛力在哪里？他們學習平面圖形面積的困難有什么？

③

想求出上面這個圖形的面積，你有什么辦法？可以用鉛筆和尺子畫一畫，尋找到解決問題的思路。

如果遇到自己不能解決的問題請記在下面。

設計意圖：面對新情境下的問題，學生的策略有什么？困難是什么？為后續學習設計活動找準學生知識的生長點。

2.測試結果呈現

（1）學生基礎

對于長方形的面積=長×寬，40名學生解釋原因，答題情況可以分成三類：

①理解面積的含義，知道推導的過程。24名學生能夠用語言描述面積就是相乘的過程：長擺了幾格，長就是幾，寬擺了幾格，寬就是幾，一共有多少個格，就是面積;或者在圖形中畫滿了正方形的面積單位。還有一些比較精彩的話語，如下：

生1：求周長只用外面的邊，用加法;那么求面積要用里面的心，所以用乘法。

生2：如果把長方形分成許多小格，長分成的小格數量乘寬分成的小格數量就可以得到有多少個小格。

②不理解推導過程，言語表述不清晰、有偏差。8名學生不知道如何解釋，只知其然不知其所以然。

生1：在圖中標了數據，長是3厘米，寬是2厘米。求周長用（3+2）×2=10厘米，求面積用3×2=6平方厘米。（僅僅呈現了事實）

生2：因為長×寬是分兩部分的，第一部分是（長+寬）;第二部分是×2，合起來是（長+寬）×2，為了便捷就是長×寬。（沒有因果關系）

生3：因為正方形的面積是邊長×邊長得來的，所以我覺得長方形的面積是由正方形的面積得來的。（邏輯錯誤）

生4：長和寬都有兩條邊，一條長和一條寬相乘就是面積。（沒有解釋原因）

③沒有表達自己的想法。有8人既沒有文字描述，也沒有畫小方格;個別學生只是在圖中標上了數據，沒寫出想法。

（2）學生能走多遠

對于“學習長方形和正方形面積后，你還可以得到哪些圖形的面積？把你的想法寫下來”這樣的探究性問題，可以把學生作品分成三類：一類是不能求出其他圖形的面積有12人，占30%;第二類是想象中能求出梯形、三角形和平行四邊形，但沒有寫出思考過程的有4人，占10%;第三類是自己有想法的有24人，占60%。下面對有想法的學生進行統計，并做詳細說明。

①密鋪法。能夠用面積單位去密鋪三角形、多邊形的面積的有6人。如圖：

從圖1可以看出學生理解面積的含義，知道用面積單位去密鋪可以求面積，既體會了面積的本質含義，又能把長方形面積的計算方法遷移到求新圖形的面積當中，把密鋪作為一個通行方法讓學生解決更多的問題，但學生沒有關注整格和半格，把半格當作整格進行了計算。

②轉化法。能夠利用已學知識推導出沒學圖形的面積的有4人，運用了轉化的思想。

從圖2能看出學生通過高把三角形分成兩個小三角形，從而利用構造思想，形成長方形。從圖中的輔助線、虛線可以看出學生背后的思考。

對于直角三角形面積的求法，學生想到了長方形，兩個完全一樣的直角三角形能拼成一個長方形，求出長方形面積的一半就是直角三角形的面積;對于平行四邊形想到了轉化成長方形的有2人，學生的語言是“把左上角往上一拉，拉成直角”。

③分解法。能夠利用整體和部分的關系求組合圖形面積的學生有6人。具體分析如下：

從圖3的左圖可以看出：兩個完全一樣的等腰直角三角形可以拼成一個正方形，正方形面積的一半就是直角三角形的面積，學生能夠應用轉化的思想方法;從右圖可以看出有分與合的思想，對于整體和部分之間的關系了如指掌，為日后學習組合圖形的面積時把多邊形轉化為基本圖形做好鋪墊。

從圖4可以看出學生能把長方形和正方形的面積組合在一起求。先求大的長方形面積減去小的正方形的面積就是多邊形的面積。這里蘊含的分與合思想，體現的是部分和整體的關系，應用的是剛剛學過的兩個平面圖形面積的計算方法。這種綜合應用知識的能力可見一斑。他們能夠利用分與合的思想把復雜轉化為簡單，利用長方形、正方形這兩個基本圖形求出面積。

還有學生寫道：我認為像多邊形那樣的圖形應該先量出每條邊的長度，再把它分成帶有直角的正方形或長方形算出它們的面積，最后把面積加在一起就行了。同樣也能看出學生具備轉化的思想方法，能把未知轉化為已知，為學生推導其他圖形的面積計算公式提供思考經驗。

④在合情推理中出現了偏差。有2名學生對平行四邊形、等邊三角形的面積進行了合情猜想，能看出學生樸素的遷移想法出現了知識的負遷移。

表面上看，對于三角形求面積和周長容易混淆，實際上學生把正三角形和正方形分在一類，用正方形的邊長×邊長遷移得到的，因為它們的邊有共同的特點，都相等;而平行四邊形和長方形一樣，對邊相等，所以平行四邊形的面積就和求長方形的一樣，這是學生利用圖形之間的相似特點類比面積的計算方法。

學生能夠用長方形的面積=長×寬，遷移三角形的面積就是底×高。從學生的思考中，我們看到了學生對長方形、三角形這兩種圖形之間的關系缺乏準確把握。

⑤周長和面積概念混淆。還有6名學生把周長和面積的概念弄混了，給出了正六邊形、等邊三角形和菱形，標出數據，求的都是周長。

（3）學生的想法與困難

對于多邊形，標了數據。讓學生求它的面積，并寫出困難。40名學生的作品可以分成四類：第一類——學生在多邊形中畫了很多小方格，以自己的小格為標準，數出了圖形的面積，沒有關注到數據的多少。這樣的學生有10人，算出結果的有5人，還有5人畫了格，不知道怎么數;第二類——有3名學生把多邊形轉化成近似的長方形，求出近似長方形的面積代替多邊形的面積;第三類——有11名學生想到了把多邊形分割成一個個平面圖形，會求長方形的面積，困難是不會算三角形的面積，有一名學生把多邊形分成一個個小三角形。在他的習題單中，我們看到凡是組合圖形，都分解成一個個小的三角形。學生潛意識里認為三角形是一個基本圖形，而三角形在初中學習平面幾何時有非常重要的地位。

第四類——剩下的16人，有的只標上數據，沒有想法;有的沒有畫圖，只是做一些沒有邏輯的算式，還有學生去量線段，不解的是量線段長度是2厘米，為什么標的是4呢？學生做這道題最大的困惑就是沒有數據。

4.我的思考

（1）大部分學生具備了面積守恒性、會分解圖形和簡單的轉化思想

通過調研得知：60%的學生能解釋長方形的面積為什么等于長乘寬？是因為長是幾厘米，就鋪了幾列;寬是幾厘米，就鋪了幾行，一共有多少個方格就是面積。大部分學生注意到面積的飽和性，能把多邊形分解成單個平面圖形，還能利用割補、平移等方法對沒學過的圖形進行轉化。學生能用數方格的方法求沒學過的圖形的面積，這里蘊含了度量的意識和累加的思想，為日后學習微分做了鋪墊。這是學生學習平面圖形的面積推導時的生長點，教師可以利用學生已有的知識起點有針對性地設計活動。對于知識理解不到位的學生，需要教師查漏補缺，讓學生盡可能理解面積的含義和計算背后的道理。

（2）學生在自己探索新圖形的面積過程中，個性化方法得以外顯，也有局限性

通過調研得知：20%左右的學生在探索過程中，運用了合情推理中的類比推理，但出現了一些偏差。如：認為等邊三角形的面積和正方形一樣，可以用邊長×邊長來計算;平行四邊形的面積用鄰邊相乘;等腰三角形的面積是底乘高等。這些都說明學生在探索知識的過程中是有想法的，但出現了偏差。我們可以利用學生的認知沖突，讓學生的思維經歷從平衡到不平衡再到平衡的過程，讓學生經歷反思假設—驗證—否定—新結論的過程。

教師要帶著欣賞的眼光，利用這些資源。調研豐富了教師讀懂學生的經驗，讓課堂從單一走向豐富，從平鋪直敘走向柳暗花明。我們的課堂該怎樣關注學生的個性，讓學生的思維外顯，在學習中有整體的結構化的認知，這是我們調研的啟示。

（3）面積學習應重點關注圖形之間的相互轉化

學習面積的真正基礎是弄清楚圖形之間的關系，沒有圖形之間的等積變形就沒有轉化的思想方法。所以重視圖形之間關系的教學是平面圖形面積推導之前應做好的準備課，為學生積累活動經驗和思考經驗。

通過調研，我們深切地感覺到：學生的認知基礎、思維方法基礎、學生的興趣、需求啟發我們思考不能一味地采取一成不變的學習順序，除了平行四邊形作為突破口之外，是否可以先學習其他圖形呢？