人言數無味 我道味無窮
——記復旦大學數學科學院教授周憶

□ 杜月嬌

專家簡介：

周憶，復旦大學數學科學院教授。1992年獲得復旦大學博士學位。參加國家攀登計劃“非線性科學”項目，擔任原“973”計劃“非線性科學”骨干研究成員，主持國家杰出青年科學基金等。發表100余篇論文，他引超過1000次。合作科研成果曾獲1992年度國家教委科技進步獎一等獎（第五獲獎人）、1997年度國家自然科學獎三等獎（第二獲獎人）、2011年度全國高等學校科學研究優秀成果獎自然科學獎一等獎（第一獲獎人）。獲評上海市領軍人才、長江學者特聘教授等榮譽。

“數學是這樣一個學科——它歷史悠久，可以追溯到2000多年前，古希臘數學家歐幾里得編著的《幾何原本》。”在復旦大學數學科學院教授周憶眼中，數學擁有一個龐大的體系。以《幾何原本》為例，它第一次用“公理系統”構建起了古代的數學大廈，同時對近代和現代數學也產生了深遠的影響。在國外，伽利略、笛卡爾、牛頓等一代代科學巨匠鉆研數學時離不了它；在中國，《幾何原本》也得到了許多人的重視，早在明朝就有數學家徐光啟開始對其進行翻譯傳播。“從學習《幾何原本》到了解現代數學前沿，這個過程很長，也沒什么捷徑可走，就是要一步步地學。”周憶說。

采訪中，記者提及很多人覺得數學枯燥，難以產生學習興趣。話音未盡，周憶就接過了話：“數學怎么會枯燥呢？西方研究數學，就是因為數學好玩，后來他們發現，數學問題居然和現實世界是統一的！這令很多數學家都覺得不可思議，很多人甚至將此歸因于上帝。”

周憶的話是有例證的。伽利略就曾毫無掩飾地指出，“數學是上帝書寫宇宙的文字”。而對周憶來說，數學是一個很好玩的游戲，他從“做數學”里得到的享受，一點也不遜于年輕人在電子游戲中獲取的樂趣。

復旦“子弟兵”

1962年8月，上海科學技術出版社聘請了一批有豐富中學教學經驗的教師，著手編寫《數理化自學叢書》，旨在促進具有初中文化程度的青年通過自學讀懂、學好高中數理化基礎知識。這套書在“文革”之后得以再版，風靡一時。

“那時候參考書太少，這套《數理化自學叢書》一出來，在書店里排長隊都不一定能買到。在很多人看來，能有這么一套書，哪怕是借給別人抄一下，也是一件非常體面的事。”周憶回憶道。他家里就有這樣一套《數理化自學叢書》，這是母親想方設法買到的。當時正在讀初中的周憶，由于“沒有別的書可看”，就把全部精力投注到了這套書上。“物理、化學部分看不懂，只有數學我才能看進去。一年后，靠著這套書，我就把高中部分的數學都自學完了。”從此，他的數學成績突飛猛進，并在1979年一舉考進了復旦大學附屬中學——當時全上海最好的高中之一。

升入高中后，有一天，數學老師把周憶叫過去說，通過一段時間的觀察發現他的數學已經沒問題了，數學課也可以用來做其他課程的作業。周憶形容自己當時“一下子信心爆棚”，“我其實并不知道自己學得有多好，老師的鼓勵讓我覺得在數學上我可以繼續深入學習下去”。后來，他在上海市中學數學競賽中取得了第三名的好成績，并于1981年輕松考入了復旦大學數學系。經過幾年的專業學習，在1986年，通過“陳省身留學項目”，周憶遠赴美國紐約大學庫朗數學研究所進行進一步深造。并在1988年重返復旦大學，師從李大潛先生（1995年當選中國科學院院士）。“我真正接觸波動方程也是在這時候”，周憶說道。

20世紀50年代末，谷超豪先生（1980年當選中國科學院院士）從蘇聯回到復旦大學，開始對數學系進行改革。復旦大學的偏微分方程學科由此起步。作為谷超豪先生的弟子，李大潛專于偏微分方程、最優控制理論及有限元法理論。“在當時的偏微分方程研究中，非線性波動方程只是一個比較小眾的方向，并沒有得到太多人的關注。”周憶回憶道。但是李大潛先生恰恰不愿意從眾，并且帶著他的學生（包括周憶在內）在這個方向進行了深入的研究。因為他認為，既然非線性波動方程可以用來描述很多重要的物理現象，如麥克斯韋方程、愛因斯坦方程、楊—米爾斯方程等，那之后必然會大有可為，與其“燒熱灶”，倒不如在這種看似冷門的方向上爭取先手。李大潛沒有看錯，10余年后，非線性波動方程取得了長足進展，不少著名數學家都投身其中，對非線性波動方程解的適定性（包括解的存在性、唯一性和穩定性）研究也成為偏微分方程理論研究中的核心內容和重要前沿。與此同時，周憶也已經在這一領域站穩了腳跟。時至今日，他仍佩服李大潛先生當年的高瞻遠矚。

“華羅庚自學成才的故事激勵了很多人，這個故事說明在華羅庚的時代已經有數學書可以看了，而這依賴于前輩數學家們在國內所做的推廣。”周憶提到了他的關注點——傳承，即數學的成長必須要創造能夠使之傳承下去的土壤。

1992年，周憶博士畢業，留校任講師；1995年起，成為美國普林斯頓高等研究院的成員，其導師為菲爾茲獎獲得者Bourgain教授；1997年，再次返回復旦大學，并被破格晉升為教授。可以說，從1979年考入復旦附中起，周憶與“復旦”已經牽絆了40余年。“我是復旦子弟兵。”周憶笑著說。現在，他的學生中也已經有不少人選擇在波動方程這個領域中繼續探索研究。周憶覺得，這是一個好的傳承。

“我們的研究大多是在人家的果園里栽樹，無非是錦上添花，希望有一天我們能擁有自己的果園。”停頓了一下，他補充道，“這是我的夢想”。

與其博士后明森（右）合影

心血凝聚著作

2017年5月23日，我國新聞領域的最高獎——中國出版政府獎名單公示，《非線性波動方程》獲得第四屆中國出版政府獎圖書獎提名獎。

《非線性波動方程》是現代數學叢書的第一部。書中針對非線性波動方程具有小初值柯西問題的經典解的生命跨度，建立了完整的下界估計（包括整體存在性的結果），得到了各種情形下的最佳結果。而為了處理這類問題提出的“整體迭代法”，也受到了國際數學界的高度重視和一致好評。

這套由李大潛、周憶合著的書醞釀了10余年之久，凝聚著師徒二人大量的心血。一部著作如此，一個研究方向則更甚。至今，周憶在非線性波動方程研究中已經深耕了近30年。期間，他參加到國家攀登計劃《非線性科學》項目中，成為原“973”計劃——《非線性科學》中的骨干研究成員，與此同時又得到國家杰出青年科學基金等支持，其本人也被聘為教育部“長江學者獎勵計劃”特聘教授。九層之臺，起于累土。周憶與學生雷震完成的“非線性波動方程解的適定性”項目被授予2011年度全國高等學校科學研究優秀成果獎自然科學獎一等獎，其成果在國際學界發揮出重要的影響力，正是基于這樣的積累。

與學生雷震（左）在一起

跨界切入

1980年，谷超豪先生用獨特的微分幾何的技巧，證明了1+1維調和映照整體解的存在性，揭示出“若1+1維模型在某一時刻沒有奇性，則在過去和未來均不會有奇性”。一石激起千層浪，谷超豪先生的工作在國際數學界掀起了“波映照”研究熱潮。

所謂波映照，是用以描述1+n維Minkowski空間到黎曼流形的調和映照，而以邵逸夫獎得主Faddeev命名的Faddeev方程則可視為波映照的推廣，是量子場論中描述基本粒子相互作用的重要模型。從數學上看，它們均為一個單位向量場所滿足的非線性波動方程，是非線性偏微分方程中極為重要且具有高度挑戰性的研究對象。當中外數學家們關注波映照方程時，常常會注意到其“弱解的存在性”問題，希望能夠通過一種合適的逼近解來為其佐證。

1999年，周憶首創性地提出了構造1+2維波映照方程的粘性逼近方法。不僅在方程中加入了起光滑作用的粘性項，還保證了映照依然取值于目標流形上，進而證明了在目標流形為齊次空間時1+2維波映照方程弱解的整體存在性。這項工作被國際同行稱為“周憶的粘性逼近法”。菲爾茲獎獲得者陶哲軒在其專著中指出：“盡管這些解的正則性、唯一性，甚至能量的守恒性是困難的，但是周憶等從一個截然不同的角度，用粘性消失法和先驗估計建立了整體弱解的存在性。”

“我們用到了流體力學的想法”，周憶如此解釋他們的“截然不同”。找到切入點之后，他的目標并沒有局限在“弱解”問題上，反而更希望能夠在經典解上有所建樹。為此，他首次研究了非穩態的雙曲型Faddeev方程，提出了角向-徑向異性的廣義能量積分方法，利用非線性項滿足零條件的性質，克服了諸多困難，成功得到了小初值經典解的整體適定性。2017年，在《波映照理論及相關幾何問題導論》（An Introduction to the Theory of Wave Maps and Related Geometric Problems）中，作者在對比了一系列研究成果，把周憶及其合作者的工作評價為是這方面最引人注目的4項成果之一。“……Lei-Lin-Zhou的證明依賴于龐加萊群的無窮小生成元，這使得他們既得到了解的能量估計，又得到了解的時間衰減估計。我們相信該方法對非線性方程特別是擬線性方程是相當強有力的……”書中這樣寫道。

數學“著迷者”

從一個個懸而未決的問題中，找到突破口，建立自己的研究特色——年復一年，這成為周憶重復率最高的“動作”。每一個新的進展，都會令他心底的成就感增厚一分。努瓦列斯說：“數學家本質上是個著迷者，不迷就沒有數學。”“著迷”，正好是周憶的狀態，用他的話說，某一項具體的問題也許會有句號，但數學沒有，數學世界以其廣闊無垠吸引著他，讓他數十年徜徉不疲。

至今，周憶已發表100余篇論文，他引累計千余次。其合作科研成果曾獲1992年度國家教委科技進步獎一等獎（第五獲獎人）、1997年度國家自然科學獎三等獎（第二獲獎人）、2011年度全國高等學校科學研究優秀成果獎自然科學獎一等獎（第一獲獎人）。周憶本人也曾獲評上海市領軍人才、長江學者特聘教授等榮譽。

“我在他那里學到的一個最大的本事就是看問題。當你看清問題的實質之后，你也就能知道，即便是很有名的人，他的工作做得到底好不好，他做不到的地方你到底能不能做到。這是一個很自然的思路，它行不通時，你就要想怎樣才能做到，這時才會促成原創。”“非線性波動方程解的適定性”項目第二完成人雷震在談及他的導師周憶時如此說道。

雷震是周憶指導的第一位博士生，師生倆結緣近20年。雷震曾提出“強零條件”概念，獨立證明了二維不可壓彈性力學方程平衡態附近經典解的整體存在性，并在不可壓縮的Navier-Stokes方程、高維非線性波動方程及其精確邊界能控性理論等研究領域取得了國際領先的成果。時至今日，從前的博士生已成為國家杰出青年科學基金的獲得者，有著“萬人計劃”領軍人才、青年長江學者等諸多榮譽，并擔任復旦大學數學科學學院副院長。

同周憶保持著緊密聯系的學生不止雷震一個。事實上，畢業后還參與周憶的學術討論班，已經成為他們的常態。在學生們眼里，周憶講課詼諧幽默、深入淺出。在課堂上，他經常用一些生動貼切的例子，拉近學生們同數學之間的距離。他也不吝于夸獎和鼓勵學生。“這與我個人經歷有關。”周憶說。來自高中數學老師的肯定，成了他日后選擇數學為專業的重要動力之一；后來的求學過程中，他也常常因為解出了題目，受到導師李大潛先生的表揚。他認為，對一個剛剛踏入數學世界的年輕人來說，這是一個重塑信心的過程。

到2019年9月，周憶56歲。雖然嘴上也會笑著說老了，但他的表現卻并沒有當真。“Bourgain教授不喜歡白天工作，每天晚上都會靜下心來鉆研，哪怕是獲得菲爾茲獎以后也沒有放松，他之后的成果甚至超過了當年獲得菲爾茲獎的工作。我的導師李大潛先生今年也已經82歲了，他仍每天堅持來學校做研究。”以兩位導師為榜樣，周憶的勤奮已經成為他的習慣，并潛移默化地傳給了他的學生。

“人言數無味，我道味無窮。良師多啟發，珍本富精蘊。解題豈一法，尋思求百通。幸得桑梓教，終生為動容。”谷超豪先生的這首舊作十分貼近周憶的心態。他一直都在數學世界尋求更優的解法，用他的話說，時間久了，總是能涉獵不同的問題，比如有段時間，他就在鉆研千禧年大獎難題之一的Navier-Stokes方程問題。“但不論如何，波動方程是我的老本行，肯定不會放棄”。當被問到對未來的打算時，這位數學人老老實實地說：“肯定是永遠想下一篇論文展現的結果比上一篇更好。”

與在讀學生合影