創新量綱分析重導玻爾模型能級公式

鄧崇林

(獨立研究員)

1 背景

目前量綱分析的通行手法為白金漢Π定理(簡稱Π定理)[1]與瑞利法[2]，或兩者混用。由于許多重要物理常數本身是無量綱的量，因此在找尋無量綱量時，通常會用Π定理先行估算[3]，然而它是一種單向思考的手法，并沒有考量到反過來的情況，這樣就自我設限不夠全面。物理學中有負電子也有正電子，數學中有函數，也要有反函數，為何量綱分析中不能有反向操作手法？于是有了填補空間，也就是在主要思惟邏輯上，以無量綱量為基礎，逆向思考它是怎么得來的，這也就成了本研究自創手法的骨干精髓。本研究是針對氫原子物理進行案例探討，因此會受限于此，但方法并不受限。

本文將介紹一套自創手法：隱因還原比例法，這是無量綱分析的逆向思考創新手法。接著是兩個補充概念，一是先求得一個無量綱量，再轉成我們要的特征組合物理量，以作后續進一步分析之用；二是由物理特性與物理圖像來主導整個量綱分析，而非遷就于量綱分析的方法論。為此，就得搭配三項物理特性。第一項物理特性：原子激發不連續光譜線只與原子的內蘊物理量有關，無論原子體量大小、距離遠近、吸收放射等種種差異因素，內蘊物理量皆不受其影響，因其根源是來自系統內部；第二項物理特性：原子不連續光譜線波長就是此一內蘊物理量的特定表征，因為對物理系統的光譜波長描述畢竟只能來自系統內部；第三項物理特性：光量子化。

另考察量綱分析應用于原子物理中的情況，普遍是針對片面問題進行估算，難見將一體系問題經不同量綱分析過關斬將，最終撥云見日解決疑難，這也是本文要展現的企圖，希望能夠做到。

2 創新隱因還原比例法介紹

當手上只有實驗測得的光譜線波長數據，如想據此建立光譜波長經驗方程，若按現在的Π定理來看，只觀測到波長且不清楚系統還會涉及到哪些物理量，而光譜線波長就只有一個基本量(L)，Π定理無從建立無量綱的量，遑論建立光譜線波長之間的關系式。本研究就是為了解決這類問題，特創建新的量綱分析手法，能在實驗數據受限之下，找出物理系統的內蘊物理量，至于何謂內蘊物理量，這里要先給出定義。對于一特定物理系統而言，內蘊物理量是由一些與系統相關的物理基本常數所組成，且構成該系統獨一無二的特性。內蘊物理量幾乎不受系統外在因素影響，因其根源是來自系統內部，而此一內蘊物理量當會反映到此系統的特定表征，因為對物理系統的描述畢竟只能來自系統內部。例如，無量綱常數往往會是個內蘊物理量，精細結構常數就是典型例子，它是由電子電荷、真空介電常數、普朗克常數、真空中的光速等物理基本常數所組成。但這不表示所有無量綱量在“物理上是有意義”的，譬如本研究所找出的無量綱的量，在物理上都沒有意義，卻能當成跳板，可借其轉到想要解決的問題上，也就是前面提到的補充概念之一：先求得一個無量綱量，再轉成我們要的特征組合物理量。

無量綱(dimensionless)的觀念在量綱分析中是非常重要的，量綱平衡背后的思維邏輯也是基于無量綱，正是所謂無量綱化(nondimensionalization) 之根據。由于光譜線波長就只有一個長度基本量，按Π定理就無從建立無量綱的量，遑論建立光譜線波長之間的關系式。其實要制造出無量綱的量非常簡單，只要將不同波長相除就是了，但也沒見著光譜線相關的內蘊物理量，如同拿籃子打水，白忙一場，真的是這樣嗎？這倒未必，這里就是要補充量綱分析，運用無量綱量概念，讓不同波長相除，不但不會白忙，還能凸顯出其內蘊物理量。這就是本研究已探明的隱因還原比例法，顧名思義，就是讓原來兩兩相除被約分隱藏不見的因子，還原顯露其本性介紹。

就一原子光譜線系統，為求出經驗方程式λ=f(λ,K)，其中λ為已知波長而K為未知量，如果系統符合第一項物理特性，則可令K是個不為零的內蘊物理量，那么按第二項物理特性，則存在有函數形式f(λ,K)=Kf(λ)，如觀測得知最少有3個物理量：

那么可運用前面提到的補充概念之一，先求得一個無量綱量，再轉成能凸顯內蘊物理量的特征組合分數形式比例項，也就是先把不同波長相除，再列出下列關系式：

對照上述兩行分立右等號兩邊的兩個分數形式比例項的乘積，呈現出一對對小括號比例因子的乘積，很容易發現分立右等號兩邊的各前項乘數都長得一模一樣，也就是找到了一個共同形式a/K=(分數形式無量綱量常數a)，并將右等號兩邊兩兩比例項目一一對應從中找出下列關系式：

上述這些公式中只有參數K是個未知數，其他都是已知數值，而且各項公式之形式都是一元一次方程式，這是最容易求解的。求出參數K之后，可以再列出λ=Kf(λ)=分數形式比例項，在運用數字技巧將分數形式比例項的規律找出來，于是得到經驗方程式λ=K×(有規律的分數形式比例項)，此時，K與λ有著相同的量綱。注意，嚴格來講，目前按本方法找到的K值，只算是一個共同因子，并不保證是個內蘊物理量，這還要進一步分析與確認。

3 以創新法找出氫原子光譜線的規律

方法有了，接著就是操練時刻，本節將針對氫原子物理進行案例練習。其實這部分已于前一篇“以簡明物理法重新發現巴耳末公式”[4]的研究報告中詳細說明，此處細節就不再重復，如欲了解詳情，敬請參考該文獻[4]。不過為了考量邏輯推理的連貫性，這里還是要做個重點交代，該文利用紅、青綠、青、藍、紫等總共五色氫原子光譜譜線波長，照前述介紹的隱因還原比例法，按部就班就能找到一個共同因子，也就是巴耳末基數，然后經過一些變換，就得出里德伯公式：

(1)

由于按隱因還原比例法所找到的是一個共同因子，后續還要進一步確認是否為內蘊物理量。

4 以Π定理算出氫原子玻爾半徑

此前所推得的里德伯常數R的數值，是可經由實驗方式測得其值，可是只能確認它是一個屬于氫原子光譜之共同因子。目前，雖不清楚它是由哪些基本物理常數所構成，卻可以先從里德伯常數具有長度的量綱[1/R]=L開始著眼，猜想光譜線體系是有內蘊長度的。因此，本單元將以Π定理[1]揭露與此相關的內蘊物理量。在原子物理學中常采用國際MKSA(米、千克、秒、安培)的電磁學單位制，因此會有4個基本量綱：長度[L]、質量[M]、時間[T]、電流[I]。原子物理中的基本常數有電子靜止質量me、電子電荷量e、光速c、真空介電常數ε0、約化普朗克常數，而組合常數就是由基本物理常數優化組合而成的，例如e2/(4πε0)。這些組合常數總是嚴格地以相同的形式出現在物理定律和方程中，有簡明的量綱和物理意義，善用原子物理中組合常數的特點，能使問題的分析簡便、快捷，而且各個物理量間的關系也非常清楚[5]。此處改選取CGS單位制的質量[M]、長度[L]、時間[T]3個基本量綱，外加考量原子物理中的基本常數與組合常數，則不只能減少基本量綱數目，還可以讓量綱分析過程的物理圖像更加清晰，現在就氫原子中一個電子受庫侖力吸引繞著以原子核為中心在半經r處做圓周運動來進行量綱分析。首先考量氫原子中電子與原子核之間的靜電相互作用勢能：

(2)

現就上述勢能公式(2)中找出一些有興趣的物理量考量海森伯不確定度關系，并按照它們與基本量綱之間的關系式導出下列分析所需的各種量綱式：

前面已推測光譜線體系是有內蘊長度的，而半經的量綱恰好吻合，所以設r=F(ke2,,me)，使得量綱關系式為[r]=(Π)[ke2]a[]b[me]c，其中Π是個無量綱量，而a,b,c分別是導出量相對應的量綱指數，于是整理列出量綱表如下：

量綱表ke2 merM1110L3201T-2-100

解代數方程組過程如下：

求解之后，根據Π定理可以寫出半徑的量綱關系式[r]=(Π)[ke2]-1[]2[me]-1，從而得到一個無量綱量：

無量綱量

(3)

現回頭考量式(2)由庫侖力產生的勢能，半徑趨近于零則會導致負無窮大的勢能產生，這是不可能的。因此，合理的推斷其半徑有個下限并定為r0，再套用前面式(3)的無量綱量并可移項轉為：

待定常數

(4)

由于r0已經是個下限值，若待定常數Γ1小于1會導致r0的值變得更小，這與先前的推斷產生了矛盾。為了保持系統的自恰性，因此，待定常數Γ1的最小極值就只能是等于1，因此得到明確的氫原子中最小電子軌道半徑，其物理基本常數組成竟然與玻爾氫原子模型推得的玻爾半徑一模一樣，其關系式表征如下：

玻爾半徑

(5)

費曼運用普朗克常數特性所做的估算，居然與之前量綱分析合并使用自恰性所得式(5)有著相同結論，此情況就好像黑體輻射的頻譜函數是引入普朗克常數之后，才自恰地有了正確形式。由此可聯想到，在描述微小尺度的世界，物理理論如要自恰，就會與普朗克常數密不可分，然而有關普朗克常數的很多秘密，當今物理學家還沒有完全明白，這已是題外話了。

5 以瑞利法定出氫原子基態能量

前一節推導得出氫原子中電子運行的最小電子軌道的玻爾半徑，但還是沒能揭露里德伯常數的內蘊物理量，下一步呢？惠子曰：“以其所知諭其所不知而使人知之”，在所知最小半徑軌道的電子身上，或許可以猜想到下一個線索。于是接著問，那么其最小能量不知幾何？一般運用Π定理是想求出對系統分析有意義的常數，但應注意式(3)無量綱量卻是個與半徑有關的變量，由于我們是在探討此一系統的內蘊物理量，而式(3)無量綱量中的r并不是常數，因此把它剔除，這樣就符合本研究的第一項物理特性條件要求。此時，由于式(3)少了半徑，這相當于是把式(3)的無量綱量乘上一個波數物理量，恰好變成一個具波數物理量的內蘊物理量，也就成了我們要找的系統特征組合物理量，其量綱乃等于里德伯常數的波數量綱。于是該特征組合物理量也會有著里德伯常數的內蘊作用，即是會按本研究的第二項物理特性來運作，因而這個特征組合物理量會伴隨在氫原子所發射的光波當中。所以，該光波所具有的能量E會是由上述式(3)無量綱量中除開半徑以外的其他3種不同導出量所組成，也就是E=f(,ke2,me)，這樣就能以瑞利法[2]進行分析。然而此時的量綱與能量的量綱是不一致的，接著就要進行量綱一致化計算。首先針對這些導出量分別設置相對應的量綱指數為x,y,z，并存在一個未知比例系數Γ，使得能量E與這些導出量的函數關系式如下：

(6)

可以從上述式(6)得到能量的量綱式為：

[E]=ML2T-2=(MxL2xT-x)(MyL3yT-2y)(Mz)

就量綱的一致性對照上式不同基本量綱中已知與未知之間的量綱關系，可分別找出下列聯立方程組：

對上述代數方程組求解，可得3個量綱指數分別為x=-2,y=2,z=1，再把它們代回到式(6)，使得能量E與這些導出量的函數關系式如下：

(7)

現在假設一種能量轉換情況，就是將最小半徑靜電勢能轉成光譜線的能量，于是就有下列關系式：

(8)

將式(5)的玻爾半徑代入到上式，可以得到Γ′=1。以上只是猜測，要經實驗加已證實才行，而里德伯常數是個可測得的物理量，只要兩者數值近乎相等，就能決定式(7)中的正確比例系數Γ。如果將前述猜測得到Γ′=1代入到式(7)，并計算相關物理基本常數值，會發現此理論計算值會是里德伯常數測量值的兩倍大，于是要改成Γ=1/2后再次代入到式(7)，這時新計算所得理論值就會和里德伯常數測量值相當，如此就能得到正確的最小能量：

(9)

前述理論值與測量值的計算與核對工作細節，請參閱文獻[4]，這里不再贅述。以上得到里德伯常數背后的最小能量，或叫基態能量，它與玻爾半徑式(5)的關系可算得為

(10)

6 用基態能量推導出里德伯常數的內蘊物理量

由于里德伯常數的量綱是波長λ的倒數，又按本研究的第三項光量子化特性要求，此光量子能量為E=hf，其中f為其頻率，還要與前一節得到的基態能量式(9)關聯起來，于是能導出由多個物理基本常數實際構成的里德伯常數：

(11)

至此，才得以證明在前面第三節里按隱因還原比例法所找到共同因子，也就是里德伯常數。它真的是此物理系統的內蘊物理量，同時也完全揭露該內蘊物理量的本質內涵，與玻爾理論所推得的形式及內涵完全一致。

7 綜合推導出玻爾模型能級公式

有了前面經不同量綱分析手法取得的成果，就不難推導出玻爾理論的能級公式。首先考量在氫原子受激發射的光波具有的光子能量，當遵守式(1)的里德伯經驗公式，但兩者量綱不一致，因此要將式(1)的里德伯公式按本研究的第三項光量子特性來進行轉換，得到電子從m能級躍遷至n能級(按經驗公式只能做這樣描述)所釋放的光子能量計算如下：

由于氫原子中電子與原子核之間的靜電相互作用勢能在軌道半徑為無窮大時為零，如今考量體系的自恰性，即在n→∞情形下有En→0，那么上式就要改成下列關系式：

(12)

式(12)中的氫原子的能級n的能量為

(13)

如將式(9)代入式(13)并取最小能級n=1，可算得氫原子的基態能量

將上式計算結果代回到式(13)就得到玻爾氫原子模型的能級公式如下：

(n=正整數)

(14)

式(14)說明n=1的電子軌道最接近原子核，其半徑最小，是能量最低的能級，稱為基態；n值越大的軌道，離原子核越遠，半徑越大，能級的能量越高，這是因電子接受外加能量而改變自身狀態，稱為激發態，也就是氫原子處在正常狀態時，在能級上的電子不產生光譜，只有在電子躍遷時才發生能級變化而發射或吸收光譜。當中如電子由較高能級降回較低能級之能量，會放出光子能量，形成發射光譜；反之則是吸收光譜，這里要特別注意，前述能量變化須遵守式(12)規律以解釋氫原子光譜，換言之，能量變化是離散的，這導致發射或吸收呈現不連續譜線。

8 結語

論證推導至此，完全用不同量綱分析手法、自恰性與實驗數據，就完成從單純波長數據一路到證得玻爾模型能級公式的征程，前后都沒用玻爾理論的結果來決定量綱分析過程產生的待定系數(這是必須的)，全程完全獨立于玻爾模型(否則就犯了如同用余弦定理證明勾股定理的錯誤)，并展現迥異于玻爾模型的物理圖像。

如果針對原子物理想多做量綱分析方面練習，可參考文獻[7]之類的資源，方法其實是容易學的，然而難點通常是不知怎么應用。主要原因是做練習時，題目是人家設定好的特定對象，反倒是當自己面對真實課題時，連如何選對象、怎么找相關物理量都會覺得無從下手，心一慌就忘了許多物理發現其實是從“猜”開始的，其中有名又有意思的例子，當屬費曼在其諾貝爾獎演講[8]里提到他與德國教授Herbert Jehle討論一篇狄拉克的論文，費曼根據對狄拉克表達意思的猜想，居然當場用拉格朗日力學的作用量推出了薛定諤方程式，瞬時讓Jehle教授瞠目結舌并趕緊抄錄筆記。“猜”字訣自有其物理史淵源，實際問題的量綱分析也不例外，本文也適度保留“猜”的原味，但不是亂猜，要有所本，也不一定要讓自己信服，就是拿出行動做做看，有時歪打誤撞給蒙到也說不定。又由于量綱分析的數學模型本身是有局限的、不徹底的，因此必須用實驗數據、物理特性與物理圖像交叉核實，總之，應該是由物理特性與物理圖像來主導整個量綱分析，而非遷就于量綱分析的方法論，這是本文嘗試呈現的另一個補充概念。希望借由此一整體連貫的量綱分析，凸顯出一般書籍對量綱分析沒能傳達的重點與知識，而不是止步于方法規范與公式推算。