重視矢量場定理在電磁場理論教學中的應用

李長勝 周 震 馮麗爽

(北京航空航天大學儀器科學光電工程學院，北京 100083)

“電磁場理論”或“電磁場與電磁波”是目前理工科電氣、電子、通信以及光電信息科學與工程等專業本科生的重要基礎課，理科物理專業本科生對應的類似課程為“電磁學”和“電動力學”。由于電磁場理論的抽象性，本課程普遍被認為是一門難教、難學的課程[1-3]。為了使學生學好這門課程，許多文獻提出了各種有針對性的方法，以增強本課程的教學效果、降低教學難度。例如：(1)選擇合適的教材和采用合理的教學方式[1]；(2)利用幾何圖形以及電磁場仿真圖形和動畫技術，采用形象化的教學方式幫助學生理解電磁場的概念和規律[4]；(3)加強實驗課和實踐課的教學環節[5]；(4)歸納總結電磁場的對稱性和對偶性特點[6, 7]；(5)采用類比教學法，例如：將矢量場類比為流體中的流速場[8]；研究利用電磁力與慣性力的相似性[9]；(6)重視電磁場與電磁波的理論知識在各個領域中的應用，關注電磁學相關物理效應的教學，激發學生的學習興趣[10]等。

矢量分析和場論是電磁場理論課程中的核心基礎內容，有的工科院校將其單獨開設為一門數學基礎課程[11]，其主要內容包括標量場的梯度，矢量場的通量、環量、散度、旋度等基本概念，以及散度定理、斯托克斯定理和亥姆霍茲定理等基本矢量場定理。這些基本概念和定理提供了后續電磁場與電磁波課程內容的數學基礎和“場”的基本思想，因而通常出現在相關教材的第一章[12-16]。

關于矢量分析和場論與本課程教學之間的關系，已有一些文獻進行了相關分析和討論，例如：文獻[17]討論了矢量分析在物理規律中的應用；文獻[3]和[18]討論了幾何圖形及矢量圖分析在電磁場教學中的應用；文獻[19]提出在電磁學教學中應強調“場”的物理思想和體系；文獻[20]認為電場線的兩大性質是靜電場兩大定理(即高斯定理和環路定理)的形象表述；等等。但目前尚未見有文獻分析和討論矢量分析和場論基礎，特別是典型矢量場定理在電磁場理論課程教學中的重要作用。

本文在討論場論基礎知識與電磁場理論課程內容之間關聯關系的基礎上，提出在“電磁場理論”課程教學中應充分重視矢量場定理的普遍應用，從而可以幫助學生理解和掌握本課程內容，有效降低本課程的教學難度，提高教學效率。

1 場論基礎與電磁場理論的關系

場是一種特殊的物質形態，是物理學中最基本、最重要的研究對象之一。“場”的概念和思想貫穿于物理科學發展的始終，在宏觀、微觀物理，尤其是近代物理中，均離不開“場”的思想，包括引力場、流體場、電磁場以及場的量子理論和規范場等[21]；場論既是物理學，也是數學的重要組成部分和研究對象[11]。場論基礎知識提供了上述各種形態物理場的一般概念和基本規律，它描述了各種物理場均具有的共同屬性，因此學好矢量分析和場論基礎知識，正確理解和掌握“場”的一般概念、思想、規律及其數學表述，將有助于降低電磁場理論課程學習的難度，對于本課程教學具有重要指導意義。

電磁場是典型物理場之一，因而電磁場理論與場論之間是“特殊與一般”的關系。實際上，電磁場理論中的諸多概念和定理均是根據場論基礎知識來定義和推導得出的，例如：利用標量梯度的概念描述電位與電場之間的關系；利用矢量場的散度和旋度描述電場、磁場與其場源之間的關系；利用散度定理和斯托克斯定理，可以將麥克斯韋方程的微分形式轉換為積分形式，等等[12-16]。

因此在電磁場理論課程教學過程中，應充分重視矢量分析與場論基礎知識的普遍應用，善于利用場論基礎中的一般概念和定理分析、理解和掌握電磁場理論，以便降低本課程的教學難度，提高教學效率。

2 矢量場定理在電磁場理論中的應用

矢量場F的散度是為了描述F在空間某點M附近的通量特性而引入的，它定義為點M處單位體積內散發出來的矢量F的通量，即該點的通量源密度，其定義式為[12]

(1)

式中S為包圍點M的任意閉合曲面，ΔV為S所限定的體積。

矢量場F的旋度是為了描述F在空間某點M附近的環流(量)特性而引入的，其大小等于該點處環流面密度的最大值，其方向是使環流面密度取得最大值的面元法線方向，其定義式為[12]

(2)

式中ΔS為經過點M的面元，C為ΔS的邊界閉合路徑，en為面元ΔS的正法線單位矢量。可見，點M處矢量場的旋度即是該點的漩渦源密度。

電磁場是一種典型的矢量場，矢量場的散度和旋度的概念始終貫穿于電磁場理論課程教學之中，例如：描述電磁場運動變化規律的麥克斯韋方程組是由電磁場量的兩個旋度方程和兩個散度方程組成的，因而可以利用電場、磁場的散度和旋度運算求解其場源；同時表明在無界、自由空間中的矢量場可以完全由其散度和旋度確定，這也是亥姆霍茲定理的核心內容。

矢量場的基本定理主要包括散度定理、斯托克斯定理和亥姆霍茲定理，這3個定理在電磁場理論中得到普遍應用；在教學過程中，要求學生深刻理解并熟練應用這些基本定理，將有利于學生順利地理解和掌握電磁場理論中的有關概念、規律和分析方法，從而提高本課程的學習效率。

2.1 散度定理的應用實例

根據散度定理，矢量場F的散度·F在體積V內的體積分等于該矢量場在限定該體積的閉合面S上的面積分[12]，即

(3)

散度定理的典型應用實例主要包括：

(1) 靜電場高斯定理與穩恒磁場磁通連續性[12]。可以利用散度定理將上述定理的微分形式轉換為積分形式。在電通密度(或電位移)矢量為D的場域內任意取一閉合曲面S，S所包圍的區域體積為V，S內的自由電荷體密度為ρv，已知靜電場高斯定理(麥克斯韋第四方程)的微分形式為

·D=ρv

(4)

對式(4)兩邊取體積分，并利用散度定理即可得出靜電場高斯定理的積分形式，即

(5)

式中Qv為體積V內的自由電荷總量。

穩恒磁場是有旋無散場，即對于磁通密度矢量為B的任意閉合曲面S內任意一點，有

·B=0

(6)

對式(6)兩邊取體積分并利用散度定理可得

(7)

上式即為穩恒磁場磁通連續性定理(麥克斯韋第三方程)的積分形式。

(2) 電流連續性方程與基爾霍夫電流定律[12,16]。利用散度定理，可以根據電流連續性方程的積分形式推導出其對應的微分形式。設某閉合面S所限定的體積V不隨時間變化，且該區域內自由電荷體密度為ρv、傳導電流體密度為Jc，則電流連續性方程的積分形式為

(8)

(9)

由于體積V是任意的，故根據式(9)可得出電流連續性方程的微分形式，即

(10)

此外，將式(5)代入式(8)等號右邊，并利用散度定理可得，

(11)

式中Jd和Id分別為位移電流密度和位移電流。式(8)等號左邊為流入和流出閉合面S的所有傳導電流的總和，即

(12)

式中Ic為傳導電流。將式(11)、(12)代入式(8)可得基爾霍夫電流定律，即

(13)

式中Ij為傳導電流或位移電流。

(3) 坡印廷定理[12]。假設空間中閉合曲面S所限定空間場域V內的電場、磁場、電通密度、磁通密度矢量分別為E、H、D、B，電流密度矢量為J，則根據麥克斯韋方程組中的兩個旋度方程，以及矢量恒等式·(E×H)=H·(×E)-E·(×H)可得，

(14)

式中w=(H·B+E·D)/2為電磁場的能量密度，對式(14)兩邊取體積分并利用散度定理可得坡印廷定理的積分形式，即

(15)

(4) 電磁場的動量守恒與轉化定理[22]。假設介質中電磁場的動量密度矢量定義為

gem=D×B

(16)

動量流密度張量(或電磁應力張量)定義為

Jg=0.5(D·E+B·H)l-DE-BH

(17)

式中l為二階單位張量，Jg為二階對稱張量，電磁場對自由電荷密度為ρ、恒定電流密度為j的靜止帶電系統的洛倫茲力密度為

f=ρE+j×E

(18)

則電磁場動量守恒與轉化定理的微分形式為

(19)

對式(19)兩邊取體積分并利用散度定理可得該定理相應的積分形式為

(20)

(21)

上式等號左邊表示體積V內所有帶電體的機械動量和電磁動量之和的時間變化率，等號右邊表示該體積表面所受的總的面積力[23]。

(5) 電磁場的角動量守恒與轉化定理[22]。假設電磁場的角動量密度矢量為

l=r×gem=r×(D×B)

(22)

式中,r為場點位置矢量，角動量流密度張量為

Jl=-Jg×r

(23)

則在各向同性介質中，電磁場的角動量守恒與轉化定理的微分形式為

(24)

對式(24)兩邊取體積分并利用散度定理可得該定理相應的積分形式為

(25)

等號右邊的體積分表示單位時間內場域V中總機械角動量(r×gm)的變化量。

2.2 斯托克斯定理的應用實例

根據斯托克斯定理，矢量場F的旋度F在曲面S上的面積分等于該矢量場在限定曲面S的閉合曲線C上的線積分[12]，即

(26)

斯托克斯定理的典型應用實例主要包括：

(1) 麥克斯韋第一、第二方程[12]。麥克斯韋第一方程(即安培環路定理)的微分形式為

(27)

對式(27)兩邊取面積分并利用斯托克斯定理可得對應的積分形式，即

(28)

麥克斯韋第二方程(即法拉第電磁感應定律)的微分形式為

(29)

對式(29)兩邊取面積分并利用斯托克斯定理可得對應的積分形式，即

(30)

(2) 磁通量的計算式[12]。根據磁通密度B與矢量磁位A之間的關系式B=×A和斯托克斯定理可得利用A計算磁通量Φ的公式，即

(31)

此外，根據式(30)、(31)和斯托克斯定理，可以推導出基爾霍夫電壓定律[16]。

2.3 亥姆霍茲定理的應用實例

根據亥姆霍茲定理，若矢量場F在某閉合面S所限定的有限空間區域V內處處單值，且其導數連續、有界，場源分布在區域V內，則該矢量場由其散度、旋度及其邊界條件唯一確定，且矢量場F(r)可表示為標量場u(r)的梯度的負值與另一矢量場A(r)的旋度之和[15]，即

F(r)=-u(r)+×A(r)

(32)

式中u(r)和A(r)的表達式分別為

式中r、r′分別為場點、源點的位置矢量。

亥姆霍茲定理的核心內容是自由空間矢量場完全由其散度和旋度確定，這可以用來詮釋和理解為什么4個麥克斯韋方程組是關于電場強度和磁感應強度的散度和旋度的。許多文獻分析討論了亥姆霍茲定理在電磁場理論中的應用，例如：文獻[24]從亥姆霍茲定理出發, 闡明了電位移與場源之間的內在聯系。文獻[25]討論了該定理在電磁場理論中的貫穿作用，認為根據亥姆霍茲定理，可以由麥克斯韋方程組自然地引出標量電位和矢量磁位，并可方便地導出庫侖定律或畢奧-薩伐爾定律，以及位函數與場在自由空間的積分表達式。

此外，文獻[26]討論了亥姆霍茲定理在求解靜電場邊值問題中的應用，可由亥姆霍茲定理直接導出靜電場電位邊值問題的一般積分解表達式，其推導過程簡單明了。文獻[27]從亥姆霍茲定理出發，合理導出靜態與時變電磁場問題求解所需要的基本方程，并基于不同類型電磁場的特性給出對應的定解條件；由于靜態和時變電磁場的不同特性，其所要求的邊界條件有所減弱，即根據靜電場的無旋性，其邊界條件只需給定電場的法向分量，根據恒定磁場的無散性，其邊界條件只需給定磁場的切向分量，對于時變電磁場，由于電場與磁場的相互耦合，邊界條件只需給定電場或者磁場的切向分量。

3 結語

高斯定理是矢量場中閉合曲面積分與其所限定區域的體積分之間的一個變換關系；斯托克斯定理是矢量場中的閉合曲線積分與其所圍曲面積分之間的一個變換關系；亥姆霍茲定理表明，一個矢量場所具有的性質可由其散度和旋度來描述，上述應用實例表明，這些矢量場定理普遍存在并始終貫穿于“電磁場理論”課程的諸多內容之中，因此在“電磁場理論”課程教學中應充分重視這些矢量分析與場論基礎知識的廣泛應用。

在多年的電磁場理論課程教學實踐過程中，通過在緒論課及場論基礎課中提醒學生重視上述矢量場定理的學習，并在后續課堂教學中提醒學生學會靈活運用上述場論基本概念、矢量場定理分析和理解電磁場理論，可以使學生更易于理解和掌握所學電磁場理論，做到融會貫通，從而可以有效降低本課程教學與學習的難度、提高教學效率。