從認(rèn)知語(yǔ)義學(xué)的視角看數(shù)學(xué)方法在物理學(xué)中的應(yīng)用

賈光一 劉玉環(huán) 張靖雯 龔 潔 霍亦琦

(天津商業(yè)大學(xué)理學(xué)院，天津 300134)

大學(xué)所學(xué)的數(shù)學(xué)方法不只是一種工具，還應(yīng)該是對(duì)自然規(guī)律、物理現(xiàn)象的歸納與概括，更應(yīng)該是一種對(duì)科學(xué)思維的訓(xùn)練。但是對(duì)于物理教師來(lái)說(shuō)，將數(shù)學(xué)方法融入物理教學(xué)中并不是一件容易的事。要想實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)方法助益于物理教學(xué)的目的，需要搞清楚物理學(xué)中的數(shù)學(xué)與純數(shù)學(xué)的不同、學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和物理的認(rèn)知過(guò)程，需要在教學(xué)過(guò)程中幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)方法在物理學(xué)中的意義建構(gòu)，從而將數(shù)學(xué)方法合理地融入而非簡(jiǎn)單地加入進(jìn)物理教學(xué)中。

1 物理學(xué)中的數(shù)學(xué)不同于純數(shù)學(xué)

案例1： 調(diào)查對(duì)象：大學(xué)一年級(jí)第二學(xué)期數(shù)學(xué)和物理學(xué)專業(yè)本科生；調(diào)查方式：?jiǎn)柧碚{(diào)查。

問(wèn)題： 請(qǐng)根據(jù)函數(shù)E(x,y,z)=1/(4πε0)·Q/(x2+y2+z2)給出E(r,θ,φ)的表達(dá)式。

我們發(fā)現(xiàn)，物理學(xué)專業(yè)的很多學(xué)生會(huì)直接給出E=1/(4πε0)·Q/r2(A同學(xué))；對(duì)于數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，有人會(huì)給出E=1/(4πε0)·Q/[(rsinθcosφ)2+ (rsinθsinφ)2+(rcosθ)2]=1/(4πε0)·Q/r2(B同學(xué))，也有同學(xué)會(huì)給出E=1/(4πε0)·Q/(r2+θ2+φ2)(C同學(xué))。盡管A同學(xué)和B同學(xué)得到的最終結(jié)果是一樣的，但經(jīng)過(guò)詢問(wèn)得知，A同學(xué)認(rèn)為，題目中的公式可以理解為位于坐標(biāo)原點(diǎn)位置處點(diǎn)電荷Q在空間某位置電場(chǎng)強(qiáng)度E的計(jì)算公式，E只與距離r有關(guān)。

該案例說(shuō)明，物理學(xué)專業(yè)的學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)通常賦予數(shù)學(xué)符號(hào)于物理意義，看到公式后認(rèn)為E和Q分別表示電場(chǎng)強(qiáng)度和電荷量，所以會(huì)直接給出E和r的物理關(guān)系；數(shù)學(xué)專業(yè)的B同學(xué)在解決問(wèn)題時(shí)采用的是邏輯推斷，想到的是直角坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)坐標(biāo)變換得到E和r的數(shù)學(xué)關(guān)系；數(shù)學(xué)專業(yè)的C同學(xué)認(rèn)為x,y,z以及r,θ,φ均為虛擬變量，是互相獨(dú)立的、不具有任何物理意義的數(shù)學(xué)變量，所以會(huì)在函數(shù)關(guān)系中直接進(jìn)行數(shù)學(xué)符號(hào)的替換。

除了對(duì)數(shù)學(xué)字母或符號(hào)的認(rèn)識(shí)不同，數(shù)學(xué)和物理在正負(fù)號(hào)的分析上也會(huì)大不一樣。在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，數(shù)學(xué)中一般認(rèn)為正數(shù)大于負(fù)數(shù)，但是在不同的物理問(wèn)題中正負(fù)號(hào)有著不同的物理意義，而不是用來(lái)表示數(shù)值大小，例如，力、位移、電場(chǎng)強(qiáng)度等物理矢量，其正負(fù)號(hào)的變化僅意味著它們的方向與事先選定的坐標(biāo)軸正方向相同或相反；在熱量前面加正負(fù)號(hào)是為了區(qū)分一個(gè)熱力學(xué)系統(tǒng)從外界吸收熱量還是向外界釋放熱量；在法拉第電磁感應(yīng)定律ε=-dΦ/dt中，負(fù)號(hào)表示感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)ε總是與磁通量Φ變化的方向相反等。

此外，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者與物理學(xué)習(xí)者還會(huì)對(duì)函數(shù)的概念及其表示方式存在差異。比如，在數(shù)學(xué)中z=xy說(shuō)明y與x成反比，y與z成正比；然而在物理學(xué)中F=qE的函數(shù)關(guān)系中，電場(chǎng)強(qiáng)度E是由電場(chǎng)本身的性質(zhì)所決定的，與試探電荷q無(wú)關(guān)，所以不能認(rèn)為E與q成反比、E與F成正比；又比如彈簧的彈力F和彈簧的形變量x成正比，即F=-kx，但k是彈簧的勁度系數(shù)，只由材料的性質(zhì)所決定，不與x成反比；類似的還有物質(zhì)的吸熱量Q與比熱容c之間的函數(shù)關(guān)系Q=cmΔT、導(dǎo)體兩端的電壓U與電阻R之間的關(guān)系U=IR，c與R均由物質(zhì)本身的性質(zhì)所決定，與其他變量無(wú)關(guān)。如果我們?cè)诘忍?hào)左側(cè)加上括號(hào)和自變量，比如Q(m,ΔT)=cmΔT，那么數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者也會(huì)認(rèn)識(shí)到c與其他變量無(wú)關(guān)，但在物理表述中，我們并不需要這么麻煩。

這些簡(jiǎn)單的實(shí)例說(shuō)明，數(shù)學(xué)方法在物理學(xué)的運(yùn)用中通常被賦予了特定的物理意義，從而助益于物理的表述與計(jì)算。但這并不意味著物理學(xué)習(xí)者就一定能看到數(shù)學(xué)符號(hào)所隱含的物理意義，如上文提到的部分物理學(xué)專業(yè)的學(xué)生不清楚行列式與矩陣在物理學(xué)中有何應(yīng)用。

2 數(shù)學(xué)方法在物理學(xué)中的意義建構(gòu)

意義建構(gòu)是學(xué)習(xí)過(guò)程的最終目標(biāo)[3]。數(shù)學(xué)方法在物理學(xué)中的意義建構(gòu)就是要幫助學(xué)生對(duì)所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)方法與物理現(xiàn)象、自然規(guī)律之間的內(nèi)在聯(lián)系達(dá)到較深刻的理解。數(shù)學(xué)能夠簡(jiǎn)潔準(zhǔn)確地表達(dá)物理概念與規(guī)律說(shuō)明其為物理的一種語(yǔ)言，“如何運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言在物理學(xué)中建構(gòu)物理意義”好比人們“如何通過(guò)生活語(yǔ)言在人類活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)認(rèn)知規(guī)律”。興起于20世紀(jì)末的認(rèn)知語(yǔ)義學(xué)在研究語(yǔ)言和人類認(rèn)知世界之間的關(guān)系時(shí)提出了具身體驗(yàn)、百科觀、語(yǔ)境等認(rèn)知機(jī)制[4]，通過(guò)大學(xué)物理的教學(xué)與研究，我們發(fā)現(xiàn)，語(yǔ)言和人類認(rèn)知世界之間的這些認(rèn)知機(jī)制可以很好地映合到數(shù)學(xué)和物理規(guī)律認(rèn)知的過(guò)程之中。

2.1 具身體驗(yàn)

具身體驗(yàn)強(qiáng)調(diào)通過(guò)身體結(jié)構(gòu)、活動(dòng)方式及其與環(huán)境的互動(dòng)體驗(yàn)而形成認(rèn)知[5]。語(yǔ)言中的“喜”“怒”“哀”“樂(lè)”可以通過(guò)人體的面部表情來(lái)認(rèn)知，嬰幼兒可以通過(guò)觀察、觸摸實(shí)物等方式來(lái)認(rèn)識(shí)“皮球”“水”“水杯”等語(yǔ)義。通過(guò)具身體驗(yàn)在物理學(xué)中認(rèn)知數(shù)學(xué)方法的物理意義，我們主要強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)和物理之間的推理與類比，它不同于物理實(shí)驗(yàn)。通過(guò)物理實(shí)驗(yàn)活動(dòng)認(rèn)知物理現(xiàn)象，強(qiáng)調(diào)的是具身體驗(yàn)在物理科學(xué)與自然世界之間的相互作用。

表1 數(shù)學(xué)中的等差數(shù)列與物理中的勻變速直線運(yùn)動(dòng)公式

2.2 百科觀

認(rèn)知語(yǔ)言學(xué)家Evans和Green明確提出意義表征具有百科性[4]。語(yǔ)義根植于語(yǔ)言使用者的百科知識(shí)體系中，應(yīng)從使用者的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、社會(huì)-文化背景知識(shí)等方面進(jìn)行多維描述；反之，語(yǔ)義的理解也取決于語(yǔ)言接受者的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、背景知識(shí)等[6]。同理，數(shù)學(xué)方法的意義建構(gòu)根植于數(shù)學(xué)“語(yǔ)言”使用者或接受者的百科體系中，使用者或接受者的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、社會(huì)-文化背景知識(shí)等方面的差異可能會(huì)令使用者或接受者為數(shù)學(xué)“語(yǔ)言”建構(gòu)不同的物理意義，且建構(gòu)過(guò)程是一個(gè)百科知識(shí)動(dòng)態(tài)應(yīng)用的過(guò)程。在下面的案例中，我們可以看到，對(duì)于同一個(gè)物理問(wèn)題，不同的學(xué)生會(huì)采用不同的數(shù)學(xué)“語(yǔ)言”進(jìn)行思考解答，反映出學(xué)生們認(rèn)知結(jié)構(gòu)、背景知識(shí)的差異性和百科性。

案例2： 調(diào)查對(duì)象：剛修完大學(xué)一年級(jí)第一學(xué)期課程的物理學(xué)專業(yè)本科生；調(diào)查方式：?jiǎn)柎稹?/p>

問(wèn)題： 質(zhì)量為M的物體在水平方向上與勁度系數(shù)為k的彈簧組成振子，以M的自然平衡位置O為坐標(biāo)軸原點(diǎn)，若物體M在水平方向由原點(diǎn)移動(dòng)至x位置處，如何求彈力對(duì)M做的功W？

B同學(xué)： 首先需要外力對(duì)這個(gè)系統(tǒng)做功，物體的機(jī)械能不變，外力做的功轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢(shì)能，外力拉物體，對(duì)物體做功，彈簧又對(duì)物體做負(fù)功，彈簧對(duì)物體做的功的負(fù)值就等于外力做的功，外力做的功的值等于彈簧的彈性勢(shì)能，等于1/2kx2。

C同學(xué)： 彈力F=kx，那么W=Fx=kx2。但是M初始狀態(tài)是在平衡位置，要想移動(dòng)至x位置應(yīng)該還得有拉力，看題意摩擦力應(yīng)該是被忽略的，這樣解好像有點(diǎn)簡(jiǎn)單了，所以我不太敢確定。(停頓)Ma=kx，W=1/2Mv2這樣解出來(lái)是總的功，老師我覺(jué)得我還得再想想，或者老師能不能給些提示？(老師：考慮力和力的方向上的位移，拉力與解題無(wú)關(guān)，想一下高等數(shù)學(xué)里的積分。)F=kx，W=力對(duì)位移的積分=1/2kx2。

E同學(xué)： 可不可以直接用F-x圖像，求面積就是做的功呀？(停頓)結(jié)果是1/2kx2？(老師：這么不自信？怎么求的？)(學(xué)生給出了下面的示意圖，并問(wèn)到：“我感覺(jué)這樣也太容易就算出來(lái)了呀，所以，我對(duì)了嗎？”)(老師：少了一個(gè)符號(hào)。)啥符號(hào)？(老師：負(fù)號(hào)。)對(duì)呦，負(fù)功。

圖1 E同學(xué)所建構(gòu)的數(shù)學(xué)“語(yǔ)言”：求三角形的面積就是彈力對(duì)M做的功

2.3 語(yǔ)境

人的大腦中儲(chǔ)存了大量有關(guān)認(rèn)知事物的百科知識(shí)，但在特定時(shí)間、特定語(yǔ)境下，認(rèn)知者只能想到有限的相關(guān)知識(shí)，例如，案例2中出現(xiàn)的各種知識(shí)概念，5位同學(xué)都學(xué)習(xí)過(guò)，但每個(gè)人想到的知識(shí)結(jié)構(gòu)不同，當(dāng)然，他們的知識(shí)結(jié)構(gòu)并非是固定不變的，在老師的提示下，學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)會(huì)發(fā)生遷移。認(rèn)知語(yǔ)義學(xué)認(rèn)為, 在外部刺激源如何被個(gè)體所認(rèn)知的過(guò)程中，語(yǔ)境至關(guān)重要[4]，我們認(rèn)為，在物理教學(xué)過(guò)程中亦是如此。在案例2中，學(xué)生們?cè)诼?lián)想外力時(shí)為什么會(huì)認(rèn)為是“拉力”而不是“推力”(x完全可以是負(fù)值)？如果我們將問(wèn)題中的“若物體M在水平方向由原點(diǎn)移動(dòng)至x位置處”改為“若物體M在水平方向由x位置處移動(dòng)至原點(diǎn)”，學(xué)生們是否還一定會(huì)想到“拉力”？再假設(shè)，如果我們不問(wèn)學(xué)生們問(wèn)題，只簡(jiǎn)單地給出一句陳述性描述“若物體M在水平方向由原點(diǎn)移動(dòng)至x位置處”，學(xué)生們是否還會(huì)潛意識(shí)里認(rèn)為x是正值？這說(shuō)明，不同的語(yǔ)境線索會(huì)使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)“x”產(chǎn)生不同的物理印象，但這種印象不一定是準(zhǔn)確的。

數(shù)學(xué)方法在物理教學(xué)中的意義建構(gòu)一般會(huì)涉及到4種基本的認(rèn)知資源[7,8]：(1)計(jì)算 (Calculation)：在算法上不附加任何物理解釋地進(jìn)行一系列的數(shù)學(xué)計(jì)算而得到認(rèn)為可信的結(jié)果。比如，老師在從d2h/dt2=-g推導(dǎo)出h=h0+v0t-1/2gt2的過(guò)程中可能不給學(xué)生講解其中的任何物理過(guò)程，讓學(xué)生們認(rèn)為數(shù)學(xué)推導(dǎo)步驟是對(duì)的，所以結(jié)果也是可信的。(2)物理圖像(Physical mapping)：一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)符號(hào)或幾何模型可以豐富地表征物理意義。比如，彈力F=-kx中的負(fù)號(hào)可以通過(guò)一種物理圖像“彈簧回復(fù)力的方向與振子位移的方向相反”得到解釋，而無(wú)需進(jìn)行任何數(shù)學(xué)上的證明。(3)權(quán)威 (Invoking authority)：通過(guò)權(quán)威性知識(shí)讓學(xué)生信服。比如，老師在講解轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的相關(guān)知識(shí)時(shí)，讓學(xué)生們直接看教材某頁(yè)的某個(gè)表格，告訴學(xué)生實(shí)心球體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I=2/5mR2，圓盤繞中心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I=1/2mR2…。(4)數(shù)學(xué)上的一致性 (Mathematical consistency)：數(shù)學(xué)方法具有一定規(guī)律性和可信性，對(duì)于不同的物理問(wèn)題，背后隱藏的數(shù)學(xué)原理可能是一致的。比如，老師在講解兩個(gè)點(diǎn)電荷之間的庫(kù)侖力 時(shí)，可能會(huì)提醒學(xué)生萬(wàn)有引力并解釋兩者之間的相似性，通過(guò)建立某種普適的數(shù)學(xué)原理讓學(xué)生相信物理問(wèn)題之間的相關(guān)性。

在對(duì)數(shù)學(xué)方法進(jìn)行物理意義建構(gòu)的過(guò)程中，還可能會(huì)受到學(xué)生經(jīng)驗(yàn)直覺(jué)和主觀情感的影響，而且在教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生的認(rèn)識(shí)論和意義建構(gòu)是一個(gè)動(dòng)態(tài)過(guò)程。Gupta和Elby的案例研究可以很好地說(shuō)明學(xué)生的認(rèn)識(shí)論和意義建構(gòu)是如何受經(jīng)驗(yàn)直覺(jué)和情感的影響而動(dòng)態(tài)變化的[9]。

案例3： 老師問(wèn)了工程系剛開(kāi)始學(xué)習(xí)物理課程的一名學(xué)生Jim一個(gè)有關(guān)水面下壓強(qiáng)的問(wèn)題。老師先給Jim一個(gè)表達(dá)式P=P0+ρgh，并在確認(rèn)Jim沒(méi)有見(jiàn)過(guò)該表達(dá)式的前提下，告訴JimP0和P分別表示水面位置處和水面下深度為h處的壓強(qiáng)，ρ和g分別為水的密度和重力加速度。然后讓Jim根據(jù)公式判斷水面下5m和7m位置處，哪個(gè)深度處的壓強(qiáng)大，或者是否相等？Jim認(rèn)為，從水面向下的方向應(yīng)為坐標(biāo)軸的負(fù)方向，所以h值均為負(fù)數(shù)，然后，Jim就陷入了各種猶豫、困惑和難以抉擇，因?yàn)樗l(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)計(jì)算的結(jié)果是水面下5m位置處的壓強(qiáng)比7m位置處的大，但經(jīng)驗(yàn)直覺(jué)又讓他難以置信。后來(lái)老師提示Jim注意g的方向，然后Jim才明白g方向向下，所以也應(yīng)該取負(fù)值，最后終于茅塞頓開(kāi)。在隨后的交談中，Jim告訴老師，如果是在考試中，他可能會(huì)相信數(shù)學(xué)計(jì)算的結(jié)果而不是自己的經(jīng)驗(yàn)直覺(jué)，因?yàn)镴im認(rèn)為有時(shí)候人的直覺(jué)并不一定準(zhǔn)確，可能會(huì)與自己所不知道的事實(shí)或者理論相悖。

圖2(a)和(b)分別總結(jié)了Jim在難以抉擇中和糾正錯(cuò)誤后被激活的認(rèn)知元素與思維活動(dòng)。可以看出，Jim在難以抉擇中用權(quán)威知識(shí)(老師給的壓強(qiáng)計(jì)算公式)和數(shù)學(xué)計(jì)算建構(gòu)的知識(shí)抑制住了自己從經(jīng)驗(yàn)直覺(jué)中建構(gòu)的知識(shí)，但又感到非常的“不安”和難以置信。后來(lái)在老師的提示下，Jim的經(jīng)驗(yàn)直覺(jué)與計(jì)算和權(quán)威知識(shí)達(dá)到了一致，“不安”感得以消除。老師的語(yǔ)境線索使Jim從某一種認(rèn)識(shí)論轉(zhuǎn)移到了另一種認(rèn)識(shí)論。

圖2 Jim在(a)難以抉擇中和(b)糾正錯(cuò)誤后被激活的認(rèn)知元素(實(shí)線橢圓)與思維活動(dòng)(點(diǎn)虛線橢圓)，虛線橢圓表示控制元素，箭頭和實(shí)圓點(diǎn)分別表示激活和未被激活的認(rèn)知元素、思維活動(dòng)、控制元素之間的關(guān)系，灰色表示被抑制

通過(guò)上述分析我們意識(shí)到，老師在教學(xué)過(guò)程中需要學(xué)會(huì)采用合適的語(yǔ)境引導(dǎo)學(xué)生在物理學(xué)中建構(gòu)數(shù)學(xué)方法的物理意義。在案例2中，為什么高等數(shù)學(xué)中的微積分與物理學(xué)中的力學(xué)在同一個(gè)學(xué)期開(kāi)設(shè)學(xué)習(xí)課程，但課程結(jié)束后，有些學(xué)生還停留在使用高中的知識(shí)處理物理問(wèn)題？這說(shuō)明他們?nèi)砸暩咧兄R(shí)為“母語(yǔ)”而微積分為“外語(yǔ)”，幫助學(xué)生將高等數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為大學(xué)物理中的“母語(yǔ)”，需要高校教師在教學(xué)過(guò)程中通過(guò)合理的語(yǔ)境引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建高等數(shù)學(xué)在大學(xué)物理中的意義，通過(guò)熟能生巧，讓學(xué)生像“看到(x,y,z)就想到直角坐標(biāo)系”一樣找到數(shù)學(xué)方法在物理學(xué)中的應(yīng)用，通過(guò)語(yǔ)境線索豐富學(xué)生的認(rèn)識(shí)論與資源框架。

3 結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)分析物理學(xué)中的數(shù)學(xué)與純數(shù)學(xué)的不同，并將“數(shù)學(xué)之于物理”與“語(yǔ)言之于生活”進(jìn)行類比發(fā)現(xiàn)，認(rèn)知語(yǔ)義學(xué)在研究語(yǔ)言和人類認(rèn)知世界之間的關(guān)系時(shí)提出的具身體驗(yàn)、百科觀、語(yǔ)境等認(rèn)知機(jī)制，可以很好地應(yīng)用于分析和發(fā)現(xiàn)大學(xué)生學(xué)習(xí)物理的認(rèn)知過(guò)程以及數(shù)學(xué)方法在融入物理教學(xué)過(guò)程中存在的問(wèn)題。案例分析亦表明，目前盡管大學(xué)教學(xué)中已經(jīng)開(kāi)設(shè)了很多有關(guān)高等數(shù)學(xué)的課程，但很多學(xué)生并不能在學(xué)到的數(shù)學(xué)方法與物理知識(shí)之間建立某種聯(lián)系或做到知識(shí)的遷移。因此，在大學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師除了單純地傳授知識(shí)外，還應(yīng)該多了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，根據(jù)學(xué)生的百科知識(shí)，采用恰當(dāng)?shù)恼Z(yǔ)境線索激發(fā)學(xué)生多樣的認(rèn)識(shí)論資源，通過(guò)推理與類比等具身體驗(yàn)，幫助學(xué)生自主學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)方法在物理學(xué)中的意義建構(gòu)與應(yīng)用。