測(cè)量不確定度分析在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

樊代和 賈欣燕 劉其軍 常相輝 魏 云

(西南交通大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院；物理國(guó)家級(jí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心，四川 成都 611756)

1 提出問(wèn)題

大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)是一門培養(yǎng)本科生動(dòng)手能力和科學(xué)實(shí)驗(yàn)素養(yǎng)的重要實(shí)踐課程之一[1]。目前，國(guó)內(nèi)大部分高校，包括西南交通大學(xué)開(kāi)設(shè)的傳統(tǒng)基礎(chǔ)型物理實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目，在實(shí)驗(yàn)教材中都明確了“實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹薄皩?shí)驗(yàn)儀器”“實(shí)驗(yàn)原理”“實(shí)驗(yàn)步驟”等幾部分內(nèi)容[2]。高校本科生在進(jìn)行大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課程內(nèi)容的學(xué)習(xí)過(guò)程中，一般在課前要預(yù)習(xí)教材中的“實(shí)驗(yàn)原理”部分并寫出預(yù)習(xí)報(bào)告，在實(shí)驗(yàn)課時(shí)聽(tīng)取教師對(duì)具體實(shí)驗(yàn)原理的重難點(diǎn)和實(shí)驗(yàn)注意事項(xiàng)等內(nèi)容的介紹，然后按照教材所列出的“實(shí)驗(yàn)步驟”內(nèi)容逐一進(jìn)行測(cè)量，就可較好地完成該實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目所需的測(cè)量。在沒(méi)有測(cè)量錯(cuò)誤的情況下，最終都可以得到較為理想的實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果。

然而，這種傳統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法，實(shí)際上是極度缺乏創(chuàng)新理念的[3]，對(duì)培養(yǎng)本科生的創(chuàng)新能力無(wú)法提供進(jìn)一步的幫助。具體而言，本科生在完成某一實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目后，只能對(duì)本實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目所采用的測(cè)量原理，以及所獲得的測(cè)量結(jié)果有一定的了解，但一般不會(huì)去積極思考該實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目為什么要采用這樣的實(shí)驗(yàn)方法和實(shí)驗(yàn)儀器？應(yīng)該采用何種實(shí)驗(yàn)原理，或者采用何種實(shí)驗(yàn)儀器對(duì)該實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目進(jìn)行改進(jìn)就能得到更為精確的測(cè)量結(jié)果等問(wèn)題。大部分本科生在修完大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課程后，只能了解到從這門課學(xué)到了什么，而不能了解到這門課為什么學(xué)，如何才能學(xué)好的問(wèn)題。

西南交通大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中心(以下簡(jiǎn)稱實(shí)驗(yàn)中心)所開(kāi)設(shè)的大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課程，在學(xué)期開(kāi)始的第一次實(shí)驗(yàn)課時(shí)，就專門用6學(xué)時(shí)的課時(shí)對(duì)本科生講解測(cè)量不確定度的相關(guān)知識(shí)。該部分教學(xué)的目的是為了使本科生能夠全面了解測(cè)量不確定度在物理實(shí)驗(yàn)中所起的重要作用。然而，在實(shí)際的實(shí)驗(yàn)教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，大部分學(xué)生對(duì)測(cè)量不確定度的學(xué)習(xí)和應(yīng)用僅僅停留在用其進(jìn)行物理量測(cè)量結(jié)果的不確定度評(píng)定方面，不會(huì)去主動(dòng)思考不確定度分析在物理實(shí)驗(yàn)內(nèi)容設(shè)計(jì)過(guò)程中所起的重要作用，就更談不上能夠?qū)ΜF(xiàn)有實(shí)驗(yàn)儀器進(jìn)行改進(jìn)了。換言之，通過(guò)大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)這門重要的實(shí)踐課程的學(xué)習(xí)，對(duì)學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)還沒(méi)有達(dá)到預(yù)期的目標(biāo)。

為了克服以上提到的問(wèn)題，實(shí)驗(yàn)中心除了進(jìn)行如上所述的6學(xué)時(shí)的測(cè)量不確定度知識(shí)講授外，還增加了一個(gè)設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目，如“單擺的研究”，用于加強(qiáng)本科生對(duì)測(cè)量不確定度知識(shí)的全面掌握。但經(jīng)過(guò)一定時(shí)間的教學(xué)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，僅用一個(gè)設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目來(lái)進(jìn)行測(cè)量不確定度分析的學(xué)習(xí)還不夠。因此，在最近幾年里，實(shí)驗(yàn)中心在所開(kāi)設(shè)的所有基礎(chǔ)性物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)內(nèi)容中，特別地引入了測(cè)量不確定度分析相關(guān)知識(shí)在具體實(shí)驗(yàn)內(nèi)容中所起作用的講授工作。通過(guò)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，這樣的教學(xué)內(nèi)容改革，不但可以讓本科生能夠更加深入地掌握所學(xué)的實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，而且能夠根據(jù)所學(xué)的測(cè)量不確定度相關(guān)知識(shí)，提出針對(duì)具體實(shí)驗(yàn)內(nèi)容的改進(jìn)方案。通過(guò)將測(cè)量不確定度分析應(yīng)用到高校大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課程的基礎(chǔ)性實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目?jī)?nèi)容中，能夠?qū)W(xué)生進(jìn)行創(chuàng)新性思維的啟發(fā)，進(jìn)一步為高校培養(yǎng)創(chuàng)新性人才奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

本文以目前實(shí)驗(yàn)中心所開(kāi)設(shè)的3個(gè)具體實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目，如“單擺的研究”“楊氏彈性模量測(cè)量”“分光計(jì)測(cè)量三棱鏡折射率”等為例，對(duì)測(cè)量不確定度分析在具體實(shí)驗(yàn)內(nèi)容設(shè)計(jì)中的應(yīng)用以及所取得的成果進(jìn)行介紹。

2 不確定度分析在實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用舉例

眾所周知，單擺實(shí)驗(yàn)是測(cè)量重力加速度g的一種實(shí)驗(yàn)方法，有部分本科生在中學(xué)階段就接觸過(guò)此實(shí)驗(yàn)[4]。然而，我們?cè)诖髮W(xué)物理實(shí)驗(yàn)的實(shí)際授課過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)該實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目了解的僅是之前中學(xué)教師講解的初步知識(shí)內(nèi)容，如：為了測(cè)量重力加速度g的值，在單擺小角度擺動(dòng)情況下，只需要將單擺擺動(dòng)n個(gè)周期所用的總時(shí)間t測(cè)量出來(lái)，然后計(jì)算得到單擺的擺動(dòng)周期T=t/n，最后利用測(cè)量得到擺長(zhǎng)L的值，利用公式，

(1)

就可以得到重力加速度g的值。

但是，這里有一個(gè)重要的物理問(wèn)題學(xué)生們并沒(méi)有進(jìn)行思考。如為什么采用單擺來(lái)測(cè)量重力加速度，而不采用“自由落體法”[5]進(jìn)行測(cè)量？假設(shè)采用單擺法進(jìn)行測(cè)量，實(shí)驗(yàn)儀器涉及的實(shí)驗(yàn)參數(shù)(例如擺長(zhǎng)L的選取，以及測(cè)量周期時(shí)所涉及的n取值的選取)應(yīng)該如何設(shè)定，才能將測(cè)量重力加速度g的相對(duì)不確定度控制在0.5%以內(nèi)？換句話說(shuō)，這個(gè)實(shí)驗(yàn)該如何設(shè)計(jì)，才能滿足儀器設(shè)計(jì)時(shí)所考慮的測(cè)量精度的要求，學(xué)生之前很少有思考過(guò)的。為此，實(shí)驗(yàn)中心就專門開(kāi)設(shè)了一個(gè)設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目，名稱為“單擺的研究”，用以說(shuō)明測(cè)量不確定度分析在實(shí)驗(yàn)內(nèi)容涉及方面所起的重要作用。該實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目的具體內(nèi)容和說(shuō)明如下：

首先，根據(jù)式(1)，可以計(jì)算得到重力加速度g的相對(duì)不確定度的表達(dá)式如下所示：

(2)

其中，uL和uT分別為擺長(zhǎng)和周期的不確定度。為了滿足測(cè)量精度要求ug/g≤0.5%，利用不確定度的等量分配原則，可將式(2)中的兩個(gè)物理測(cè)量量(長(zhǎng)度和時(shí)間)進(jìn)行分離變量操作，即

這樣，結(jié)合公式t=nT，在只考慮B類不確定度的情況下(設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)時(shí)還沒(méi)有進(jìn)行多次測(cè)量，因此可暫不考慮A類不確定度)，直接就可以得到

從式(4)中可以看出，只要在實(shí)驗(yàn)前估計(jì)出測(cè)量擺長(zhǎng)時(shí)可能的所有誤差ΔLi以及測(cè)量時(shí)間時(shí)可能的所有誤差Δti，即可得出滿足設(shè)計(jì)要求下，單擺裝置需要設(shè)置的最小擺長(zhǎng)Lmin及所需測(cè)量的最小擺動(dòng)次數(shù)值nmin。或只要單擺實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目中的所涉及到的擺長(zhǎng)和擺動(dòng)次數(shù)能夠滿足式(4)，那任何一個(gè)學(xué)生采用這樣的實(shí)驗(yàn)儀器，在實(shí)際實(shí)驗(yàn)測(cè)量時(shí)，即能得到滿足設(shè)計(jì)要求ug/g≤0.5%的實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果。當(dāng)然，一方面，由于實(shí)際實(shí)驗(yàn)測(cè)量中，要考慮重復(fù)測(cè)量的A類不確定度，因此實(shí)驗(yàn)儀器中擺長(zhǎng)和擺動(dòng)次數(shù)可再適當(dāng)放大一點(diǎn)；另一方面，為了盡可能方便地滿足式(4)，可對(duì)學(xué)生選擇不同的測(cè)量?jī)x器(不同的測(cè)量?jī)x器選取將對(duì)應(yīng)不用的B類不確定度)提供依據(jù)。

以上即為實(shí)驗(yàn)中心所開(kāi)設(shè)的一個(gè)設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)，用于培養(yǎng)學(xué)生利用所學(xué)的不確定度知識(shí)來(lái)設(shè)計(jì)一個(gè)簡(jiǎn)單的，滿足實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)要求的一個(gè)具體實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目步驟。在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)通過(guò)開(kāi)設(shè)類似的設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目?jī)?nèi)容，可進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，為其進(jìn)一步將測(cè)量不確定度知識(shí)應(yīng)用到其他物理量的精確測(cè)量過(guò)程中提供參考。

例如，楊氏彈性模量實(shí)驗(yàn)[6]也是目前大多數(shù)高校所開(kāi)設(shè)的一個(gè)實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目，該實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目的目的一方面是讓同學(xué)們掌握一種測(cè)量楊氏彈性模量，包括光杠桿測(cè)量微小伸長(zhǎng)量的方法；另一方面大多數(shù)高校也要求進(jìn)行詳細(xì)的不確定度計(jì)算，用以對(duì)不確定度相關(guān)知識(shí)的進(jìn)一步掌握。目前大多數(shù)高校該實(shí)驗(yàn)儀器中采用的鋼絲原長(zhǎng)L約在400mm到800mm之間。在實(shí)際的實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，如此長(zhǎng)的鋼絲原長(zhǎng)就可能會(huì)使鋼絲有一定的自然彎曲，導(dǎo)致鋼絲原長(zhǎng)的測(cè)量存在較大的誤差。因此，有部分積極思考的同學(xué)就會(huì)提出如下的問(wèn)題：在楊氏彈性模量測(cè)量?jī)x中，能否將鋼絲原長(zhǎng)L設(shè)置得更短一些呢？簡(jiǎn)單地回答此問(wèn)題，鋼絲原長(zhǎng)L縮短，則會(huì)導(dǎo)致在單位拉力下，鋼絲的微小伸長(zhǎng)量ΔL將更小，不利于實(shí)際的實(shí)驗(yàn)測(cè)量。但此問(wèn)題可通過(guò)增加光杠桿到望遠(yuǎn)鏡的距離D來(lái)克服。為何要取這么長(zhǎng)的鋼絲原長(zhǎng)呢？事實(shí)上我們也可從測(cè)量不確定度的知識(shí)方面來(lái)回答此問(wèn)題。

根據(jù)楊氏彈性模量E的計(jì)算表達(dá)式，

(5)

其中，F(xiàn)為待測(cè)金屬絲沿長(zhǎng)度方向所受外力；D為光杠桿到望遠(yuǎn)鏡的距離；L為鋼絲原長(zhǎng)；b為光杠桿的長(zhǎng)度；d為鋼絲直徑；ΔN為望遠(yuǎn)鏡中標(biāo)尺兩次讀數(shù)的變化量。可計(jì)算得到，其相對(duì)不確定度表達(dá)式為

(6)

其中，xi={F,D,L,b,d,ΔN}；uxi為對(duì)應(yīng)的不確定度。當(dāng)選取一般實(shí)驗(yàn)情況下的參數(shù)值，例如F=10N，uF=0，D=1000mm，uD=3mm，b=70mm，ub=0.3mm，d=0.7mm，ud=0.002mm，ΔN=3mm，uΔN=0.1mm，uL=1.0mm，可以得到楊氏模量的相對(duì)不確定度uE/E隨鋼絲原長(zhǎng)L的變化關(guān)系如圖1所示。

圖1 楊氏模量相對(duì)不確定度隨鋼絲原長(zhǎng)的變化關(guān)系曲線

從圖1中可以看出，隨著選取鋼絲原長(zhǎng)L值的增大，測(cè)量鋼絲楊氏彈性模量的相對(duì)不確定度將減小。特別地，當(dāng)L<100mm時(shí)，相對(duì)不確定度值隨L的增大將急劇減小。而當(dāng)選取L>300mm后，楊氏彈性模量的相對(duì)不確定度將趨于穩(wěn)定，基本維持在3%左右。實(shí)驗(yàn)中心的任課教師在指導(dǎo)學(xué)生完成該基礎(chǔ)型實(shí)驗(yàn)時(shí)，就會(huì)從測(cè)量不確定分析這個(gè)角度來(lái)講解楊氏模量測(cè)量?jī)x的設(shè)計(jì)原理，并從測(cè)量不確定的角度給出諸如上述學(xué)生提出的關(guān)于鋼絲原長(zhǎng)問(wèn)題的答案，即：通常情況下，楊氏模量測(cè)量?jī)x中，鋼絲的原長(zhǎng)都會(huì)設(shè)定在大于300mm的范圍內(nèi)。

通過(guò)近幾年專門針對(duì)諸如上述實(shí)際實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目的測(cè)量不確定度分析講解，能夠使大多數(shù)本科生，特別是物理專業(yè)的本科生在完成大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)的同時(shí)，不僅能夠?qū)?shí)驗(yàn)中心目前開(kāi)設(shè)的實(shí)驗(yàn)內(nèi)容進(jìn)行全面的學(xué)習(xí)，而且還能夠去深入思考該項(xiàng)實(shí)驗(yàn)為什么要采用當(dāng)前的實(shí)驗(yàn)儀器來(lái)進(jìn)行測(cè)量，并能夠提出針對(duì)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容的改進(jìn)方案。這對(duì)培養(yǎng)本科生的創(chuàng)新能力起到了很大的幫助。下面，舉兩個(gè)本科生所取得的具體研究成果來(lái)說(shuō)明將測(cè)量不確定度分析應(yīng)用在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)中的重要作用。

邁克耳孫干涉儀實(shí)驗(yàn)是目前大部分高校，特別是針對(duì)物理專業(yè)所開(kāi)設(shè)的基本實(shí)驗(yàn)內(nèi)容之一。利用邁克耳孫干涉儀，實(shí)際上可以實(shí)現(xiàn)微小伸長(zhǎng)量的精確測(cè)量。西南交通大學(xué)機(jī)械學(xué)院的兩名本科生在經(jīng)過(guò)對(duì)測(cè)量不確定度分析的深入學(xué)習(xí)之后，就設(shè)計(jì)了一種基于邁克耳孫干涉儀的全自動(dòng)楊氏彈性模量測(cè)量?jī)x，用以解決傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)中采用光杠桿測(cè)量所帶來(lái)的種種缺點(diǎn)。他們通過(guò)深入分析基于邁克耳孫干涉儀測(cè)量楊氏彈性模量的相對(duì)不確定值，設(shè)計(jì)了一種全自動(dòng)的楊氏模量測(cè)量?jī)x。通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)，他們?cè)O(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)儀可將楊氏彈性模量測(cè)量的相對(duì)不確定度提高到約0.43%。相比通常用的光杠桿方法，該設(shè)計(jì)儀器對(duì)金屬絲楊氏彈性模量的測(cè)量精度可提高1到2個(gè)數(shù)量級(jí)。該研究結(jié)果以本科生為第一作者，于2016年12月發(fā)表于《實(shí)驗(yàn)技術(shù)與管理》期刊[7]。

利用分光計(jì)測(cè)量三棱鏡折射率也是目前大多數(shù)高校所開(kāi)設(shè)的傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容之一。目前，大多數(shù)高校開(kāi)設(shè)的此項(xiàng)實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目為，利用分光計(jì)，結(jié)合一個(gè)等邊三棱鏡，利用最小偏向角法等測(cè)量光源(如汞燈、或者鈉燈)某一特征譜線對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)，最多再計(jì)算一下測(cè)量不確定度，給出測(cè)量結(jié)果的真值在一定范圍內(nèi)的概率，就算很好地完成了本實(shí)驗(yàn)內(nèi)容。西南交通大學(xué)應(yīng)用物理專業(yè)的兩名本科生，在經(jīng)過(guò)前述的關(guān)于不確定度分析在實(shí)驗(yàn)儀器設(shè)計(jì)的應(yīng)用培訓(xùn)后，就詳細(xì)地從理論上分析了采用3種(最小偏向角法，掠入射法，垂直底邊入射法)常用的分光計(jì)測(cè)量三棱鏡折射率方法時(shí)，選取不同頂角的三棱鏡，以及針對(duì)不同波長(zhǎng)的入射光，對(duì)所能獲得的折射率相對(duì)不確定度造成的影響進(jìn)行了研究，其研究結(jié)果可如圖2所示[8]。

圖2 分光計(jì)測(cè)量三棱鏡折射率時(shí)，折射率相對(duì)不確定度(a) 與三棱鏡頂角選取大小的影響； (b) 與被測(cè)波長(zhǎng)選取大小的影響[8]

從圖2(a)中可以看出，當(dāng)設(shè)計(jì)的三棱鏡頂角較小時(shí)，采用掠入射法測(cè)量三棱鏡的折射率將獲得較小的折射率相對(duì)不確定度值，且3種方法所得到的折射率相對(duì)不確定度都隨選取的三棱鏡頂角的增大而急劇減小。而當(dāng)選擇三棱鏡頂角大于25°后，3種方法所測(cè)得的折射率相對(duì)不確定度幾乎沒(méi)有差別。從圖2(b)中可以看出，隨著被測(cè)波長(zhǎng)值的增加，最小偏向角法可獲得的折射率相對(duì)不確定度值將減小，而另外兩種方法可獲得的折射率相對(duì)不確定度值將增加。3種方法中，最小偏向角法測(cè)量三棱鏡折射率可獲得較小的相對(duì)不確定度值。這樣的研究結(jié)果，可為利用分光計(jì)精確測(cè)量三棱鏡的折射率的實(shí)驗(yàn)儀器設(shè)計(jì)提供指導(dǎo)作用。該研究成果以本科生為第一作者于2017年12月發(fā)表于《激光與光電子學(xué)進(jìn)展》期刊。

從以上的兩個(gè)實(shí)例可以看出，本科生通過(guò)對(duì)這一基礎(chǔ)的分光計(jì)測(cè)量折射率不確定度的分析，就可以對(duì)物理量的精確測(cè)量提出改進(jìn)方案。

3 結(jié)語(yǔ)

測(cè)量不確定度分析是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課程的重要內(nèi)容之一。通過(guò)強(qiáng)化測(cè)量不確定度分析在基礎(chǔ)性物理實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目中的應(yīng)用的講授工作，西南交通大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中心進(jìn)行了一定的大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)內(nèi)容改革。本文通過(guò)3個(gè)具體的實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目，詳細(xì)介紹了我校物理實(shí)驗(yàn)中心將測(cè)量不確定分析應(yīng)用于具體實(shí)驗(yàn)內(nèi)容設(shè)計(jì)中所做的教學(xué)改革以及學(xué)生取得的研究成果。我們相信，這樣的大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)內(nèi)容改革，可為學(xué)生設(shè)計(jì)精確測(cè)量物理量的實(shí)驗(yàn)儀器提供有力支持，更進(jìn)一步，為高校培養(yǎng)具有創(chuàng)新實(shí)踐能力的本科生奠定基礎(chǔ)。