非線性駐波場的實現及其穩定性研究

張敬雯 王文玲 董國波

(北京航空航天大學 1自動化科學與電氣工程學院； 2物理科學與核能工程學院，北京 100083)

任意波的傳播均滿足運動方程、連續性方程與物態方程[1]，這3個方程均為非線性方程。在運動非線性或者介質非線性不能忽略的情況下，方程中非線性項不可忽略，這屬于非線性科學研究的范疇。本文主要研究非線性聲波。

非線性聲波可以劃分為非線性行波和非線性駐波兩類。自S.Earnshaw和B.Riemann分別于1858年和1860年提出非線性平面聲波傳播的隱形表達式[2]，關于非線性行波與駐波的研究都有了一定的發展，但一般來說，其詳細的理論描述是比較復雜的。

我們知道，線性聲波是非線性聲波的傳播方程線性近似的結果，其波動具有周期性，聲場中的聲壓平均值為零，不可能得到方向恒定且對其中物體具有穩定性作用的聲輻射力；非線性駐波場中聲壓平均值不為零，故存在聲輻射力，可以對放置于聲場中的物體有持續、穩定的力的作用。自King[3]首次提出聲輻射力理論之后，出現了不少與聲輻射力相關的理論和應用的研究[4,5]。近年來倍受人們青睞的聲懸浮技術，就是利用聲波產生的聲輻射力來平衡樣品的重力，從而實現樣品的無容器懸浮[4]。但由于聲輻射力隨著不同位置而發生變化，懸浮物在聲場中做往復運動[6]，比較難達到很穩定的狀態，而聲場穩定性是評價聲場的重要指標，影響了聲懸浮技術的應用前景，因此，對于物體在聲場中穩定性的研究就顯得尤為重要。

Barmatz和Collas等人[6，7]從聲場模式的角度基于Gor’kov[8]的聲輻射力的時間平均勢與物體在聲場中振動的回復力常數給出了評價聲場聲懸浮穩定性的方法，即已知聲場的具體形式，對其中的物體進行受力分析，推導出物體具體的運動形式。但此方法只能分析聲場分布完全已知的情況。近年來對聲懸浮穩定性的研究多從聲輻射力的角度出發，引入聲場模式、熱傳輸、聲流效應等影響因素來探究物體穩定的條件[9]。但這些方法一方面較為復雜、需要考慮的因素繁多，另一方面也沒有提出一個可直觀的反映物體在聲場中穩定性的物理量。

本文從非線性駐波聲場的物理特性入手，探究球形物體在聲場中穩定性的影響因素，提出能反映物體在聲場中穩定性的物理量——聲勢阱深度。與其他人的工作相比，該物理量能更簡潔、更直觀地描述物體在非線性駐波聲場中的穩定性。進一步我們實驗搭建了非線性駐波場的聲懸浮裝置，將聚乙烯小球、液滴、昆蟲等物體懸浮其中，通過改變裝置的參數增大此聲場中的勢阱深度，實驗發現物體在勢阱深度值更大的聲場中更穩定，由此從實驗上進一步檢驗了我們理論的合理性。基于此穩定性條件的獲得，我們制作出可以對物體進行懸浮觀察的非接觸式聲懸浮顯微鏡，這為優化光學顯微鏡的設計提供了一定的指導意義。

1 理論分析

1.1 非線性駐波場中聲輻射力的產生

非線性駐波聲場對處在其中的物體存在聲輻射力的作用。不同于King[3]使用聲壓計算聲輻射力的思路，Gor’kov[8]引入聲輻射力的時間平均勢，導出了一種更簡單的計算聲輻射力的方法。在理想空氣流體、小懸浮物近似下，聲場對放置于場中半徑為R的球形懸浮物產生的聲輻射力的時間平均勢為[5]

其中，U為聲場中的聲壓勢；p為聲場中聲壓分布，即聲場中各點聲壓值，見(2)式；〈p2〉為聲場中聲壓的均方振幅；p0為聲壓的振幅；u為聲場中不同位置處空氣的流速，可以由速度勢Φ確定，見式(3)和式(4)；〈u·u〉為空氣流速的均方振幅；j為虛數單位；ω為超聲波振動角頻率；ρ為空氣的密度；c為空氣中的聲速，k=ω/c，為波數。

進一步，由勢能和力的關系，我們可以通過聲輻射力的時間平均勢計算聲輻射力F，有

F=-U

(5)

可以看到，當產生聲場的參數固定時聲場中聲壓分布p確定，進而聲輻射力的時間平均勢確定，則聲場中聲輻射力就確定了。聲輻射力平衡物體重力，使物體懸浮于聲場中，它影響物體在聲場中的運動特性。也就是說，一旦聲場參數確定，物體的運動特征也就確定了。

1.2 聲勢阱深度的引入

無量綱化的時間平均勢為[5]

“什么！沒有？”楊秋香立即發了火，她眼睛瞪得如雞蛋大，唾沫星子都噴到了楊力生臉上，“你再說一句‘沒有’試試？”楊力生估量她是已經知道這回事了，想瞞也瞞不住，只好如實相告。楊秋香氣得大口喘著氣：“你說說，你說說，這個家是你一個人的家，還是兩個人的家？”

(6)

將式(2)、式(3)和式(4)代入式(6)可得

(7)

引入物理量—聲勢阱深度H，定義H為勢阱最深處聲輻射力無量綱化時間平均勢的負值，

(8)

將式(7)代入式(8)可得，

(9)

聲場中聲勢阱深度H在外界條件即ρ、c不變的情況下，僅與p0有關，即聲場中聲勢阱深度正比于勢阱最深處聲壓振幅的平方。

我們知道勢阱越深，物體被束縛的程度越高，它要逃脫勢阱需要的外界能量輸入越大。在同等的外界干擾下，勢阱更深的聲場對物體的束縛能力更強，抗干擾能力更強，物體更不易脫離穩定狀態。也就是說，勢阱深度H這一物理量能形象直觀的反映物體在聲場中被束縛程度，也即：物體在勢阱更深的聲場中更穩定。

所以，要想提高物體在聲場中的穩定性，增大勢阱深度H是關鍵所在。由式(9)，在外界條件不變的情況下，勢阱深度正比于勢阱最深處聲壓振幅的平方，那么，提高物體在聲場中穩定性的問題轉化為提高聲場中勢阱最深處聲壓振幅。

1.3 聲懸浮裝置諧振腔中的非線性駐波聲場

聲懸浮裝置是基于非線性駐波場構建的可為物體提供聲輻射力以克服其重力而使物體懸浮于聲場中的裝置[10]。以聲懸浮裝置諧振腔中非線性駐波聲場為例，我們通過改變聲懸浮裝置發射面與反射面的相對位置，來分析它對聲場中勢阱最深處最大聲壓振幅的影響。

圖1 諧振腔示意圖

聲場中的聲壓分布與速度勢Φ相關，如式(3)。建立圓柱坐標系，由于體系的對稱性，Φ與環向坐標φ無關，具有Φ(ρ,z)e-jω t的形式。其空間中Φ(ρ,z)滿足亥姆霍茲方程[4]，

2Φ+k2Φ=0

(10)

邊界條件，

(11)

其中，n為面的法向；v0為超聲波的聲速。

非線性聲場中聲壓分布滿足式(10)和式(11)基本方程，但由于邊界條件很難進行準確的解析計算，故仿真進行數值求解。

圖2 諧振腔聲勢阱最深處聲壓絕對值隨反射面與發射面球心之間距離改變圖

圖3 典型聲壓分布

對于圖1所示諧振腔，假設反射面Γ1與發射面Γ2的球心O之間的距離為x(向上為正，向下為負)，依次改變x，使用comsol仿真軟件對聲場中的聲壓分布進行仿真，使用的參數在表1。對于每一次改變x得到的聲場中聲壓分布仿真結果，提取出勢阱最深處聲壓值的絕對值記為f(x)，結果如圖2所示，橫坐標為x，即反射面距發射面球心的距離，縱坐標為f(x)，即x對應的聲場中勢阱最深處聲壓值的絕對值，f(x)反映了隨著x的改變，聲場中勢阱最深處聲壓振幅如何改變。圖3為聲場中聲壓分布立體圖，形象展示諧振腔內各點的聲壓分布隨x的變化關系。其中：O-xy平面

表1 comsol仿真參數

為諧振腔通過軸線的剖面圖，z軸表示此點對應的聲壓。

將f(x)代入式(9)勢阱深度的定義式，計算各個x對應的勢阱深度，得到圖4。

圖4 勢阱深度隨發射面與反射面球心之間距離改變圖

由圖4可以看到，在仿真的點中存在兩個較明顯的極大值，即：x=-20mm、-42mm處聲場中勢阱深度顯著高于周圍點；X=-20mm時，勢阱深度有最大值約為376kJ·m-3，即反射面Γ1位于發射面球心O以下20mm處諧振腔中勢阱深度最大，理論上物體位于此時的聲勢阱中時最穩定。

2 實驗驗證與裝置應用

2.1 實驗驗證

我們從理論上找到了使得物體在聲場中最穩定時反射面距發射面球心的距離，進一步在實驗中進行驗證。

搭建如圖5所示實驗裝置， Arduino uno單片機編程控制L298N電機驅動板，驅動板輸出PWM波驅動NU40C10T換能器。使用的器件參數與仿真一致，超聲波換能器的諧振頻率為40kHz，發射面的半徑為75mm；反射面為透明平面反射面。本實驗裝置與普通聲懸浮裝置[10]的區別在于，將兩個發射端改為一個發射端和一個位置可調的透明平面反射面，使聲場中的聲壓分布可變且便于在聲懸浮裝置上端顯微觀察懸浮物。

圖5 實驗裝置

連續調節反射面的位置，尋找使懸浮物最穩定的點。實驗中，先使反射面Γ1與O點距離為零，將物體懸浮于聲場中，物體可以被成功懸浮，但有肉眼可見的較大幅度振動；調節Γ1，物體仍可以在聲場中懸浮但穩定性隨O與Γ1距離的改變有一定的改變，與理論分析一致；當反射面Γ1距O約為20mm時，物體十分穩定，幾乎沒有肉眼可見的運動，與理論相吻合，由此驗證了用聲勢阱深度描述物體在聲場中的穩定性這一理論的可靠性。

2.2 裝置應用

改進后的聲懸浮裝置可以讓放置其中的懸浮物比較穩定，我們利用這一特性，將其與顯微鏡結合，實現對懸浮物體的觀察。將調整好的聲懸浮裝置放置在顯微鏡的鏡頭下代替顯微鏡的載物臺，從鏡頭中觀察懸浮物，整體裝置如圖6所示，拍攝到的圖像如圖7所示。

圖6 裝置全圖

圖7 拍攝到的懸浮物

我們知道，光學顯微鏡本身無法自動調節焦距從而無法對振動的物體進行詳細觀察。本文提出用聲勢阱深度這一物理量反映物體在聲場中穩定性的理論形象簡潔，由對應理論和實驗結果可以使懸浮物在聲場中的穩定性大幅提高，促進了將改進后的聲懸浮裝置與顯微鏡結合，從而實現對懸浮狀態的物體進行顯微觀察。實驗中成功懸浮了聚乙烯小球、水滴、昆蟲、洋蔥外表皮細胞，懸浮物在聲場中穩定性均很高，可以使用顯微鏡對其進行觀察。

3 結語

本文定義反映聲場對物體束縛能力的物理量——聲勢阱深度，理論與實驗結合證明此物理量可以直觀地反映物體在聲場中的穩定性，避開了現有對物體在聲場中穩定性的復雜描述[4,6]。正是基于對物體在聲懸浮裝置中穩定性的實現，制作出可以對懸浮物進行顯微觀察的聲懸浮顯微鏡。