對(duì)影響快鏈條運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的相關(guān)參數(shù)的研究

張童欣 李晉斌 謝金江 張芳芳

(1南京航空航天大學(xué)理學(xué)院，江蘇 南京 210016； 2 清華大學(xué)航天航空學(xué)院，北京 100084；3南京航空航天大學(xué)航空宇航學(xué)院，江蘇 南京 210016； 4南京航空航天大學(xué)航天學(xué)院，江蘇 南京 210016)

鏈條類物體問題是歷史上一個(gè)古老而備受關(guān)注的力學(xué)問題。歷史上，不管是在靜力學(xué)領(lǐng)域還是在動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域，基本上都是使用較理想的一維，柔性，均勻模型。鏈條問題最開始的提出是在靜力學(xué)領(lǐng)域，有趣的是最開始研究它的是意大利著名的天才人物達(dá)芬奇，達(dá)芬奇的經(jīng)典作品《抱銀貂的女人》中女人的項(xiàng)鏈下垂的形狀描繪，達(dá)芬奇苦苦思考了許久：固定項(xiàng)鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，那么項(xiàng)鏈所形成的曲線是什么？

最早的定量分析可以追溯到伽利略對(duì)在重力作用下兩端固定鏈條的形狀為拋物線的猜想，但是荷蘭物理學(xué)家惠更斯就用數(shù)學(xué)物理方法證明其不是拋物線。真正解決這個(gè)問題要在達(dá)芬奇去世170多年后的雅各布·伯努利，他用微積分方法比較輕松的解決了這個(gè)問題。從那時(shí)候開始，微分方程就成了解決鏈條問題的標(biāo)準(zhǔn)方法。

19世紀(jì)下半葉的大西洋海底電纜鋪設(shè)工程，一維柔性物體連續(xù)力學(xué)模型被不斷運(yùn)用。但這并不代表繩索動(dòng)力學(xué)的研究已經(jīng)趨于完善，如太空漫步中宇航員與航天器連接繩索在引力梯度下的呈現(xiàn)的力學(xué)特性，航空母艦上對(duì)艦載機(jī)的阻攔索在極大沖擊下的響應(yīng)等問題都對(duì)繩索動(dòng)力學(xué)提出了新的挑戰(zhàn)。

即使是繩索最簡(jiǎn)單的下落問題，也是在20世紀(jì)中后期在得出比較一致的認(rèn)識(shí)。鏈條下落時(shí)會(huì)出現(xiàn)快鏈條的奇特現(xiàn)象。快鏈條現(xiàn)象最早指的是連續(xù)性系統(tǒng)的加速現(xiàn)象。前人研究的場(chǎng)景主要有三個(gè)。第一個(gè)場(chǎng)景中的鏈條從高處自由釋放落入盤中；第二個(gè)是將一串鏈條兩端拴在同一高度的地方，從某一時(shí)刻開始將一端自由釋放，稱之為折疊鏈；第三個(gè)是將一捆快鏈條盤堆在臺(tái)面邊緣上，然后將其一端自臺(tái)面邊緣自由釋放，三種場(chǎng)景都能得出加速度增大的結(jié)論。

Calkin and March[1,2]認(rèn)為這個(gè)第二個(gè)系統(tǒng)是保守的，并沒有耗散機(jī)制。他們一開始測(cè)量一根2m長(zhǎng)，含有81個(gè)鏈結(jié)的鏈的下落過程，發(fā)現(xiàn)這種鏈比自由落體運(yùn)動(dòng)下落得更快。連續(xù)模型準(zhǔn)確地描述了實(shí)驗(yàn)鏈的運(yùn)動(dòng)，但是在繩末端出現(xiàn)了問題，隨后他們測(cè)量了固定端的拉力T，發(fā)現(xiàn)理論上連續(xù)模型所給出的鏈的拉力包含了一個(gè)與速度的平方成比例的項(xiàng)。而實(shí)驗(yàn)所測(cè)得的拉力的最大值是鏈條自身重量的25倍，超過了自由落體運(yùn)動(dòng)下的拉力的理論值。因此毫無疑問折疊鏈下落的速度是大于g的。

Hamel[1,3]假設(shè)能量守恒，正確的解釋了折疊鏈問題。在早期的論文中，作者們反對(duì)Hamel的能量守恒解法，并且聲稱在折疊鏈下落過程中存在由非彈性動(dòng)量守恒碰撞造成的能量的耗散。他們引用了其他一些下落鏈的Carnot能量損失的例子來辯護(hù)他們的理論。但Hamel認(rèn)為，我們能看到能量守恒的結(jié)果，是因?yàn)橘|(zhì)量離開自由端鏈時(shí)所得到的能量彌補(bǔ)了固定端子鏈吸收轉(zhuǎn)移質(zhì)量所造成的Carnot能量損失。Schagerl et al.對(duì)于折疊鏈的測(cè)量結(jié)果使得他們大吃一驚，因?yàn)樗麄冊(cè)诶碚撋系贸稣郫B鏈下落的加速度是g，并且總機(jī)械能不守恒的。但是他的實(shí)驗(yàn)得到了折疊鏈下落加速度大于g的結(jié)論。

折疊鏈下落的加速度大于g這一現(xiàn)象可能會(huì)引出折疊鏈的運(yùn)動(dòng)不是唯一的這一結(jié)論，因?yàn)椤跋侣涞睦K子本身就存在更多的滿足線性動(dòng)量守恒但是機(jī)械能不守恒的解”，于是這個(gè)問題在Schagerl et al[1,4]的文章里是一個(gè)悖論。

但是很明顯這一結(jié)論是不成立的。因?yàn)椴徽撜郫B鏈能量守恒與否，它的運(yùn)動(dòng)方程都是一個(gè)線性微分方程，給定初始條件之后就得到了唯一的解。所以折疊鏈的加速度大于g這一實(shí)驗(yàn)結(jié)果恰恰證明了這個(gè)運(yùn)動(dòng)不會(huì)是能量不守恒的自由落體運(yùn)動(dòng)這一事實(shí)。

Irschik he Holl[1,5]也提到了關(guān)于折疊鏈的動(dòng)量守恒但是能量不守恒的這一結(jié)論。在關(guān)于拉格朗日方程的一些早期論文里，他們困惑于實(shí)驗(yàn)結(jié)果，因?yàn)樗麄冋J(rèn)為固定端鏈的拉力應(yīng)該消失，因此自由端應(yīng)該做自由落體運(yùn)動(dòng)，他們發(fā)現(xiàn)這一結(jié)論與觀察結(jié)果不符。

我們能看到關(guān)于能量損失的錯(cuò)誤的結(jié)論是由于忽視了轉(zhuǎn)移質(zhì)量離開自由端時(shí)的能量的獲取。這個(gè)能量增益與固定端接收的轉(zhuǎn)移質(zhì)量所造成的Carnot能量損失實(shí)時(shí)相反。

無獨(dú)有偶，第三種模型也曾被認(rèn)為總機(jī)械能是不守恒的。Cayley[1,5,6]在1857年首先研究了這個(gè)問題，他把這種運(yùn)動(dòng)處理成一個(gè)連續(xù)碰撞問題，得到了能量不守恒以及加速度為g/3這一結(jié)論。

De Sousa和 Rodrigues[1,7]得出了共識(shí)：能量是不守恒的。他們首先用牛頓運(yùn)動(dòng)方程來描述兩個(gè)變質(zhì)量的子鏈的問題，考慮了地心引力，但不考慮鏈的拉力。他們得出了錯(cuò)誤的能量不守恒的結(jié)論：加速度a=g。于是他們轉(zhuǎn)換思路，假設(shè)能量守恒，這次他們得出了正確的結(jié)論。這也是我們所能找到的唯一正確的結(jié)論。

還有部分學(xué)者對(duì)下落鏈條的組成結(jié)構(gòu)和底部沖擊物進(jìn)行探究，并對(duì)觸發(fā)裝置、接收裝置進(jìn)行了改進(jìn),參考[8]。

鏈條下落問題的本質(zhì)是變質(zhì)量體的動(dòng)力學(xué)問題，變質(zhì)量動(dòng)力學(xué)在火箭推進(jìn)系統(tǒng)，流體動(dòng)力學(xué)，阿特伍德機(jī)，變質(zhì)量振蕩器中都有很多的應(yīng)用，而鏈條的下落恰恰是最簡(jiǎn)單的變質(zhì)量物體運(yùn)動(dòng)。如前文所述，自雅各布·伯努利用微積分解決懸鏈線的形狀問題以來，前人對(duì)這類非連續(xù)性的動(dòng)力學(xué)問題的處理方式一直是是利用連續(xù)性模型建立微分方程，再利用電腦進(jìn)行離散化的數(shù)值分析，但是由于鏈條物理結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，存在鏈節(jié)的橫向擺動(dòng)造成縱向收縮，單個(gè)鏈結(jié)本身發(fā)生的轉(zhuǎn)動(dòng)造成碰撞等復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)形式，讓連續(xù)性模型在很多地方的求解失效果[9]。本文旨在建立本就離散的物理模型，即若干根與地面呈一定傾角的棍子交錯(cuò)排列連接而成鏈條，主要研究其在下落過程中加速的奇特現(xiàn)象，探討影響其加速度的相關(guān)因素，并試圖把此模型在更多的場(chǎng)景下推廣，并且爭(zhēng)取在修正后能在工程上有所運(yùn)用。

實(shí)際上，我們知道，計(jì)算機(jī)的高效計(jì)算的本質(zhì)也是把鏈條進(jìn)行了離散化處理，因此我們從第一種場(chǎng)景出發(fā)(如圖1中的(a)所示)，在理論和實(shí)驗(yàn)中直接將其進(jìn)行了離散化，即把宏觀上連續(xù)的繩子離散為交錯(cuò)相連的鏈條進(jìn)行研究，此舉相比于之前學(xué)者所研究的實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ投裕菀自跀?shù)學(xué)上對(duì)其進(jìn)行建模，能夠從純力學(xué)角度對(duì)其進(jìn)行解釋，且相關(guān)影響因素更為明顯、更易測(cè)量。

圖1(a) 展現(xiàn)的是柔性繩索自由下垂?fàn)顟B(tài)下靜止釋放，下落，接觸桌面并在其上堆積的過程； (b) 展現(xiàn)的是固定在天花板上的柔性繩索，提起其自由端再靜止釋放的過程； (c) 展現(xiàn)的是柔性繩索從桌面上開的小洞中下落的過程

1 連續(xù)性假設(shè)下對(duì)模型的討論

最簡(jiǎn)單的模型一在很早的時(shí)候就被廣泛討論，在20世紀(jì)50年代以前，對(duì)此種狀態(tài)下鏈條整體的加速度為g這一點(diǎn)深信不疑。這種理論是在連續(xù)性的假設(shè)下考慮dt時(shí)間內(nèi)改變的動(dòng)量為

dp=-pv2dt

(1)

從而計(jì)算出“動(dòng)約束力”：

(2)

從而計(jì)算出理論上，如果將鏈條落于壓力感應(yīng)器上，會(huì)得出壓力值：

F=f+mg

(3)

為了簡(jiǎn)單化驗(yàn)證的難度，假設(shè)此模型中繩子末端恰好接觸地面，并結(jié)合式(1)～(3)有壓力值為3倍鏈條重力。

早期的實(shí)驗(yàn)中也有驗(yàn)證了這一理論，這等于側(cè)面證實(shí)了鏈條在此模型下的下落過程加速度等于g。但是鏈條實(shí)際的離散化特點(diǎn)以及電信號(hào)的延遲問題都對(duì)實(shí)驗(yàn)造成了誤差。Hamm和Géminard[10]首次實(shí)實(shí)在在的在實(shí)驗(yàn)中驗(yàn)證了這一點(diǎn)。這說明在這個(gè)過程中鏈條下落的加速度是大于g的，同時(shí)在動(dòng)力學(xué)上也暗示在下方堆積的鏈條表面存在著把鏈條向下拉拽的力。Grewal, Johnson and Ruina[11]定性且定量的描述了這樣一個(gè)過程，并且指出這是因?yàn)殡x散的鏈條單元下接觸地面是存在轉(zhuǎn)動(dòng)的效果。

于同旭[9]曾經(jīng)提到鏈條的轉(zhuǎn)動(dòng)和鏈條的各種幾何參數(shù)是決定鏈條下落過程運(yùn)動(dòng)特性的重要因素，后文中提到的鏈條模型，就是將這種離散化方法，并且定量研究相關(guān)參數(shù)對(duì)其影響。

圖2 快鏈條模型

2 離散化理論模型

2.1 前提假設(shè)及涉及原理

本文假設(shè)所有棍子均為剛體，且整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中不受空氣阻力的影響。在預(yù)實(shí)驗(yàn)過程中，觀察到棍子下落會(huì)彈起，因此這里采用了非完全彈性碰撞的理論，考慮了恢復(fù)系數(shù)這一參量。建模過程中應(yīng)用到了牛頓第二定律、沖量定理、沖量矩定理等原理。由于棍子只在碰撞的一瞬間發(fā)生加速度的突變，為了便于后期的實(shí)驗(yàn)觀察，這里將這一離散過程連續(xù)化，也就是探究碰撞多次所疊加的等效加速度和速度，而不是瞬間碰撞的加速度和速度。

2.2 現(xiàn)象解釋

將一根快鏈條從高處自由釋放(如圖2)，棍子1與地面之間有一定的距離，直到棍子1碰地之前，快鏈條都做自由落體運(yùn)動(dòng)。當(dāng)棍子1與水平面碰撞時(shí)，其發(fā)生速度突變，并且發(fā)生逆時(shí)針的微小轉(zhuǎn)動(dòng)，使得左側(cè)輕繩被拉緊，右側(cè)繩子處于松弛狀態(tài)。碰撞結(jié)束后快鏈條又處于自由下落狀態(tài)，直到棍子2發(fā)生碰撞。棍子2發(fā)生碰撞時(shí)，發(fā)生順時(shí)針的微小轉(zhuǎn)動(dòng)，使得右側(cè)繩子被拉緊，左側(cè)繩子處于松弛狀態(tài)。如此往復(fù)，發(fā)生棍子3、4直到棍子n的碰撞。觀察發(fā)現(xiàn)這種瞬間的轉(zhuǎn)動(dòng)現(xiàn)象非常微弱，且最后順時(shí)針逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)可以互相抵消，因此可以將輕繩近似為豎直運(yùn)動(dòng)。

圖3 快鏈條受力分析

由于每次碰撞都會(huì)發(fā)生速度突變，因此快鏈條的加速度一直在變大。棍子旋轉(zhuǎn)時(shí)短邊輕繩一端的相對(duì)質(zhì)心的速度方向與棍子回彈時(shí)產(chǎn)生的速度方向相反，因此可以預(yù)料到的是，當(dāng)棍子與水平面之間的傾角不斷增加時(shí)，會(huì)有一個(gè)臨界角度，使得該棍子碰撞產(chǎn)生的速度增量為零，或者為負(fù)值，此時(shí)快鏈條兩邊的輕繩都處于松弛狀態(tài)，不受力的作用，因此加速度一直為重力加速度，不出現(xiàn)“快鏈條”現(xiàn)象。

2.3 數(shù)學(xué)模型

首先考察棍子1發(fā)生碰撞時(shí)快鏈條的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，可以寫出碰撞的恢復(fù)系數(shù)，參考圖3：

(4)

由于碰撞所產(chǎn)生的角速度為

(5)

寫出角動(dòng)量公式和沖量公式：

補(bǔ)充運(yùn)動(dòng)關(guān)系式：

(8)

B點(diǎn)在豎直方向上的絕對(duì)速度為

VBy=VB C1cosθ+VC1

(9)

接下來寫出第2根、第3根……直到第n根棍子的方程，其中同一短繩連接的兩根棍子的端部豎直速度相等

(10)

化簡(jiǎn)可以得到棍子1直到棍子n的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)以及質(zhì)心速度：

并且可以求解出每根棍子的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為

整理得每根棍子的角速度和質(zhì)心速度為

(19)

因此可以得到碰撞時(shí)突變的速度為

(20)

引入常數(shù)k，k只與恢復(fù)系數(shù)e、棍子與地面的夾角θ，棍子總數(shù)n有關(guān)。

當(dāng)速度差大于零時(shí)加速下落，為“快鏈條”，速度差小于等于零時(shí)，繩子處于松弛狀態(tài)，因此鏈條仍為自由下落。

此時(shí)的臨界角度為

(21)

也就是說，當(dāng)傾角小于54.7°時(shí)，鏈條做加速下落運(yùn)動(dòng)，等傾角大于54.7°時(shí)，鏈條做自由下落運(yùn)動(dòng)。

但這里需要注意的是，傾角為零的情況并不適用與這里的分析，因?yàn)楸疚目紤]的是單點(diǎn)碰撞，而傾角為零的情況比較復(fù)雜，在理想條件下棍子與地面發(fā)生的是線碰撞。

接下來考察第Q號(hào)棍子(Q>P)的運(yùn)動(dòng)情況。令質(zhì)心距為h，棍子1的質(zhì)心距地面高度為H，則

(22)

第一次碰撞前棍子Q的質(zhì)心速度：

(23)

第一次碰撞后棍子Q的質(zhì)心速度：

(24)

第二次碰撞前棍子Q的質(zhì)心速度：

(25)

第二次碰撞后棍子Q的質(zhì)心速度：

(26)

第P次碰撞前棍子Q的質(zhì)心速度：

(27)

第P次碰撞后棍子Q的質(zhì)心速度：

(28)

從釋放至第P次碰撞過程中的等效加速度為

(29)

第P次碰撞時(shí)的速度V為

(30)

由此確定影響加速度和速度的因素有七個(gè)，分別是恢復(fù)系數(shù)e，碰撞次數(shù)P，棍子質(zhì)心距h，棍子長(zhǎng)度l，棍子根數(shù)n，起落高度H，棍子與水平面的夾角θ。

3 仿真模擬

為了直觀的看到快鏈條“快”的特性，歷史上也采用過不同的方法，于同旭提到過用平滑濾波消除實(shí)驗(yàn)噪聲觀察測(cè)量臺(tái)面度數(shù)的方法，但是這種方法并沒有直接體現(xiàn)出“快”的特性。

也有實(shí)驗(yàn)[12]將鏈條和剛性小球在同一高度同時(shí)釋放，通過在圖像來對(duì)比各個(gè)階段兩物體的相對(duì)位置來確定鏈條油加速現(xiàn)象。

圖4 圖像觀察到的快鏈條現(xiàn)象

但我們發(fā)現(xiàn)這種方法存在兩個(gè)問題。

(1) 小球和鏈條整體受到的空氣阻力不同，在實(shí)驗(yàn)進(jìn)行的過程當(dāng)中，我們可以明顯地看到由于空氣阻力的存在，連接鏈條間的繩子會(huì)出現(xiàn)明顯的彎曲現(xiàn)象，而單純的用繩子穿過一組質(zhì)量較大的小球便沒有這樣的現(xiàn)象(圖4)。從理論上來說，球體的迎風(fēng)面積較小，而鏈條每個(gè)鏈節(jié)的迎風(fēng)面積都比較大，另外起連接作用的繩子本身受到的空氣阻力也是很大的。

(2) 小球和鏈條在釋放的時(shí)候同步性難以保證，需要比較精確的釋放裝置。

我們注意到這樣的加速現(xiàn)象實(shí)際上和與地面的碰撞過程緊密相關(guān)，所以我們?cè)O(shè)計(jì)了一組仿真實(shí)驗(yàn)，并且利用直觀的沙盤式仿真軟件軟件Algoodoo進(jìn)行了過程模擬，比較直觀地展現(xiàn)了加速現(xiàn)象，也很直接地顯示了這種加速現(xiàn)象和鏈條與平臺(tái)的碰撞相關(guān)性(圖5和圖6)。

圖5 Aldogoo快鏈條模型

圖6 Algodoo快鏈條仿真

定量研究方面，我們根據(jù)理論進(jìn)行了如下的仿真模擬。

考慮到空氣阻力及釋放方式等帶來的較大誤差，我們?cè)谶@里的仿真分析將不考慮快鏈條效應(yīng)下的自由落體加速度的值設(shè)置為預(yù)實(shí)驗(yàn)條件下測(cè)得的快鏈條加速的近似值9m/s2。

圖7中，灰線表示快鏈條加速度，黑線表示快鏈條的速度，虛線表示自由落體加速度，點(diǎn)線表示自由落體的速度。圖7縱坐標(biāo)只表示數(shù)值而不考慮單位。

圖7 碰撞次數(shù)對(duì)加速度、速度的影響

3.1 碰撞次數(shù)P對(duì)快鏈條運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響

在控制其余參數(shù)不變的情況下根據(jù)式(29)和式(30)做出圖7，圖中灰線是快鏈條加速度，可以看到在此條件下維持在11m/s2左右，虛線則是不考慮快鏈條效應(yīng)下的加速度。相應(yīng)的速度如圖中黑線和點(diǎn)線所示，可以看到明顯的“加速”效應(yīng)。

圖8 與地面夾角對(duì)加速度、速度的影響

3.2 棍子與水平面的夾角θ對(duì)快鏈條運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響

從圖8可以直觀地看到快鏈條的加速度和速度大小隨著其桿與地面夾角的變化成波動(dòng)的形態(tài)，并且約以5°為一個(gè)周期。整體呈下降的趨勢(shì)，并且在54.7°左右時(shí)和正常下落加速度無異。

這里需要注意的是，0°時(shí)的情況并不在本文式子所適用的條件范圍下，上文有說明。

3.3 恢復(fù)系數(shù)e對(duì)快鏈條運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響

由圖9中可以看到快鏈條加速度和其與碰撞面間的摩擦因素存在一定的正相關(guān)性。

3.4 起落高度H對(duì)快鏈條運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響

圖10 起落高度對(duì)加速度、速度的影響

從圖10中可以看到起落高度越高，快鏈條的加速度越大，但是此函數(shù)存在凹性讓起落高度對(duì)其加速度的影響隨高度值增加越來越小。

3.5 棍子長(zhǎng)度l對(duì)快鏈條運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響

從圖11灰色曲線可以看到快鏈條加速度隨著棍子長(zhǎng)度的增加而減小。

圖11 木棍長(zhǎng)度對(duì)加速度、速度的影響

3.6 棍子質(zhì)心距h對(duì)快鏈條運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響

從圖12可以看到快鏈條加速度隨著棍子質(zhì)心距的增加而增大。

圖12 中心距對(duì)加速度、速度的影響

3.7 棍子根數(shù)n對(duì)快鏈條運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響

圖13 棍子根數(shù)對(duì)加速度、速度的影響

從圖13可以看到快鏈條加速度隨著其棍子根數(shù)的增加而減小。

4 實(shí)驗(yàn)

之前的很多理論和實(shí)驗(yàn)重心[12-16]放在力上，前文也提到了這種方法由力傳感器的產(chǎn)生的誤差比較大。R.Moreno, A.Page[17]提出用視頻直接分析運(yùn)動(dòng)的方式來研究此類變質(zhì)量物體的運(yùn)動(dòng)特性，他研究的是如圖14所示的情形，取得了比較好的結(jié)果。

圖14 視頻分析法

我們把這種方法運(yùn)用到我們的情形中進(jìn)行如下實(shí)驗(yàn)。

實(shí)驗(yàn)裝置與實(shí)驗(yàn)環(huán)境如圖15和圖16所示。

實(shí)驗(yàn)所用的木棍直徑均為1cm，長(zhǎng)度隨實(shí)驗(yàn)的不同而定，木棍采用沒有彈性的鞋線連接，木棍與繩子之間采用熱熔膠連接固定。

圖15 實(shí)驗(yàn)裝置與實(shí)驗(yàn)環(huán)境1

圖16 實(shí)驗(yàn)裝置與實(shí)驗(yàn)環(huán)境2

用每秒240幀的攝像機(jī)錄下鏈條下落的整個(gè)過程，導(dǎo)入到Tracker軟件中分析，如圖17所示。

圖17 實(shí)驗(yàn)視頻及實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析1

圖18 實(shí)驗(yàn)視頻及實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析2

首先我們制作了木棍總數(shù)為16，木棍長(zhǎng)度為0.25m，中心距為0.2m，棍與地面夾角約呈27.8°的鏈條。并且通過增墊不同類紡織品設(shè)置恢復(fù)系數(shù)e=0.01，連接釋放長(zhǎng)度調(diào)整繩控制起落高度H=1來控制實(shí)驗(yàn)環(huán)境與仿真相符。根據(jù)Tracker逐幀的速度，加速度數(shù)據(jù)采集可以得到如圖12所示的散點(diǎn)圖，與仿真曲線對(duì)比可看到在碰撞次數(shù)小于6時(shí)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和仿真符合較好，碰撞次數(shù)較大后出現(xiàn)的數(shù)據(jù)會(huì)因底端堆積木棍的增加所造成的二次碰撞等因素失真。

當(dāng)固定碰撞次數(shù)為10次，其他參數(shù)不變時(shí)。通過連接于釋放端的繩和掉落端的標(biāo)尺來調(diào)整起落高度，得到了如圖13的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，與仿真模擬符合較好。

當(dāng)固定起落高度為1m,其他參數(shù)不變時(shí)，制作了4組不同中心距的木棍，經(jīng)過多次試驗(yàn)得到了如圖14的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，與仿真模擬符合較好。

當(dāng)固定中心距0.2m不變(此處由于增加木棍根數(shù)帶來的長(zhǎng)度增加，考慮到場(chǎng)地限制的情況下采用較小的中心距)。在其他參數(shù)不變的情況下制作了木棍根數(shù)分別為16,19,22,26,30的鏈條。實(shí)驗(yàn)所得圖像15仍可以看到隨著木棍數(shù)量的增多，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)存在失真的情況。

由于碰撞恢復(fù)因素和棍子長(zhǎng)度控制涉及比較大的工作量，暫時(shí)未進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究。

在做實(shí)驗(yàn)的過程中，我們能夠容易發(fā)現(xiàn)地面堆積的木棍會(huì)對(duì)整個(gè)快鏈條有所影響，這里并沒有測(cè)量地面恢復(fù)系數(shù)，是因?yàn)樵谀竟鞫逊e了幾根之后，上方的木棍再落下來時(shí)，已經(jīng)觸碰不到下面的地面了，因此只在木棍與木棍之間發(fā)生碰撞。但木棍碰撞的情況確實(shí)比較復(fù)雜，因此這里不考慮堆積的情況。

表1和圖19是碰撞次數(shù)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果的對(duì)比。

表1 碰撞次數(shù)與加速度、速度的關(guān)系

圖19 碰撞次數(shù)與加速度、速度的關(guān)系

表2和圖20是起落高度的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果的對(duì)比。

表2 起落高度與加速度、速度的關(guān)系

圖20 起落高度與加速度、速度的關(guān)系

表3和圖21是中心距的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果的對(duì)比。

表3 中心距與加速度、速度的關(guān)系

圖21 中心距與加速度、速度的關(guān)系

表4和圖22是木棍總數(shù)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果的對(duì)比。

表4 木棍總數(shù)與加速度、速度的關(guān)系

5 結(jié)論

本文章通過回顧里維柔性物體力學(xué)問題的發(fā)展歷程，發(fā)現(xiàn)在一些場(chǎng)景中“連續(xù)性”假設(shè)失效帶來的問題，于是嘗試構(gòu)建離散的物理模型，重點(diǎn)研究此物理模型下落的力學(xué)特性。通過預(yù)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了快鏈條現(xiàn)象的存在，建立了快鏈條的數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)出快鏈條下落的加速度、速度與相關(guān)變量的關(guān)系表達(dá)式，并做了一定的仿真分析。通過多組實(shí)驗(yàn)定量研究了恢復(fù)因數(shù)、木棍總數(shù)、木棍長(zhǎng)度、木棍傾角、木棍中心距、起落高度等因素對(duì)快鏈條下落的加速度和速度的影響，并實(shí)驗(yàn)論證了理論的正確性。

空氣阻力，地面木棍堆積，繩子與木棍連接處熱熔膠，下落高度，Tracker幀數(shù)和數(shù)據(jù)處理等存在的誤差等會(huì)導(dǎo)致部分實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)偏離理論曲線的況，這些都將造成實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和理論分析不能嚴(yán)格吻合。

關(guān)于木棍堆積產(chǎn)生的誤差，實(shí)驗(yàn)時(shí)也有采用過在下方墊一塊三角木塊，使得木棍落下來之后能滾下去，但是這又會(huì)產(chǎn)生斜碰撞的問題，增加了分析的理論難度，因此希望能夠在以后的研究中優(yōu)化對(duì)這些誤差的處理，做更加精確的實(shí)驗(yàn)或者在理論中嘗試添加新的誤差項(xiàng)。本文只做出了一種情形的鏈條的“離散化分析”，同樣可以按照同樣的方法，研究其他下落情形的鏈條的特點(diǎn)。

最后，本文做了一些猜想，當(dāng)木棍長(zhǎng)度足夠小時(shí)，木棍可以近似為一個(gè)有質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)，這時(shí)不會(huì)發(fā)生類似于木棍碰撞地面時(shí)產(chǎn)生的微小旋轉(zhuǎn)，不存在對(duì)繩子的拉扯，因此質(zhì)點(diǎn)鏈條仍然會(huì)以自由落體的方式向下墜落。而如果在質(zhì)點(diǎn)的基礎(chǔ)上，把輕繩的長(zhǎng)度減小為零，也就是有質(zhì)量的點(diǎn)直接連接在一起，成為一根連續(xù)均質(zhì)量的鏈條，這時(shí)候的情況很復(fù)雜，因?yàn)殒湕l的堆疊會(huì)對(duì)鏈條產(chǎn)生十分大的影響，例如碰撞時(shí)鏈條上的點(diǎn)會(huì)向水平方向運(yùn)動(dòng)，從而拉動(dòng)正在下落的鏈條，導(dǎo)致加速度的增大。此處只是提供了這樣一種假設(shè)，后續(xù)可對(duì)此種鏈條進(jìn)行研究。

本文最想強(qiáng)調(diào)的還是在研究鏈條問題時(shí)的一種新思路，既拋棄連續(xù)性假設(shè)和微分方程的經(jīng)典方法，轉(zhuǎn)而尋找合適的離散物理模型定量研究問題。