從知識的“三度空間”提升數學教師的專業素養

梁清 彭剛

摘 要 數學教師的專業知識既是保證教學效果的前提，更是提升自身專業素養的基礎。然而，在教學實踐中，大部分中學數學教師的數學專業知識僅拘囿于教材知識，而忽略了數學知識的廣度、深度與高度，這是不利于師生的可持續發展的。為了更好地提升教師的專業知識水平，中學數學教師可著眼于數學知識的廣度、深度和高度，多維度增加知識容量，提升自身的專業素養。

關鍵詞 數學教師 三度空間 專業素養

中圖分類號：G451? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A? DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2019.10.036

Abstract The professional knowledge of mathematics teachers is not only a prerequisite for ensuring the teaching effect， but also a basis for improving their professional quality. However， in the teaching practice， the mathematics professional knowledge of most middle school mathematics teachers is only limited to the knowledge of teaching materials， but ignores the breadth， depth and height of mathematics knowledge， which is not conducive to the sustainable development of teachers and students. In order to better improve the professional knowledge of teachers， middle school mathematics teachers can focus on the breadth， depth and height of mathematics knowledge， increase the knowledge capacity in multiple dimensions， and improve their professional quality.

Keywords mathematics teacher; three-dimensional space; professional literacy

0 前言

《國家中長期教育改革和發展規劃綱要（2010-2020年）》中提出要“提高教師業務水平，包括專業水平及教學能力。”[1]教師的“專業水平”指導著“教什么”，“教學能力”指導著“怎么教”，而“教什么”是“怎么教”的前提。換言之，教師的專業知識素養水平是舉足輕重的。中學數學教師若想提升自身專業素養，則應擴大知識領域，而非滿足于教材表層的知識。數學教師可嘗試從不同維度挖掘，拓展延伸數學知識的“廣度、深度和高度”，即可著眼于數學知識的立體三度空間（如圖1）來增加自身知識容量，進而對數學科知識內容有更通透的認識和把握，更好地進行教學。

1 廣度提升——把握結構體系，統籌整體脈絡

《普通高中數學課程標準（2017）》提出“教師應不僅關注每一節課的教學目標，更要關注主題、單元的教學目標，整體把握教學內容。”[2]即教師不僅要從微觀層面掌握每個知識點，也應從中觀層面理清整個單元知識結構，更應要能夠宏觀地把握分支學科的結構體系，統籌認識其整體脈絡，拓展知識廣度。

案例1：高中數學的解析幾何的內容結構是何？

中學數學的解析幾何，主要是利用直角坐標系以及極坐標系來研究直線和圓錐曲線的方程及性質。概括而言，高中解析幾何主要是利用坐標法來解決兩種問題：其一是通過給定條件點的軌跡，借助坐標系求其方程;其二是通過方程研究該曲線的性質。

高中數學的解析幾何整體知識結構如圖2。

數學教師應懂得透過零散的現象，能把零碎的知識關聯起來，把握知識的結構框架與體系，進而明晰教學思路，有層次地展開教學。

2 深度提升——挖掘思想方法，滲透數學文化

《普通高中數學課程標準（2017）》中指出“數學文化包括數學的思想、精神、語言、方法、觀點等”，[2]強調把數學文化融入學習。在顯性數學知識后面，常常隱藏著數學文化的重要部分——數學思想方法。數學思想是對數學事實和理論知識抽象概括后產生的本質認識。[3]數學方法是指用數學語言描述事物的狀態、關系和過程，是為了解決數學問題而采取的程序、途徑和行為方式。[4]在運用數學知識和數學方法解決問題時，數學思想借助數學方法體現出來并起指導性作用。實踐中，明線的數學知識的教學，是師生從直觀的角度去學習具體的知識;暗線的數學思想方法的教學，是初步掌握數學知識，然后借助習題等方式去掌握方法和技巧，最后進一步領悟思想，滲透數學文化。只有培養學生的數學思想方法，才能真正提升學生的素養水平和數學能力。

案例2：圓錐曲線教學中隱藏的數學思想方法有何？

圓錐曲線內容隱含的數學思想方法主要有數形結合、類比、函數與方程、轉化與化歸和分類討論等。[5]“數形結合”是把圓錐曲線的幾何性質與平面圖形的幾何性質結合起來，數和形相輔相成，優化解題技巧。“類比”主要體現在橢圓、雙曲線和拋物線的定義和簡單幾何性質教學上，通過類比、區別和聯系進行研究。“函數與方程”主要是用于研究變量的最值問題和取值范圍上，通過建立函數關系，轉化為值域等問題。“轉化與化歸”是要將圓錐曲線相關問題轉化為其他等量（或不等）關系上，如與平面向量、基本不等式等知識聯合。“分類討論”是考查解題的嚴謹性，如對直線斜率是否存在、離心率的取值范圍等問題的周全考慮。

圓錐曲線知識隱含的主要數學思想方法如圖3。

數學教師要挖掘知識的深度，透過表層數學知識掌握內在數學思想方法，并滲透數學文化。數學學習的根本目是讓學生掌握數學思想方法，在教學中，除了讓學生掌握知識結論之外，教師更要滲透數學思想方法，帶領學生站高望遠。

3 高度提升——運用高觀點導教，以延伸知識護航

高觀點是指用高等數學或現代數學的思想和觀點來看待中學初等數學問題，指站在更高更寬的知識體系中去認識和理解下位知識，并以此來指導教學。[6]中學數學教材中的不少概念是以描述性的形式呈現的，一般給出的是概念的外延，而對于概念的內涵則很少講清楚。鑒于中學生的生理和心理發展不夠成熟的特征，這樣的概念描述雖可能不夠絕對嚴謹，但可認為是合理的。然而作為中學數學教師，不應只滿足于中學教材中的知識，應提升知識高度，為教學保駕護航。如若局限于教材書本，那么對概念的理解亦是不夠徹底的。另外，如若教師長期只是接觸教材中的知識內容，沒有觸類旁通，則其思維容易固化生銹，思考問題會不夠靈活或不夠全面，最終會影響對學生思維的培養。教師只有具備更高的觀點，才能更有效的指導教學。

案例3：頻率的極限就是概率嗎？

在高中數學人教A版必修3中概率的定義是：相同條件下重復次試驗，如果隨著試驗次數的增加，事件發生的頻率會穩定在某個常數上，則稱為事件的概率。

此處的問題是上述的“穩定在某個常數上”該如何理解？能否說頻率的極限即為概率？亦即在次重復試驗中，是否有“對于使得當時，有成立？即是否恒成立？”事實上并不能如此理解，如在試驗中是有可能出現的情況的，即，此時當時，即使足夠大，也不能使得當時有成立，即是有可能發生的，只是說當足夠大時，其發生的可能性會非常小。當重復試驗次數足夠大時，用頻率估算概率產生的誤差就足夠小，即有。

做為教師，不應該籠統地告訴學生“可以用頻率去估算概率”，而應清楚它們的區別和聯系。要讓學生明白概率是一個具體確定的數，不因試驗而改變;頻率在試驗之前是不確定的，做一樣次數的同一個試驗，事件A發生的頻率也可能是不同的，即頻率具備不確定性，但頻率是具有穩定性的，即當試驗次數慢慢增大，頻率就慢慢穩定于概率。

教師只有站在更高的位置，持有更高的觀點，才能更充分地認識知識的內涵。特別是對于中學數學中涉及到大學高等數學的一些拓展性和衍生性知識的理解和把握，不僅能提升自身知識水平的高度，也能讓自己的教學目光更遠大，進而能更好地開展教學。

4 結語

每一個數學教師都有自己需提升的方向，根據需求選擇合適的方法，不斷拓展自身的數學知識。教師在提升自身數學專業素養水平時，可以參考從數學知識的廣度結構、深度思想方法和高度觀點來擴充知識容量，平時可多研究現代數學知識內容，不斷提升專業素養水平，服務于教學。

（1）宜游目騁懷，防目光如豆。數學教師要拓展知識廣度，則應弄清學科分支知識結構，要能夠以點連線，以線成面，織造發散的知識網。應縱目四望，打開視野，防止緊盯單個知識點，零散教學。教育家布魯納特別指出學科結構的重要性，那么作為數學教師，則首先要自己清楚知識的整體脈絡結構，能以零串整，讓各知識點不再孤立、分散，從而對教學內容有一個整體的規劃。

（2）應鉤深索隱，忌蜻蜓點水。對于教材呈現出來的知識內容，數學教師應該要能透過現象看到本質，不能只是停留在淺層面的理解上，應深挖探索知識后面的隱性數學思想方法，帶領學生掌握數學的靈魂。作為教師，首先自己要清楚在顯性的知識內容的后面有哪些深度隱性的數學思想方法，才能更好地提升學生的解題技巧和提高學生的數學思維。

（3）宜登高望遠，避坐井觀天。井蛙焉知天地之大哉。只有站得更高，才能領略更美的風景。在教學中亦是如此，具備更高的觀點，看問題就會更全面、更透徹。數學教師不應只滿足于中學初等數學的知識，應該多看看高等數學的內容，并非說要教中學生很難的高等數學，而是讓自己的知識立足點更高，能更有效地指導教學。

參考文獻

[1] 中華人民共和國教育部.國家中長期教育改革和發展規劃綱要（2010-2020年）[M].北京：人民出版社，2010.

[2] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[3] 李祎.提高教師數學素養的“六維度”[J].數學通訊，2012（10下）.

[4] 陸曉晶.小學數學教師數學素養的培養[J].人文之友，2018（9）.

[5] 任佩文，張強，霍文明.2018年高考“圓錐曲線與方程”專題命題分析[J].中國數學教育，2018（7-8）.

[6] 林毅.基于教師專業發展的高觀點數學知識研究[D].福建師范大學，2015.5.