一次函數的實際應用分類例析

吳婷婷

[摘? ?要]基于一次函數的圖像應用類問題、表格信息類問題和文字信息類方案最優問題三類問題探討一次函數的實際應用，以提高學生解決實際問題的能力.

[關鍵詞]一次函數;圖像;表格;文字

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）17-0033-02

一次函數在日常生活中有著廣泛的應用，也是中考數學的命題熱點，主要涉及以下三類問題：圖像應用類問題、表格信息類問題和文字信息類方案最優問題.下面舉例說明.

一、圖像應用類問題

這類問題要求考生從一次函數圖像中讀出有關信息，并利用這些信息解決問題.

[例1]學校與圖書館在同一條筆直道路上，甲從學校去圖書館，乙從圖書館回學校，甲、乙兩人都勻速步行且同時出發，乙先到達目的地.兩人之間的距離y（米）與時間t（分鐘）之間的函數關系如圖1所示.

（1）根據圖像信息，當t=________分鐘時甲、乙兩人相遇，甲的速度為________米/分鐘;

（2）求出線段AB所表示的函數表達式.

解析：（1）根據圖像信息，當[t=24]分鐘時，甲、乙兩人相遇，甲60分鐘行駛2400米，所以甲的速度為[2400÷60=40（米/分鐘）];

（2）因為甲從學校去圖書館，乙從圖書館回學校，甲、乙兩人都勻速步行并同時出發，在[t=24]分鐘時兩人相遇，所以他們的速度之和為[2400÷24=100（米/分鐘）]，故乙的速度為[100-40=60（米/分鐘）]，乙從圖書館回學校的時間為[2400÷60=40]（分鐘），又[40×40=1600]，所以A點的坐標為（40，1600）.

設線段AB所表示的函數表達式為[y=kt+b]，

因為 A（40，1600），B（60，2400），

所以 [40k+b=1600 ，60k+b=2400 ，?k=40 ，b=0 .]

故線段AB所表示的函數表達式為y=40t（[40≤t≤60]）.

點評：本題主要考查一次函數圖像的實際應用，利用路程、速度、時間的關系和待定系數法來確定函數的解析式，難度一般.解答這類問題的關鍵是讀懂題目信息，并從圖像中獲取有關信息來解決實際問題.

二、表格信息類問題

這類問題以表格形式給出，要求考生利用表格數據建立一次函數，并利用一次函數解決相關問題.

[例2]數學興趣小組研究某型號冷柜溫度的變化情況，發現該冷柜的工作過程是：當溫度達到設定溫度? ? ?-20 ℃時，制冷停止，此后冷柜中的溫度開始逐漸上升，當上升到-4 ℃時，制冷開始，溫度開始逐漸下降，當冷柜自動制冷至-20 ℃時，制冷再次停止……按照以上方式循環進行.

同學們記錄了44 min內15個時間點冷柜中的溫度y（℃）隨時間x（min）的變化情況，制成下表：

[時間[x]/min … 4 8 10 16 20 21 22 溫度[y]/℃ … -20 -10 -8 -5 -4 -8 -12 時間[x]/min 24 28 30 36 40 42 44 … 溫度[y]/℃ -20 -10 -8 -5 -4 [a] -20 … ]

（1）通過分析發現，冷柜中的溫度y是時間x的函數.

①當4 ≤ x [<] 20時，寫出一個符合表中數據的函數表達式;

②當20 ≤ x [<] 24時，寫出一個符合表中數據的函數表達式;

（2） [a]的值為;

（3）如圖2，在直角坐標系中，已描出了上表中部分數據對應的點，請描出剩余數據對應的點，并畫出當4 ≤x ≤ 44時溫度y隨時間x變化的函數圖像.

解析：（1）①因為4 ×（-20）= - 80，8 ×（-10）= -80，10 ×（-8）= - 80，16 × （-5）= -80，20 × （- 4）= -80，所以當4 ≤ x [<] 20時，[y=-80x].

②當20 ≤ x [<] 24時，設[y]關于[x]的函數解析式為[y=kx+b]，將（20，-4）和（21，-8）代入上面函數解析式，得

[20k+b=4 ，21k+b=-8 ，?k=-4 ，b=76 ，]所以[y=-4x+76].

（2）從表格中的數據變化規律，可知該冷柜的工作周期為20 min，因為當x = 42時，與x = 22時的y值相同，所以[a] = -12.

（3）描點、連線，畫出函數圖像如圖3所示.

點評：函數的表示方法有三種：圖像法、列表法和解析法.本題運用列表法，借助表格數據表示函數關系.本題歸根結底是考查一次函數的表示法和意義.

三、文字信息類方案最優問題

利用一次函數解決生活中的最優化問題，最能體現數學的實用性，因此此類問題在中考命題中“出鏡率”極高.

[例3]江漢平原享有“中國小龍蝦之鄉”的美稱，甲、乙兩家農貿商店，平時以同樣的價格出售品質相同的小龍蝦，“龍蝦節”期間，甲、乙兩家商店都讓利酬賓，付款金額y甲、y乙（單位：元）與原價x（單位：元）之間的函數關系如圖4所示.

（1）直接寫出y甲，y乙關于x的函數關系式;

（2）“龍蝦節”期間，如何選擇甲、乙兩家商店購買小龍蝦能更省錢？

解析：（1）設[y甲][=kx，]把（2000，1600）代入，得[2000x=1600]，解得[k=0.8，]則[y甲][=0.8x;]當[0

當[x≥2000]時，設[y乙][=mx+n]，把（2000，2000），（4000，3400）代入，

得[2000m+n=2000 ，4000m+n=3400 ，?m=0.7 ，n=600 ，]

所以[y乙]=[x ，（0

（2）當[00.7x+600]，解得[x>6000];若到甲、乙兩商店購買一樣省錢，則[0.8x=0.7x+600]，解得[x=6000].

故當購買金額按原價小于6000元時，到甲商店購買更省錢;當購買金額按原價大于6000元時，到乙商店購買更省錢;當購買金額按原價等于6000元時，到甲、乙兩商店購買花錢一樣.

點評：這類問題往往涉及比大小，因此解答時需用到分類討論思想和一元一次不等式，體現了一次函數與一元一次不等式之間的內在聯系.

從以上三類問題不難得到，用一次函數解決實際問題的一般步驟為：首先，讀懂題意，設出待求問題中的變量;其次，建立一次函數關系式模型;第三，確定自變量的取值范圍;最后，將一次函數與方程或不等式（組）結合，從而解決實際問題.

（特約編輯 安? ? 平）