改進非等間距GM(1,1)-BP模型的導彈退化狀態(tài)預測*

徐廷學，劉崇屹，朱桂芳，唐玲，劉沛紋

(1.海軍航空大學,山東 煙臺 264001；2.中國人民解放軍92957部隊，浙江 舟山 316000； 3.中國人民解放軍92095部隊，浙江 臺州 318050)

0 引言

導彈系統(tǒng)中某些部件的性能退化是影響導彈作戰(zhàn)效能的關鍵因素。利用導彈部件的相關狀態(tài)信息準確預測其狀態(tài)發(fā)展趨勢，在故障發(fā)生前進行有計劃的科學合理的維修，可以克服傳統(tǒng)維修方式帶來的“維修過剩”和“維修不足”等問題，對提高導彈的戰(zhàn)備完好性具有十分重要的意義。

導彈在貯存狀態(tài)下的測試數(shù)據(jù)往往是不等時間間隔的[1]。在進行導彈退化狀態(tài)的預測時，傳統(tǒng)非等間距灰色模型因其對趨向性數(shù)據(jù)的預測優(yōu)越性而得到廣泛的應用[2-4]，然而由于該模型的自身局限性問題，在數(shù)據(jù)適應性和預測精度方面往往達不到人們的期望。王大鵬[5]針對傳統(tǒng)灰色模型在中長期預測中精度不高的問題，通過緩沖算子對數(shù)據(jù)進行預處理，強化了發(fā)展趨勢，提高了精度，但是預測精度的改善有限。孔垂猛[6]將灰色模型與馬爾可夫模型相結合，使模型序列更適用于波動性較強的數(shù)據(jù)序列預測，卻是以犧牲預測精度為代價的。吳利豐[7]對離散灰色模型進行了改進，提高了預測精度，但是算法較為復雜。考慮到BP神經網絡在處理隨機性和非線性數(shù)據(jù)時有很大的優(yōu)勢[8-9]，可以填補灰色模型難以把握波動性較大等非線性復雜問題的缺陷，因此，將BP神經網絡與灰色模型相結合，以期實現(xiàn)二者的優(yōu)勢互補，提高數(shù)據(jù)適應性和預測精度。

基于以上分析，本文提出了一種基于改進非等間距GM(1,1)-BP模型的導彈退化狀態(tài)預測方法。首先，提出一種權值搜索的背景值構造方法，然后以原始序列和擬合序列的一次累加生成序列的平均相對誤差絕對值最小為目標對初始條件進行優(yōu)化，結合新陳代謝思想實現(xiàn)對傳統(tǒng)非等間距GM(1,1)模型的改進，減小擬合誤差，提高模型精度。進而構造灰色模型擬合值與實際值的差值序列，最后采用滾動預測法建立差值序列的BP神經網絡預測模型，還原得到最終預測值。通過導彈的預測實例對本文提出模型的預測性能進行驗證。

1 改進非等間距GM(1,1)模型的構建

1.1 傳統(tǒng)非等間距GM(1,1)模型的建立

設原始序列X(0)(ti)={x(0)(t1),x(0)(t2),…,x(0)(tn)}，時間間隔Δti=ti-ti-1(i=2,3,…,n)不等于常數(shù)，則序列X(0)(ti)為非等間距序列。

若X(0)(ti)與X(1)(ti)滿足準光滑性檢驗、準指數(shù)規(guī)律檢驗和級比檢驗，則X(1)(ti)序列具有指數(shù)增長的規(guī)律，即滿足一階線性微分方程：

(1)

稱為模型的白化微分方程。

對應的灰微分方程為

x(0)(ti)Δti+az(1)(ti)=bΔti,

(2)

參數(shù)a和b的最小二乘估計為

式中：

若規(guī)定x(1)(t1)=x(0)(t1)，則白化微分方程的時間響應函數(shù)為

(3)

(4)

1.2 非等間距GM(1,1)模型的優(yōu)化

1.2.1 誤差原因分析

根據(jù)非等間距GM(1,1)模型的建模過程可知，非等間距GM(1,1)模型的模型精度與發(fā)展系數(shù)a與灰色作用量b以及待定常數(shù)c的選取有關。其中，a和b取決于原始序列和背景值的構造；計算c時，是以x(1)(t1)=x(0)(t1)為前提條件的，事實上二者并不一定相等，因此需要對初始條件進行優(yōu)化。

1.2.2 權值搜索的背景值優(yōu)化

由此受到啟發(fā)，在非等間距GM(1,1)模型(圖2)的構造過程中，將時間間隔因素Δti考慮進來，仍用梯形面積abcd近似計算背景值：

(5)

顯然，存在當曲線急劇增長造成的偏差ΔS過大的問題，此外，由于x(1)(ti)和x(1)(ti-1)的權值各占0.5，是一種等值分配，實際過程中由于時間間隔的不對稱等因素，相鄰2個x(1)(ti)值不一定是等權的，存在一定的不合理性。在文獻[12]引入的動態(tài)適應因子r(0≤r≤1)基礎上，本文構造背景值為

z(1)(ti)=[(1-r)x(1)(ti)+rx(1)(ti-1)]Δti.

(6)

并且，以擬合值相對于實際值的平均相對誤差絕對值達到最小為目標，提出一種權值搜索的背景值優(yōu)化方法。

步驟如下：

Step 1:令r=0，計算模型的平均相對誤差絕對值

Step 2:使r有一個較小的增加量，即r=r+Δr，計算此時的平均相對誤差絕對值。

Step 3:利用計算機強大的計算功能重復Step 2，直至r=1。

Step 4:比較各個r對應的平均相對誤差絕對值，最小的平均相對誤差絕對值對應的r′值即為所求。代入式(5)得到優(yōu)化后的背景值為

z(1)(ti)=[(1-r′)x(1)(ti)+r′x(1)(ti-1)]Δti.

(7)

1.2.3 初始條件優(yōu)化

傳統(tǒng)的非等間距GM(1,1)模型選取原始序列的第一個數(shù)據(jù)作為模型的初始值，已有學者[13]證明這種方式不能保證整個擬合序列的誤差最小，反而還浪費了原始序列的第一點信息。現(xiàn)有的改進方法主要包括3種：①以原始序列x(0)(tm)(1≤m≤n)或者帶有修正項的x(0)(tm)+c(1≤m≤n)作為初始條件[14]；②以原始序列每一個數(shù)據(jù)非等加權的和s1x(0)(t1)+s2x(0)(t2)+…+snx(0)(tn)作為初始值[15]； ③以原始序列和擬合序列的誤差平方和或者相對誤差平方和等衡量標準最小為約束條件[11]。

本文在背景值以平均相對誤差絕對值最小為目標的基礎上，仍以平均相對誤差絕對值最小作為約束條件，優(yōu)化模型，進一步減小擬合誤差，提高模型精度。

由白化微分方程(3)可知其解為

(8)

離散化，

(9)

那么，優(yōu)化模型建立的時間響應函數(shù)為

(10)

(11)

i=2,3,…,n.

(12)

1.2.4 新陳代謝預測

在非等間距GM(1,1)模型的實際應用中,新數(shù)據(jù)的加入帶來新的擾動和不確定因素，系統(tǒng)會發(fā)生新的變化。距離時間原點越近的數(shù)據(jù)對預測的貢獻越大，隨著時間的推移，遠離時間原點的老數(shù)據(jù)的信息意義不斷降低。因此，模型在不斷補充新數(shù)據(jù)的同時應該及時去掉老數(shù)據(jù)，不僅保證了最優(yōu)的信息量，而且縮小了灰平面，提高預測精度。

本文對非等間距GM(1,1)模型進行等維處理，構造新陳代謝非等間距GM(1,1)模型對時刻tn+1至tn+h進行預測：

2 改進非等間距GM(1,1)-BP模型的構建

2.1 BP神經網絡結構及算法

BP神經網絡是由輸入層、隱含層和輸出層3個層次組成的一種前饋型神經網絡。各層由若干個神經元構成，每一層上的神經元通過權重與相鄰層上的神經元相連，每個神經元的輸出值由輸入值、閾值和作用函數(shù)決定。

假設輸入向量X有n個元素，X=(x1,x2,…,xi,…xn)T，隱含層輸出向量為Y=(y1,y2,…,yj,…ym)T，輸出層輸入向量為Z=(z1,z2,…,zk,…zl)T。從輸入層到隱含層依次對應的權值向量集合為V=(v1,v2,…,vj,…vn)T，其中vj表示隱含層中第j個神經元所對應的權值向量；從隱含層到輸出層依次對應的權值向量集合為W=(w1,w2,…,wk,…wl)T，其中wk表示輸出層中第k個神經元所對應的權值向量。

對于隱含層有

(13)

對于輸出層有

(14)

式(13),(14)中的f(x)為傳輸函數(shù)。

BP神經網絡的學習算法包括2個方面：信號的正向傳播和誤差的反向傳播。即根據(jù)最小二乘原理和梯度搜索技術，先將輸入信息從輸入層經隱含層正向傳播至輸出層，判斷輸出層是否得到期望的輸出，如果不能，那么將輸出值與期望值相比得到誤差信號，誤差信號經原來的路線反向傳播的同時修正各層的連接權值和閾值，如此循環(huán)往復，直至實際輸出值與期望值的均方誤差最小為止[16]。

2.2 改進非等間距GM(1,1)-BP預測模型

灰色模型能夠較好的預測數(shù)據(jù)變化的總體趨勢,適用于發(fā)展態(tài)勢明顯的復雜問題，但是對于其他復雜形式的非線性函數(shù)或者突變情況擬合性能不是很理想，準確度普遍不高。然而,實際應用中數(shù)據(jù)變化往往是復雜的。考慮到BP神經網絡可以以任意精度逼近非線性函數(shù),將二者取長補短,構造基于改進非等間距GM(1,1)-BP模型是可行的。

模型構造步驟如下：

Step 1:構造差值序列。

Step 2:采用滾動預測法建立差值序列的BP神經網絡預測模型。

令階數(shù)q=3，用r(i-3),r(i-2),r(i-1)(n≥i≥4)來預測r(i)的值。依次將r(i-3),r(i-2),r(i-1)(n≥i≥4)作為BP神經網絡的輸入，r(i)作為輸出，對神經網絡進行訓練。

為方便計算，利用Matlab中的歸一化函數(shù)mapminmax()分別對輸入向量和輸出向量進行歸一化處理。

理論上，三層BP神經網絡能以任意精度逼近任何非線性系統(tǒng)，因此，構建只含有一個隱含層的三層BP神經網絡。顯然輸入層神經元數(shù)目為6，輸出層為1，將隱含層神經元數(shù)目設置為10。采用Fletcher-Reeves變梯度算法作為訓練算法，考慮到實際情況，設置學習速率為0.025，動量因子為0.9，精度為0.000 01，進行5 000次迭代。

Step 3:確定最終擬合值。

Step 4:獲取最終預測值。

改進非等間距GM(1,1)-BP模型的流程圖如圖3所示。

3 預測實例及分析

以處于貯存狀態(tài)的某型導彈為研究對象，選取從2009年初至2016年底，2個關鍵參數(shù)的30組不等間隔的測試數(shù)據(jù)，如表1所示，其余性能特征參數(shù)可采用相同的方法進行預測。將前24組測試數(shù)據(jù)用于訓練學習，對后6組測試數(shù)據(jù)進行預測，并將預測結果同實際數(shù)據(jù)進行對比，以驗證本文設計的非等間距GM(1,1)-BP模型的優(yōu)越性。

利用文中提出的非等間距GM(1,1)優(yōu)化建模方法建立測試參數(shù)c1的模型。可以得到發(fā)展系數(shù)和灰色作用量分別為a= 0.361 5，b=0.859 4。改進非等間距GM(1,1)模型為

同理，測試參數(shù)c2的改進非等間距GM(1,1)模型為

表1 原始測試數(shù)據(jù)Table 1 Original test data

為了說明本文設計方法的有效性，將文獻[10]、文獻[11]、本文改進非等間距GM(1,1)模型和改進非等間距GM(1,1)-BP模型擬合結果進行比較分析，2個測試參數(shù)的擬合效果如圖4,5所示，并分別以平均相對誤差絕對值(MAPE)和殘差平方和(RSE)作為擬合性能評價指標，如表2所示。

表2 測試參數(shù)擬合結果比較Table 2 Fitting result comparison of test parameters

由圖4,5和表2可以看出，對于波動性較小的測試參數(shù)c2,本文建立的改進非等間距GM(1,1)模型能夠較好地處理非等時間間隔數(shù)據(jù)，并且擬合效果明顯優(yōu)于文獻[10]和文獻[11]建立的傳統(tǒng)模型。然而，由于灰色模型的局限性，對于波動性較大的測試參數(shù)c1而言，本文建立的改進非等間距GM(1,1)模型雖然相比于傳統(tǒng)模型精度更高，但是總體效果不理想。通過對比表2中的數(shù)據(jù)可以明顯看出，本文設計的改進非等間距GM(1,1)-BP模型擬合精度更高，且計算簡便，易于實現(xiàn)。

通過上述擬合效果的比較，本文設計的非等間距GM(1,1)模型的優(yōu)化效果顯而易見。為了進一步檢驗本文設計方法應用于預測的效果，分別運用單一改進改進非等間距GM(1,1)模型和改進非等間距GM(1,1)-BP模型對后6組數(shù)據(jù)進行預測，2個測試參數(shù)的預測結果如圖6,7和表3所示。

從圖6,7和表3中可以看出，對于退化狀態(tài)的預測，采用本文設計的方法相對于單一GM方法具有更高的預測精度。為了更直觀地對預測結果進行比較分析，采用平均相對誤差絕對值(MAPE)和預測有效度(Mp)作為預測評價指標，如表4所示。

從表4中可以看出，本文設計的改進非等間距GM(1,1)-BP模型的平均相對誤差絕對值更低，預測有效度更高，從而驗證了本文設計方法的合理性和優(yōu)越性，具有較大的實際應用價值。

表3 測試參數(shù)預測結果比較Table 3 Prediction result comparison of test parameters

表4 測試參數(shù)預測結果對比Table 4 Prediction result comparison of test parameters

4 結束語

本文結合灰色模型預測方法和神經網絡預測方法的優(yōu)勢，提出了一種基于改進非等間距GM(1,1)-BP模型的導彈退化狀態(tài)預測方法。該方法通過優(yōu)化灰色模型的背景值和初始條件，結合新陳代謝思想建立改進的灰色模型，增強了數(shù)據(jù)的規(guī)律性，再通過BP神經網絡強大的非線性擬合能力提高了預測精度，同時克服了常用預測模型無法針對非等時間間隔數(shù)據(jù)建模的問題。實例結果證明了本文設計的方法具有更高的預測精度，且計算簡便，可為狀態(tài)評估及維修決策提供可靠依據(jù)，具有不錯的工程應用前景。