探究橢圓、雙曲線的一類對偶性質

陳俐宏

橢圓與雙曲線都屬于圓錐曲線，它們在性質上體現出統一性與相似性，此類性質成為近年來高考的熱點之一.下面筆者探究了橢圓與雙曲線的一類對偶性質，與讀者共賞，

性質1

F2，A，B分別是橢圓C的左、右焦點和左、右頂點，點P是橢圓C上異于A，B兩點的任意一點，過點P作直線AP，PF1和PE，且直線AP與x=a相交于點D，則以BD為直徑的圓與直線PF，PF都相切. 證明設直線IAP：y=k（x+a），則點D的坐標為（a，2ka），BD中點E的坐標為（a，ka）.

下證以BD為直徑的圓與直線PF相切，同理可證與直線PF2相切.

證法1

∵以BD為直徑的圓的半徑為|BE=|ka|，則d=|BE|，故以BD為直徑的圓與直線PF1相切.

證法2.

∵直線BF1與以BD為直徑的圓相切，

∴與直線BF1所成角為2∠BF1E的直線PF1也與以BD為直徑的圓相切.

注∠BF1P和∠BF1E的取值范圍為[-900，900].

我們將性質l類比到雙曲線，從而得到一個對偶性質，限于篇幅，以下證明從略.

性質2 已知雙曲線c：

點F1，F2，A，B分別是雙曲線C的左、右焦點和左、右頂點，點P是雙曲線C上異于AB兩點的任意一點，過點P作直線AP， PF1和PF2，且直線A與x=a交于點D，則以BD為直徑的圓與直線PF1，PF2都相切.

推論3 已知雙曲線c：

點E，F，A，B分別是雙曲線C的左、右焦點和左、右頂點，過雙曲線C上右支異于點B的任意一點P作直線AP，P和PF2，且直線AP與x=a相交于點D，則△PFIF2的內切圓是以BD為直徑的圓.