基于改進二維Haar小波的圖像去噪算法

牟奇春

(成都職業技術學院 軟件學院， 成都 610041)

隨著個人計算機、智能手機和社交網絡的發展，圖像處理已經逐漸成為人們生活中不可或缺的一部分[1-2]。圖像處理在眾多領域得到應用，如基于視覺的植物生長監測和識別[3]、智能交通系統[4]、生物醫學成像、醫學診斷和治療操作[5-6]、多媒體應用、對象跟蹤和識別[7-8]等。

實際上，圖像在采集或傳輸過程中常被噪聲損壞，因此去噪是圖像預處理的一個重要部分，可以提高圖像質量。圖像去噪方法包括空間域濾波器和變換域濾波器[9]，最常使用的空間濾波器有優均值濾波器、高斯濾波器和中值濾波器。這些濾波器能使圖像平滑但會導致圖像邊緣模糊，另一種常用的維納濾波器需要噪聲頻譜和原始信號頻譜的細節[10]。自適應去噪濾波器則根據圖像的統計特性進行操作，并以更高的復雜度實現更好的性能[11]。基于頻域的去噪方法通常使用傅里葉變換將圖像從空間域轉換到頻域[12]，然后通過應用具有特定截止頻率的濾波器去除噪聲分量，最后使用傅里葉逆變換來獲得去噪圖像。但是，這些方法的時間復雜度較高，并且會模糊圖像的細節。與僅提供頻率信息的傅里葉變換相比，小波變換允許通過母小波的平移和頻域擴張在兩個時域中定位。小波變換不僅支持多分辨率架構，還具有稀疏性和能量壓縮的優勢[13]。小波變換可以進行與尺度相關的時頻信號定位，并進行信號分析以檢測局部信號奇異性。這些特性使小波變換成為圖像去噪的理想選擇。

文獻[14]使用基于雙樹復數小波變換的局部自適應窗雙變量模型設計了一種圖像去噪算法，然后根據鄰域系數的相關性，選擇合適的鄰域窗口大小進行圖像去噪，但該方法的計算復雜度較高。文獻[15]提出一種基于離散小波變換的圖像去噪方法，通過對比不同的小波類型對圖像實現去噪，其去噪性能比雙樹復數小波方法的性能差。文獻[16]提出一種新的分解層數和噪聲閾值的小波去噪方法，計算時不需要噪聲估計的噪聲閾值，對正負小波系數使用單獨的噪聲閾值，對近似分量進行去噪，允許靈活調整噪聲閾值，但實驗信號對信號失真的耐受性低于圖像。

針對以上圖像去噪方法的不足，本文在研究噪聲圖像的小波分解層數的基礎上，提出了改進二維Haar小波變換的圖像去噪算法。該方法使用子帶的標準偏差來確定小波變換后高頻子帶中信號能量的強弱，并以此來確定是否進行下層小波分解。此外，提出了一種新的閾值函數，比較了多個閾值方案。實驗結果表明：本文方法能實現圖像去噪，去噪效果優于其他方法。

1 二維Haar小波變換

對于二維Haar離散小波變換(discrete wavelet transform,DWT)，h(n)表示低通濾波器，g(n)表示高通濾波器。首先，通過h(n)和g(n)對圖像的每一行進行濾波，然后對濾波器結果進行頻率為2的下采樣，選擇頻率為2的下采樣參數是由于Haar DWT所要求的簡單性。之后，每個得到的列進一步通過h(n)進行低通濾波，并通過g(n)進行高通濾波。在頻率為2的下采樣之后，圖像最終被分解為4個不同的子帶。

圖1 圖像的二維Haar DWT流程

在圖1中，最終2D Haar DWT的結果為LL，LH，HL和HH四個不同的子帶，LL對應圖像的近似，HL對應圖像的水平細節，LH對應垂直細節，HH對應圖像的對角細節。可以通過使用LL，HL，LH和HH子帶數據來構造圖2所示的另一個新圖像IMG_Haar。

通過二維Haar逆離散小波變換(Inverse discrete wavelet transform,IDWT)處理IMG_Haar以獲得原始圖像。二維IDWT執行二維DWT的逆操作。對于二維IDWT，低通濾波器保持不變，但需要翻轉高通濾波器系數。此外，頻率為2的下采樣被更新為頻率為2的上采樣。

圖2 由圖像的二維 Haar子帶數據構建的新圖像

2 本文改進小波去噪方法

2.1 子帶標準差確定小波分解層數

在圖像數據[15]中，將加性高斯噪聲作為主要的不必要干擾源進行研究。在二維DWT之后，高斯噪聲在不同頻帶上彼此獨立，但隨著DWT規模的增大，噪聲能量迅速降低。另一方面，原始圖像信號在同一位置保持其局部最大值，并且在二維DWT之后其能量不會迅速降低。

假設噪聲圖像為Imgnoisy，純圖像Img和添加的白高斯噪聲G_noise可以在等式(1)中表示。

Imgnoisy=Img+G_noise

(1)

為了研究高斯噪聲的行為，假設加性高斯白噪聲具有零均值和標準差σ_noise，并且上述Img等于零。然后，在二維Haar DWT之后，噪聲能量將在所有子帶中均勻分布。

如等式(2)和(3)所示，在一級二維Haar DWT之后，噪聲將分布在LL，HL，LH和HH這4個不同子帶中，子帶標準偏差值為σ1，σ2，σ3和σ4。 假設均值為零時，子帶平均噪聲能量與子帶標準偏差值相關聯。

(2)

σ1≈σ2≈σ3≈σ4

(3)

從等式(2)(3)可以很容易地導出等式(4)，即子帶噪聲標準偏差近似等于σ_noise。

σi≈σ_noise ,i=1,2,3,4

(4)

當執行更多小波分解時，所有子帶噪聲的標準偏差近似等于σ_noise。在上述分析中，僅考慮使用零均值和標準差為30的高斯噪聲作為512×512大小的Imgnoisy。在二維DWT之后，獲得的子帶標準偏差值是σ1= 29.984 4，σ2= 29.978 2，σ3= 29.980 0和σ4= 30.049 4。這證明高斯噪聲子帶標準偏差值接近原始高斯噪聲標準偏差30。

上述分析表明純高斯噪聲的行為發生。現假設Img在等式(1)中不等于零，且將零均值高斯噪聲添加到圖像中。在一級二維Haar DWT之后，子帶LL，HL，LH和HH的標準偏差值分別為σnew1，σnew2，σnew3和σnew4，則有：

(5)

具有較高標準偏差值的子帶通常表示其具有比其他子帶更多的圖像信號能量，其他子帶具有更多的噪聲能量。在小波分解k層，頻圖像分量位于HLk、LHk和HHk中，低頻分量位于LLk頻段。本文算法將在具有更多噪聲能量的子帶上進行閾值處理。

本文提出的小波分解層的過程分為以下3個主要步驟。

步驟1 在噪聲圖像上應用第1層二維Haar DWT，然后獲得第1層高頻子帶的標準偏差值為σ_HL1、σ_LH1和σ_HH1，假設它們中的最小值是σ_min1。如果以上3個值都接近σ_min1，則表示3個子帶中的所有子帶都不受圖像能量的支配。因此，閾值處理可以直接應用于這3個高頻頻段。

如果第1層高頻子帶具有比σ_min1高得多的標準偏差值，則表明所識別的子帶具有更多的圖像信號能量，并且還應對所識別的第一層進行第2層小波分解。高頻子帶去除其相關的第2層高頻子帶中的噪聲，這個階段不需要遞歸。

步驟2 在LL1子帶上應用二維Haar DWT， 然后獲得第2層高頻子帶的標準差值為σ_HL2、σ_LH2和σ_HH2。假設它們中的最小值是σ_min2。 如果這3個值都接近σ_min2，則將閾值直接應用于這3個高頻子帶。另一方面，如果任何子帶標準偏差值遠高于σ_min2，則只執行下一個層的小波分解，并且還對生成附加的3個高頻子帶執行閾值，這個階段不是遞歸的。

步驟3 在LL2子帶上應用二維Haar DWT， 然后執行與步驟2中描述的類似的分解和閾值處理策略，圖像去噪處理在第3步結束時停止。

2.2 閾值函數

閾值的選擇對于使用小波閾值方法進行圖像去噪的算法性能至關重要。非常小的閾值不能充分消除噪聲，而太大的閾值可以消除重要的圖像特征。Donoho定義的通用閾值因為簡單性常被使用。

(6)

σ=median(|HH1|)/0.674 5

(7)

其中:λ表示通用閾值，σ表示通用閾值噪聲的標準偏差，sig_len是信號的長度。根據式(8)使用依賴于分解層的閾值。

(8)

其中，k表示二維DWT分解層數，使用的縮放參數1/(k+1)是考慮當執行更多層數的二維DWT時子帶中的高頻分量將更多地受噪聲能量支配。常用的閾值函數有硬閾值、軟閾值和半軟閾值函數。

硬閾值函數將小波系數的絕對值與閾值λ進行比較，它保留了絕對值大于閾值的小波系數，對于低于閾值的小波系數，則將小波系數設置為零，硬閾值函數描述為：

(9)

硬閾值函數是不連續的，具有保留圖像局部特征(例如邊緣)的特點，缺點是可能在重建圖像中產生視覺失真。

軟閾值函數將小波系數向零移位，絕對值大于λ的小波系數減去λ，其他系數都設置為0。軟閾值處理后，小波域中的小波系數更平滑，重建圖像看起來更平滑，軟閾值函數描述為：

(10)

半軟閾值是一種在軟閾值和硬閾值之間進行插值的函數，它使用閾值λ1和第二閾值λ2，半軟閾值函數描述為：

(11)

本文在上述閾值函數的基礎上，提出一種新的閾值函數，該閾值函數可以克服硬閾值函數對于小波系數過度收縮、軟閾值處理使圖像邊緣模糊的缺點。所提出的閾值函數是連續的，且在有噪小波系數和圖像信號小波系數之間提供了更平滑的過渡，本文閾值函數描述為：

(12)

當|x|=λ，y=0；當|x|=2λ，|y|=λ/2；當|x|接近∞，y將近似等于x。本文閾值函數如圖3所示。

圖3 本文閾值函數

3 實驗結果與分析

本文圖像去噪的性能指標是根據峰值信噪比PSNR和均方誤差MSE。PSNR表達式為：

(13)

MSE表達式為：

(14)

其中: IMGnoisyij表示噪聲圖像像素，IMGij表示ith行和jth列中的原始圖像像素值，wd和ht表示圖像的寬度和高度。圖4給出了基于本文討論不同方法的512×512灰度噪聲Lena圖像和去噪圖像，增加的高斯噪聲均值為0，標準差為30。

圖4 使用不同閾值函數去噪效果

在圖4中，噪聲圖像的PSNR值是18.58， 使用硬閾值、軟閾值、半軟閾值和本文方法的去噪圖像的PSNR值分別為23.87、26.90、26.39和27.30 dB。本文圖像去噪性能優于其他3種閾值函數。圖5和圖6給出了標準差為5時高斯噪聲圖像的去噪PSNR和MSE值。表1給出了具有從10到25的不同高斯噪聲標準差的512×512 Lena灰度圖像的各種測試結果。

圖5 不同閾值函數下圖像去噪PSNR值

圖6 不同閾值函數下圖像去噪MSE值

從圖5、圖6和表1中數據可以得出：本文方法能獲得比硬閾值、軟閾值和半軟閾值方法更好的PSNR和MSE值。當標準差為10～15范圍的值時，本文方法性能比半軟閾值方法好，半軟閾值方法能比硬閾值和軟閾值方法獲得更好的PSNR和MSE值。對于標準差為20～25范圍的值，軟閾值方法具有僅次于本文方法的性能，但比硬閾值和半軟閾值方法能獲得更好的PSNR和MSE值。

為了驗證本文方法的有效性，對200幅噪聲圖像進行實驗，得到其平均的PSNR和MSE值，如圖7所示，此時高斯標準差為10。

表1 不同標準值噪聲下的去噪性能

圖7 不同閾值函數下圖像去噪PSNR和MSE值

從圖7中可以看出：本文方法對于多幅圖像去噪得到的平均PSRN值和MSE值優于其他3種閾值函數，說明本文方法的有效性。

所提出的小波去噪方法使用二維Haar DWT和IDWT具有低復雜度，該算法要求低頻帶的三層小波分解，而與圖像大小無關。只有當相關的子帶標準偏差遠高于同一層的其他子帶的最小標準偏差時，才需要執行每個層的高頻子帶的下一層小波變換；否則，不需要對高頻子帶進行進一層的小波分解。 因此，本文提出的小波去噪方法的復雜程度與原始圖像像素的總數呈線性關系，即O(n)，其中n表示總圖像像素數。

4 結束語

本文提出了一種能夠確定小波分解層數的改進二維Haar小波閾值圖像去噪方法。該方法能夠根據子帶的標準差來確定是否進行下一層小波分解。此外，提出了一種新的閾值函數，實現了比硬閾值、軟閾值和半軟閾值方法更好的去噪性能。該方法復雜度低、易于實現，且小波分解的層數不依賴于圖像大小。提出的小波去噪算法僅需要O(n)個實數運算。實驗結果表明：本文方法能夠有效實現圖像去噪，去噪效果優于硬閾值、軟閾值和半軟閾值方法。未來工作將研究高頻子帶的標準差對小波閾值的影響。