廣府古建筑木結構箍頭榫節點彎矩-轉角關系理論分析

陳慶軍 何永鵬 邱凱祥 湯序霖 蔡健 楊春

摘? ?要：廣府祠堂木結構節點多采用箍頭榫形式，其受力性能與已有的直榫、燕尾榫等均存在差異，為研究箍頭榫節點的受力性能，開展了箍頭榫節點的受力機理分析，推導了彎矩-轉角理論計算公式，并通過試驗結果驗證了理論計算公式的正確性;基于理論計算公式，對影響箍頭榫節點彎矩-轉角關系的各個因素進行分析.分析結果表明，在所計算的參數范圍內，節點初始轉動剛度和極限彎矩隨著柱直徑、榫寬度、摩擦系數、榫頭側面和卯口間擠壓寬度的增大而增大，節點極限彎矩隨著梁高增大而增大，而節點初始轉動剛度受梁高的影響不大.所得結果可為廣府地區古建筑木結構的受力分析及抗震性能研究提供理論依據.

關鍵詞：古建筑;木結構;箍頭榫節點;受力機理;彎矩-轉角關系

中圖分類號：TU366 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標志碼：A

文章編號：1674—2974（2019）01—0065—11

Abstract：Hoop head tenon-mortise joint is extensively adopted in an ancient timber structure in Guangfu， which is different from straight tenon-mortise joint or dovetail tenon-mortise joint in terms of mechanical performance. To analyze the mechanical properties of hoop head tenon-mortise joint，mechanism analysis was carried out and the moment-rotation calculation formulae were also derived， while the formulae were verified by experimental results. Using the formulae，the factors affecting the relationship of moment-rotation of hoop head tenon-mortise joint were investigated. The results indicate that within the range of parameters， the initial rotational stiffness and ultimate bending moment increase with the increase of the column diameter， mortise width， friction coefficient and unilateral compression width between tenon and mortise，while the ultimate bending moment increases with the increase of beam height， but the initial rotational stiffness is only slightly affected by the? beam height. The results of this study can serve as a theoretical foundation for mechanical analysis as well as for seismic research of ancient timber structures in Guangfu.

Key words：ancient architecture;timber structures;hoop head tenon-mortise joint;force mechanism;moment-rotation relationship

中國古建筑木結構具有豐富的歷史文化內涵和極高的科學價值，如何對它們進行有效的評估和保護一直是研究者們研究的熱點.古建筑木結構中各構件之間常采用榫卯進行連接.榫卯節點通過交界面的擠壓和摩擦來抵抗外力與耗散能量，其受力機理較為復雜.謝啟芳等[1]、周乾等[2]對汶川地區古建筑的震害調研發現，古木建筑的破壞特征主要表現為榫卯節點拔榫或松動.開展對古木結構榫卯節點力學性能的研究并提出合適的修繕保護方法具有重要意義.

由于木結構榫卯節點呈現出典型的半剛性，且節點的轉動剛度隨著節點轉角變化而變化，因而節點彎矩-轉角關系是木結構研究中的一個重點問題.淳慶等[3]通過低周反復荷載試驗和有限元模擬分析，研究了江南地區傳統木構建筑半榫節點的受力性能.部分學者在試驗研究基礎上，根據節點彎矩-轉角曲線的特點提出了相應的力學計算模型，以便應用于整體模型計算中.高大峰等[4]在榫卯節點試驗的基礎上建立了燕尾榫節點的彎矩-轉角及荷載-位移四階段恢復力模型.趙鴻鐵等[5]根據試驗中得到的燕尾榫節點彎矩-轉角骨架曲線，擬合得到了節點的彎矩-轉角的關系方程和恢復力模型.Kishi等[6]在試驗基礎上提出了節點彎矩-轉角的3參數冪函數模型，結果表明該模型可以較好地反映節點的剛度特性.楊艷華等[7]在試驗研究基礎上，對原有3參數冪函數彎矩-轉角模型進行改進，建立了適用于木結構榫卯節點的4參數冪函數模型.淳慶等[8]以中國南方典型榫卯節點為研究對象，將試驗得到的典型節點的彎矩-轉角骨架曲線簡化為三折線模型并算出了模型各階段的特征剛度.

以上研究中，榫卯節點彎矩-轉角關系中的關鍵參數大多根據試驗結果簡化或擬合得到.部分學者對若干形式的榫卯節點進行了更為深入的受力機理分析，推導得到節點的彎矩-轉角理論計算公式，提出了相應的力學計算模型.姚侃等[9]引入了變剛度桿單元來描述榫卯連接的半剛性特性，推導出了榫卯節點的變剛度與相對柔度之間的關系.徐明剛[10]在燕尾榫節點和木框架試驗的基礎上，考慮了節點縫隙、殘余變形和軸力的影響，對榫卯節點進行受力機理分析并建立了節點的轉角-彎矩理論計算模型.謝啟芳等[11-12]分析了燕尾榫節點的受力機理，推導了節點的彎矩-轉角理論計算公式并分析了各節點參數對節點彎矩-轉角關系的影響，提出了以屈服點和極限點為特征點的彎矩-轉角雙折線力學模型.謝啟芳等[13]以單向直榫節點為研究對象，分析其受力機理，推導了節點轉動彎矩-轉角理論計算公式，對影響單向直榫節點轉動彎矩的參數進行了分析.潘毅等[14]分析直榫節點在低周反復荷載作用下的受力機理，推導并建立了直榫節點的彎矩-轉角力學模型，對力學模型進行簡化并提出了直榫節點的三折線力學計算模型.陳春超等[15-16]在試驗研究和數值分析的基礎上，對瓜柱直榫和燕尾榫節點進行了受力機理分析，推導了典型節點的彎矩-轉角理論計算公式，并提出了簡化力學模型.

廣府祠堂木結構是一種介于高級殿堂及普通民宅之間的建筑體系，該類建筑大多建于明清時代，是以廣州為中心的泛珠三角地區古木建筑的重要代表.廣府木祠堂中常采用箍頭榫節點進行連接，其構造形式具有明顯的地域特征.由于修建年代久遠且遭受廣東地區潮熱氣候的侵蝕，現存的廣府木祠堂建筑存在不同程度的殘損，迫切需要對其加以保護和修繕.而目前針對廣府木祠堂建筑箍頭榫節點進行的研究較少[17-18]，這制約了廣府祠堂木結構的修繕保護工作.因此，為進一步研究典型箍頭榫節點的工作機理，本文對箍頭榫節點進行受力分析，根據節點的幾何條件、平衡條件以及物理條件，推導出典型節點的彎矩-轉角理論計算公式，將理論分析的計算結果與試驗數據進行對比從而驗證了計算結果的準確性;基于理論計算公式，研究梁截面高度、柱直徑、榫寬度、榫頭和卯口之間的側面擠壓寬度、摩擦系數對節點彎矩-轉角關系的影響.

1? ?箍頭榫節點受力機理

箍頭榫是廣府地區古木建筑中常用的連接形式之一.如圖1所示，柱頭上部橫向開口形成卯口，梁在相應位置削減截面使其恰好能放進柱卯口.節點安裝時，先使柱就位，再將梁移動到柱頂位置，對準梁榫頭與柱卯口的位置，將梁擺放到柱卯口中，使位于柱內外側的梁榫頭與柱卯口互相咬合，然后將墊塊放入柱頂開口處，將栓銷插進墊塊與柱頂圓孔，完成節點安裝.相比直榫連接，由于柱內外側梁榫頭與柱卯口相互咬合，節點能夠較好抵抗受壓及拉拔作用.節點發生轉角時，梁榫頭與柱卯口同時受擠壓，產生抵抗彎矩.箍頭榫節點相比直榫節點而言，抗拔性能更好、整體性更強，但制作及施工相對復雜.箍頭榫的榫卯尺寸參見圖2.

如圖3所示，當節點梁柱之間產生正向相對轉角θ時，榫卯之間相互擠壓并產生變形，此時梁榫頂面左側和底面右側受到柱子作用的豎向壓力和相應的水平摩擦力，同時梁榫左側上方和右側下方也受到柱子的水平壓力和相應的摩擦力，這些擠壓力和摩擦力的作用使節點產生了抵抗轉動的彎矩.隨著節點轉角增大，榫卯之間擠壓處逐漸產生塑性變形，榫頭和卯口之間發生脫離，但由于箍頭榫節點的特殊榫卯構造，柱卯口可以較好地約束榫頭向外拔出，因而相比直榫、燕尾榫等，箍頭榫節點的拔榫量始終較小.

2? ?箍頭榫節點彎矩-轉角關系理論分析

2.1? ?基本假定

1）由于木材順紋方向受壓彈性模量遠大于橫紋受壓彈性模量，當榫卯之間發生擠壓時，一方為橫紋受壓而另一方為順紋受壓，則本文假設只有橫紋受壓一方會產生擠壓變形[19].

2）假定木材橫紋受壓的本構為雙線性強化本構模型，且其應力-應變關系符合胡克定律[20-21].

3）根據文獻[21]試驗結果可知，榫頭與卯口兩側面之間的摩擦力較小，為方便計算，假定榫頭與卯口兩側面的摩擦力為零.

4）假定榫頭在卯口內僅發生剛體運動[16]，因而忽略節點榫頭和卯口的彎曲變形.

2.2? ?箍頭榫節點彎矩-轉角關系理論公式推導

為簡化計算，將箍頭榫節點的受力過程近似分為兩個階段來進行分析：1）榫頭和卯口擠壓面處的變形均處于彈性階段;2）榫頭和卯口擠壓面處的變形均進入彈塑性階段.

2.2.1? ?彈性階段

1）幾何條件.當節點發生正向轉角θ時，節點擠壓變形如圖4所示.定義榫頭底面和頂面擠壓區域的長度分別為lA和lB，相應擠壓面處最大擠壓變形分別為δA和δB，且滿足δA = lAtan θ，δB = lBtan θ;柱卯口右下側和左上側受到榫頭擠壓作用區域的長度分別為lC和lD，相應擠壓面處最大擠壓變形分別為δC和δD，且滿足δC = lCtan θ，δD = lDtan θ.

由節點變形的幾何關系可得：

2）平衡條件.當節點發生轉角θ時梁榫的受力狀態如圖5所示，其中FA、FB、FC、FD和fA、fB、fC、fD分別為柱卯口對榫頭的擠壓作用力和相應的摩擦力，且滿足fA = μFA，fB = μFB，fC = μFC，fD = μFD，F為梁端豎向力.各擠壓力的合力對柱邊梁榫截面中心O點的力臂分別為xA、xB、yC和yD.

根據榫頭在水平和豎直方向的受力平衡和外力對O點的力矩平衡可得：

式中：L0為梁端豎向作用力F到柱邊的水平距離;μ為木材接觸面之間的摩擦系數，根據文獻[21]摩擦試驗數據，取為0.18.

3）物理條件.節點在彈性階段的受力狀態如圖6所示，此時A、B、C和D區域的擠壓應力均未達到木材橫紋屈服強度σc，R，因而各擠壓區域的應力呈三角形分布.木材橫紋抗壓彈性模量為Ec，參考文獻[11]，由胡克定律可得A、B、C和D擠壓區域的最大擠壓應力σA、σB、σC和σD分別為σA=EcδA/h，σB=EcδB /h，σC = EcδC /d0，σD = EcδD /d0.

箍頭榫節點榫頭尺寸如圖2所示，由圖2可知榫頭上下擠壓區域A和B的寬度為榫頭寬度t，故其擠壓應力合力分別為：

由于榫頭兩側面擠壓區域的寬度沿梁高發生變化，其最大寬度為2b，為方便計算，取最大擠壓寬度的一半（也即b）作為擠壓區域的寬度進行計算，同時由于節點擠壓區域C和D分別包括前后兩個側面的擠壓區域，因此C和D區域的擠壓計算寬度各為2b，由此得到C、D擠壓區域的合力分別為：

由于各擠壓區域的應力呈三角形分布，因此可得到A、B、C和D擠壓區域的合力對O點的力臂為xA = lA/3，xB = d0 - lB/3，yC = h/2 - lC/3，yD = h/2 - lD/3.

以lB、lD為基本變量，結合δA=lAtan θ，δB=lBtan θ，δC = lCtan θ，δD = lDtan θ及式（1）（2），用lB、lD表示lA、lC;lA、lC用lB、lD表示后，σA，B，C，D也可以通過lB、lD表示，進而可以用lB、lD表示FA（B，C，D）、fA（B，C，D）.將FA（B，C，D）、fA（B，C，D）代入平衡方程（3）～（5）中并消去物理量F，可化簡得到兩個關于lB、lD的二元三次方程F1（lB、lD）=0，F2（lB、lD）=0，聯立求解此方程組可得到lB、lD，進而計算得到FA～FD、fA～fD等8個未知數.則節點彎矩Me可表示為：

彈性階段時，對于任意轉角值θ，節點彎矩Me的求解過程見圖7.

2.2.2? ?彈塑性階段

與彈性階段相似，節點彈塑性階段的幾何方程和平衡方程如式（1）～（5）所示.節點在彈塑性階段的受力狀態如圖8所示，此時A、B、C和D擠壓區域的最大應力均已達到或超過木材的橫紋初始屈服強度σc，R，因而各擠壓區域的應力呈四邊形分布.

各擠壓區域的最大擠壓應力分別為：

式中：E2為木材橫紋受壓強化階段的切線模量，根據文獻[21]材料性能試驗數據，取E2 = 0.30Ec.

各擠壓區域的應力呈四邊形分布，定義各擠壓區域已經屈服的擠壓長度分別為lA1、lB1、lC1和lD1，且有lA1 = lA - σc，Rhtan θ/Ec，lB1 = lB - σc，Rhtan θ/Ec，lC1 = lC - σc，Rd0 tan θ/Ec，lD1 = lD - σc，Rd0 tan θ/Ec.由此可得A、B、C和D擠壓區域的合力：

以擠壓區域A為例，其應力呈四邊形分布，通過求解其形心可得到擠壓區域A的合力對O點的力臂如式（19）所示，同理可求得B、C和D擠壓區域的合力對O點的力臂xB、yC、yD.

彈塑性階段時任意轉角下節點彎矩Mp的求解過程與彈性階段的彎矩Me類似，可參考圖7進行，Mp可表示為：

對處于區間[0，θmax]（θmax為極限轉角）的θ，可按以上公式求解得到節點處于彈性階段的彎矩Me和處于塑性階段的彎矩Mp，當Me = Mp時，對應的θ為節點由彈性階段向彈塑性階段轉變時的界限轉角，Me（Mp）為界限彎矩.當節點轉角小于界限轉角時節點彎矩值為Me，當節點轉角大于界限轉角時節點彎矩為Mp，由此可以得到節點在整個加載過程中的彎矩-轉角關系.反向加載時節點彎矩-轉角理論計算公式的推導過程與正向加載類似，此處不再贅述.

文獻[21]的試驗結果表明，箍頭榫節點試件在臨近破壞時榫頭頂面或底面出現了不同程度的順紋受拉斷裂現象，因此定義極限轉角之一θmax，1為榫頭頂面木材達到順紋極限拉應變時的節點轉角.文獻[21]給出了對應極限轉角θmax，1的榫頭截面彎矩Mmax，1的表達式：

根據Mmax，1，結合式（20），可反推得到極限轉角θmax，1.

此外，根據文獻[21]的試驗結果，可知對于加載過程中未出現榫頭頂面或底面受拉斷裂的試件，此類節點破壞時的極限轉角約為0.15 rad.因此，極限轉角θmax取min{θmax，1，0.15 rad}.

3? ?節點彎矩-轉角理論計算結果驗證

為了驗證箍頭榫節點彎矩-轉角理論計算公式的合理性，將本文的理論計算結果與文獻[21]的試驗結果進行對比分析.

文獻[21]以梁高h、柱直徑D、榫寬t和柱頂軸壓力P為試驗參數，以1 ∶ 2.7的縮尺比例設計制作了8個單向箍頭榫節點試件進行低周反復荷載試驗.箍頭榫節點尺寸構造見圖9（a），試件編號為S1～ S8，各試件的基本設計參數見表1.試驗所用木材為菠蘿格，其物理力學性能如表2所示.試驗加載裝置如圖9（b）（c）所示.

文獻[21]試驗結果表明，在所研究的參數范圍內，柱頂軸壓力P對節點力學性能影響不大，而改變梁高h、柱直徑D、榫寬t會對節點的彎矩-轉角關系產生較大影響.

由式（10）和式（20）計算得到的各節點彎矩-轉角理論計算曲線與文獻[21]試驗骨架曲線的對比圖繪制于圖10，由圖10可以看出：

1）節點的轉角較小時，各節點理論計算曲線與試驗曲線的變化趨勢基本相同，節點彎矩近似隨著轉角的增大而線性增大，因而理論計算公式可以較好地反映節點彈性階段的力學性能;隨著節點轉角增大，木材出現塑性變形，理論與試驗曲線的趨勢大體相同且曲線的斜率均有一定程度的下降，表明理論計算公式可以較好地反映節點塑性階段的力學性能.總體而言，節點理論計算曲線與試驗曲線的變化趨勢、節點初始剛度和極限彎矩均吻合較好，表明理論計算公式可以較好地反映箍頭榫節點的力學特征.但由于試驗結果受到材料缺陷和加工誤差等無法精確計算的因素的影響，因而計算結果中個別模型的節點剛度和承載力與試驗結果存在一定程度的差異.

2）對于試件S2、S4和S5，節點反向加載初期的剛度計算值大于試驗值，這是因為試件制作加工時梁上部榫卯之間存在一定空隙，因而其反向加載初期節點剛度較小，直到榫卯之間接觸緊密后節點剛度才逐漸增大，而理論計算公式中沒有考慮榫卯之間的空隙，因而其初始剛度較大.

3）由于理論計算方法中未考慮節點正反向加載時受力狀態的差異，因而節點正反向加載時的彎矩-轉角曲線是關于原點對稱的，這與試驗結果有一定的差異.

4? ?彎矩-轉角理論關系影響因素分析

由理論分析得到的彎矩-轉角理論計算公式（式（10）、式（20））并結合文獻[21]的試驗結果可知，影響箍頭榫節點彎矩-轉角關系的參數包括梁高度h、柱直徑D、榫寬度t、摩擦系數μ和榫頭側面和卯口擠壓區域寬度b.基于文獻[21]的試件尺寸參數，分別對各影響因素展開理論分析.以下“試件S1”均指文獻[21]中的試件S1.

4.1? ?梁高h的影響

以試件S1的參數為原型，在其余各影響因素保持不變的情況下，分別取梁高度為110 mm、130 mm、150 mm和170 mm，計算得到不同梁高下箍頭榫節點的彎矩-轉角曲線如圖11所示.轉角為0.12 rad時，梁高從110 mm變化到170 mm，梁高增大55%，節點彎矩約增大13%，相當于梁截面高度每增加1%，節點彎矩提高0.24%.當梁高為110～170 mm時，箍頭榫節點的極限彎矩隨著梁高的增大而增大.此外，計算結果表明梁高大小對節點的初始轉動剛度影響很小.

4.2? ?柱直徑D的影響

以試件S1的參數為原型，在其余各影響因素保持不變的情況下，分別取柱直徑為110 mm、130 mm、150 mm、170 mm和190 mm，計算得到不同直徑下箍頭榫節點的彎矩-轉角曲線如圖12所示.當轉角為0.12 rad時，柱直徑從110 mm變化到190 mm，柱直徑增大73%，節點彎矩約增大186%，相當于柱直徑每增加1%，節點彎矩提高2.55%.由圖12可看出，當柱直徑為110～190 mm時，箍頭榫節點的初始剛度和極限彎矩隨著柱直徑的增大而增大.

4.3? ?側面擠壓寬度b的影響

以試件S1的參數為原型，在其余各影響因素保持不變的情況下，分別取側面榫頭和卯口擠壓寬度b為5.25 mm、10.50 mm、15.75 mm、和21.00 mm，計算得到不同擠壓寬度下箍頭榫節點的彎矩-轉角曲線如圖13所示.當轉角為0.12 rad時，側面擠壓寬度從5.25 mm變化到21.00 mm，側面擠壓寬度增大3倍，節點彎矩約增大38%，相當于側面擠壓寬度每增加1%，節點彎矩提高0.13%.由圖13可看出，當側面榫卯擠壓寬度為5.25 ～ 21.00 mm時，箍頭榫節點的初始剛度和極限彎矩隨著側面榫卯擠壓寬度的增大而增大.

4.4? ?榫寬度t的影響

以試件S1的參數為原型，在其余各影響因素保持不變的情況下，分別取榫寬度為0.2D（30 mm）、0.3D（45 mm）、0.4D（60 mm）和0.5D（75 mm），計算得到不同榫寬度下箍頭榫節點的彎矩-轉角曲線如圖14所示.

由圖14可看出，當轉角為0.12 rad時，榫寬從0.2D變化到0.5D，榫寬增大1.5倍，節點彎矩大約增大93%，相當于榫寬每增加1%，節點彎矩提高0.62%.當榫寬由0.2D增大到0.5D時，箍頭榫節點的初始剛度和極限彎矩隨著榫寬度的增大基本呈增大的趨勢.理論推導過程中假設榫頭和卯口均沒有彎曲變形，當榫寬度大于0.5D時，兩側柱卯口的厚度較小，卯口抗彎剛度較小，柱卯口區域會產生一定的彎曲變形，故而通過式（10）和式（20）計算得到的節點初始剛度和極限彎矩比實際值偏大.因此認為當榫寬大于0.5D時，本文彎矩-轉角理論公式的計算精度將下降.

4.5? ?木材間摩擦系數μ的影響

文獻[22-24]的研究結果表明，不同種類和粗糙度木材之間的摩擦系數取值約為0.10～0.65，因此本文以試件S1的參數為原型，在其余各影響因素保持不變的情況下，分別取木材之間的摩擦系數μ為0.10、0.18、0.30、0.40、0.50和0.60，計算得到不同摩擦系數下箍頭榫節點的彎矩-轉角曲線如圖15所示.當轉角為0.12 rad時，摩擦系數從0.10變化到0.60，摩擦系數增大5倍，節點彎矩大約增大67%，相當于摩擦系數每增加1%，節點彎矩提高0.13%.當摩擦系數由0.1增大到0.6時，箍頭榫節點的初始剛度和極限彎矩均隨摩擦系數的增大而增大.

5? ?結? ?論

本文基于典型箍頭榫節點的受力機理分析，對節點彎矩-轉角理論關系進行了推導并通過試驗結果驗證了理論計算公式的正確性;通過對影響箍頭榫節點彎矩-轉角關系的各個因素進行分析，得到了各因素對節點初始剛度和極限彎矩的影響規律.得到以下結論：

1）推導了典型箍頭榫節點彈性階段和彈塑性

階段的彎矩-轉角理論關系，并得出了相應的理論計算公式;對比理論計算結果與試驗結果可知，理論計算與試驗得到的節點彎矩-轉角曲線在彈性階段與彈塑性階段均吻合較好，表明理論計算公式可以較好地反映出節點的力學特征.

2）對影響箍頭榫節點彎矩-轉角關系的因素分析后發現，在所計算的參數范圍內，箍頭榫節點的初始剛度和極限彎矩隨著柱直徑、榫寬度、摩擦系數、榫頭側面和卯口擠壓區域寬度的增大而增大.隨著梁高增大，節點極限彎矩逐漸增大，但節點初始剛度變化不大.同時發現，柱直徑的變化對接近極限狀態的節點彎矩的影響最大，榫寬次之，梁高再次之，側面擠壓寬度和摩擦系數的影響最弱.