不同模量理論廣義彈性定律的深入研究

潘勤學 鄭健龍 文丕華

摘? ? 要：傳統不同模量理論中基于主應力方向建立的本構方程，僅能表述主應力方向的應力應變關系，并未體現出其他方向的應力應變特性，不能有效表征拉壓不同模量問題的力學本質.基于此，在主應力方向的本構方程基礎上，利用應力及應變的轉軸公式，推導了基于不同直角坐標系下的拉壓不同模量本構方程的具體形式，也即廣義彈性定律.經理論驗證，此廣義彈性定律揭示了拉壓不同模量問題既是非線性問題也體現出各向異性的力學性質;并且在拉壓模量相等時可以回退到經典彈性理論本構方程，而基于主應力方向建立的本構方程是廣義彈性定律中的特例.針對不同模量理論中不甚明晰的剪切模量和泊松比-彈性模量比值的假設，應用所得到的廣義彈性定律對純剪應力狀態進行了力學分析，分析表明：在基于最大或最小剪應力方向的直角坐標系下，剪應力與剪應變成線性關系，剪切模量保持不變;并結合微元體純剪變形的幾何關系，證明了假設即拉泊松比與拉模量之比等于壓泊松比與壓模量之比在純剪受力狀態下是自然滿足的.

關鍵詞：彈性理論;不同模量;本構方程;主應力;純剪

中圖分類號：O343? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標志碼：A

文章編號：1674—2974（2019）01—0093—08

Abstract：In classical elasticity theory with different modulus， the constitutive equations based on the direction of principal stress can only represent the relationship between the principal stress and principal strain in the main stress direction and cannot reflect the stress-strain behavior in other directions， and the mechanical essence of the problem on different modulus in tension and compression cannot be characterized effectively. Therefore， according to the constitutive equations based on the direction of principal stress，the generalized elastic laws were deduced by the rotation formulas of stress and strain under different Cartesian coordinate system， which are constitutive equations with different modulus in tension and compression. With theoretical verification， both the nonlinearity and anisotropy property of bi-modulus materials were revealed by the generalized elastic laws. Furthermore， it can also degenerate to the classical bi-modulus elasticity law， which implies that the constitutive law for material with different modulus in tension and compression is special cases of the obtained results. With respect to the indistinct issues about the shear modulus and the assumption of the ratios between Poisson's ratio and Young's modulus， bimodulus material point under pure shear state was investigated. It is shown that， in the rectangular coordinate system based on the maximum or minimum shear stress direction， the relation between shear stress and shear strain is linear. In other words， the shear modulus keeps invariant;besides，the hypothesis is proved that the ratio of tensile Poisson's ratio to tensile modulus is equal to the ratio of compressive Poisson′s ratio to compressive modulus under pure shear state， combining with the geometric relationship of pure shear deformation in differential element.

Key words：elastic theory;different modulus;constitutive equations;principal stress;pure shear

大量研究[1-3]表明許多材料的模量呈現拉伸模量與壓縮模量不等的性質，導致工程結構的力學響應也具有拉壓不同特性.1941年Timoshenko[4]首次提出了雙模量材料概念.1965年，С.А.阿姆巴爾楚米揚（Амбарцумян С.А.）[5]再次提出雙模量概念，并將其拓展到二維平面及三維空間問題，并于1982年編著了第一本關于拉壓不同模量問題的專著，建立了基于拉壓模量差異的本構理論并稱之為不同模量理論.此后國內外學者都對此問題進行了深入研究，如Jones[6]將第2類區域的柔度矩陣非對角線的柔度系數按主應力絕對值的大小加權計算得到，這樣保證了材料的柔度系數矩陣為對稱矩陣，其矩陣中的柔度系數不僅與主應力的符號有關，且隨著主應力大小的變化而改變，但是此法的理論依據不足;1987年，Vijayakumar等[7]從理論上提出把計算模型分成小塊子矩陣，將受拉和受壓區劃分為更細的區域來進行分析，此法基于拉壓分塊或分區思想，假如構件處于復雜受力狀態，拉壓分區將會十分困難.

自張允真等[8]將С.А.阿姆巴爾楚米揚的專著《不同模量理論》于1986年翻譯出版后，開啟了國內學者對此理論的研究熱潮，如Yao等[9]提出按主應變的正負確定彈性本構矩陣系數的方法;姚文娟等[10-11]基于平截面假設得到了結構中性層判據定理，并推導了不同模量柱、梁、擋土墻等二維受力構件的解析解;何曉婷等[12]放棄了平截面假設，推導了均布荷載簡支梁的解析解;吳曉等[13]采用能量法和變分法研究了不同模量板的彎曲問題等.數值解方面：張允真等[14]在國內首次提出了拉壓模量不同的有限元方法，國內學者以此為基礎進行了深入研究，如楊海天等[15]提出了有限元計算的初應力迭代法;劉相斌等[16]提出了加權收斂因子;He等[17]從理論上推導出了剪切模量通式的具體形式，并提出了具有物理意義的收斂因子;張洪武等[18]通過建立含參變量的拉壓不同模量理論的統一本構方程，基于參變量變分原理將拉壓模量不同問題轉化為互補問題進行求解;Du等[19-20]通過引入內變量，給出了拉壓不同模量材料統一的本構關系和能量表達式，進而發展了系列變分原理和界限理論.他們還證明了拉壓不同模量問題的勢能泛函為嚴格的凸函數，具有解的唯一性和半線性，并基于Newton-Raphson算法思想，提出了求解拉壓不同模量問題的切線本構算法，此算法對復雜結構及復雜受力也具有高效的收斂效率.

總的來說，國內外絕大部分研究幾乎都是將С.А.阿姆巴爾楚米揚建立的不同模量理論應用到具體問題中去，得到了符合某些特殊受力工況下的解析解或數值解，而對理論的本構模型研究較少且均是在С.А.阿姆巴爾楚米揚建立的理論框架下進行的一定改進，同時大部分研究者在應用不同模量理論進行求解時，均沿用了С.А.阿姆巴爾楚米揚提出的拉壓模量與拉壓泊松比之間的關系假設即μ+ /E+ = μ-/E-.基于此假設會使材料的柔度矩陣或彈性矩陣變為對稱矩陣，使計算推導過程大為簡化，尤其對于有限元等數值計算，節約計算成本明顯.然而此假設正確與否并未得到理論或試驗證明.

基于此，本文在拉壓不同模量理論原始定義的本構方程基礎上，利用應力及應變在不同直角坐標系下的轉軸公式，推導拉壓不同模量問題的廣義彈性定律，以理清不同模量問題的力學本質，并應用廣義彈性定律來證明假設μ+ /E+ = μ-/E-的正確性，以期為拉壓不同模量問題的求解提供參考或新的思路.

1? ?不同模量理論廣義彈性定律的推導

拉壓不同模量理論的研究對象是固體和連續體，認為物體是勻質和各向同性的，且基于小變形假設.С.А.阿姆巴爾楚米揚指出：對于不同彈性模量的大部分材料，應力與應變的關系曲線可用兩條直線來表示，用這種分段直線函數來表示的簡化本構關系，具有足夠的精度，完全滿足工程應用的要求.在雙直線模型中，材料的本構關系分為受拉與受壓兩種情況：受拉時取拉模量E+及拉泊松比 μ+，受壓時取壓模量E-和壓泊松比 μ-，以此建立了基于主應力方向的本構方程如下：

式中：εα，εβ，εγ為主應變;σα，σβ，σγ為主應力;A為柔度矩陣;模量E和泊松比μ由各自對應相乘的主應力正負性質確定，若σα > 0，則模量Eα和泊松比μα取E+及μ+，反之取E-及μ-.由式（1）可知，當3個主應力都為正或都為負時，其本構方程與現有經典彈性理論相同，稱為不同模量問題的第1類區域.當3個主應力正負不完全相同時，其本構方程則有明顯的差別，稱為不同模量問題的第2類區域，如σα > 0，σβ < 0，σγ > 0，則柔度矩陣A為：

由式（1）和（2）可知，若假設 μ+ /E+ = μ-/E-，則無論主應力正負如何組合，則A都為對稱矩陣.由于我們一般是在普通的直角坐標系下進行力學計算，因此需要將建立在主應力方向的本構方程轉化為普通直角坐標系下的本構方程，以便于實際應用.對于直角坐標系的x、y、z 3軸與主應力（σα，σβ，σγ）方向之間的方向余弦如表1所示，它們之間的關系如式（3）所示.

式（12）中Θ為體應力.由式（7）和式（12）可知，基于普通直角坐標系下拉壓模量不等的本構方程，與經典的等模量本構方程已完全不同，應力與應變不再是簡單的線性關系.由式（12）可知，除了熟知的經典彈性關系中的線性項外，還有非線性項;且其線性項的系數不再是常量，而是隨著主應力正負的變化而變化.非線性項則與主應力的正負、大小及方向有關.

基于以上分析，將式（6）代入式（7），將其整理為任意方向直角坐標系下的本構方程為：

其他5個方程同理可證明.基于此，具有普遍意義的本構方程可寫為如下形式：

矩陣C可稱為廣義柔度矩陣，矩陣中元素分別對應式（13）～式（18）中與每個對應應力相乘的多項式，當直角坐標軸與主應力方向重合時，即：l1 = m2 = n3 = 1，l2 = l3 = m1 = m3 = n1 = n2 = 0時，則有廣義柔度矩陣各元素為：c11 = 1/Eα，c22 = 1/Eβ，c33 = 1/Eγ，c21 = c31 = -μα /Eα，c12 = c32 = -μβ/Eβ，c13 = c23 = -μγ/Eγ，矩陣C中的第4、5、6行及第4、5、6列元素均等于0，形式如式（22）所示.

由式（22）可知，廣義柔度矩陣回退到了不同模量理論的原始定義柔度矩陣（見式（1）），這表明本文建立的廣義彈性定律符合拉壓模量的原始定義，且更具普遍性;基于主應力方向建立的本構方程，是廣義彈性定律中的特例，由于剪應力及剪應變為0，避免了對剪應力及剪應變的討論，其柔度矩陣變為3 × 3階矩陣，使得本構方程得到簡化.

文獻[17]指出：由基于主方向上的本構方程直接推導復雜應力狀況下的本構矩陣不滿足回退特性，必須要加上剪切通項即當直角坐標系建立在主應力方向時，柔度系數c44、c55、c66必須要賦予合適的非零值，才能滿足拉壓回退特性.本文推導表明，在利用應力應變的轉軸公式后，廣義彈性本構方程的拉壓回退特性是滿足的，與是否補全剪切通項無關.

2? ?拉壓不同模量問題力學性質討論

由具有拉壓不同模量特性的材料組成的結構在復雜受力狀態下，任意一點的受力狀態可分為如下3種情形：1）該點的3個主應力同為正或同為負，即所謂的第1類區域，該區域內任一點的本構方程與各向同性本構方程類似;2）3個主應力符號不完全相同，但主應力方向剛好與整體的直角坐標軸方向相同，此時該點的本構方程可簡化為原始定義的本構方程即式（1），這與正交各向異性的本構方程類似，其主軸與該點的主應力方向相同;3）3個主應力符號不完全相同，主應力方向與整體的直角坐標軸也不重合，復雜受力狀態下此類區域一般占絕大比例，其本構方程形式即為式（13）～（18），此類區域中各點的主應力大小及方向一般都各不相同，即任一點的3個主應力及其方向余弦均不相等.則由式（13）～ （18）可知，該區域各點的廣義本構方程形式上一樣，但對應的各系數項均不相等.且從本構方程的形式上看，正應變不只與正應力有關，也受剪應力的影響;剪應變也不只與對應的剪應力有關，也受3個正應力和其他兩個方向剪應力的影響.因此，從廣義彈性本構方程角度來講，該區域的本構方程與各向異性的本構方程類似.

由以上兩節分析可得，即使在各個應力狀態的主應力空間內，本構關系具有線彈性形式，但對于整個拉壓不同模量彈性系統，其本構方程由于決定于主應力正負而表現出非線性性質;并且在一般直角坐標軸中，本構關系依賴于該方向與主應力方向的夾角，形式上具有各向異性特征，顯然沒有固定的材料主軸.因此拉壓不同結構的力學行為受其應力狀態及整體坐標軸方向的影響，已屬非線性及各向異性范疇.

3? ?純剪應力狀態受力分析

應用廣義彈性定律，對二維純剪應力狀態進行分析，以正方形微元體為例，其受力模式如圖1所示.

對比式（26）和式（27）可得，純剪狀態下，在基于最大（或最小）剪應力方向的直角坐標系下，剪應力與剪應變成線性關系，剪切模量不隨剪應力的大小和正負發生改變.同時表明圖1（c）所示微元體中左右兩個直角的減小量與上下兩個直角的增加量相等.

由于本文建立的本構方程及推導時并沒有采用假設μ+ /E+ = μ-/E-，這表明只要材料具有拉壓模量不同的性質，且基于拉壓模量雙線性模型建立的本構方程，在純剪受力狀態下，自然滿足μ+ /E+ = μ-/E-.同時基于此結論，可大為簡化廣義柔度矩陣C，并可證明C為對稱矩陣，這與材料的勻質性假設相符合.

5? ?結? ?論

在基于主應力方向的本構方程基礎上，利用應力及應變的轉軸公式，推導了不同模量理論的廣義彈性定律，此定律滿足拉壓模量相同時的回退特性，且深刻揭示了拉壓不同模量問題的各向異性和非線性特性.應用廣義彈性定律對純剪應力狀態進行了力學分析，結果表明：在基于最大（或最小）剪應力方向的直角坐標系下，剪應力與剪應變成線性關系，剪切模量保持不變;并結合微元體純剪變形的幾何關系證明了假設μ+/E+ = μ-/E-在純剪受力狀態下是自然滿足的.

參考文獻

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