晶體生長數值模擬領域的若干研究進展

劉立軍

(西安交通大學能源與動力工程學院，陜西 西安 710049)

1 前 言

晶體生長數值模擬技術基于對晶體生長過程各種物理和化學現象的精確數學描述，借助現代計算機技術和計算技術，以計算機模擬為手段，研究晶體生長過程中的基礎共性問題和關鍵技術，揭示晶體生長過程中各種復雜非線性現象的產生機理和相互作用機制，從而實現晶體生長過程工藝的持續優化和相關設備的不斷改進，促進晶體生長技術的迅速發展。

計算機數值模擬技術自20世紀80年代開始在晶體生長領域得到應用以來，經過三十多年的發展，已經應用于直拉法、定向凝固法、浮區法、導模法、布里奇曼法、溶液法、化學氣相沉積法和物理氣相升華法等現有的各種工藝方法生長各種不同的晶體材料。數值模擬研究的對象從早期的硅、鍺晶體發展到目前的各種非線性光學晶體、第三代半導體晶體和其他功能性晶體材料，物理化學現象及其機理的研究從最開始的宏觀尺度層次，逐步深入到介觀和微觀尺度層次。在宏觀尺度層面，主要采用有限容積法、有限元法和有限差分法等數值方法研究晶體生長過程中的熱質輸運和晶體應力、缺陷等物理場，數值模型也從早期的二維、局部、定常模型，逐步發展到目前的三維、全局、非定常模型。在介觀和微觀尺度方面，開發了相場模擬方法、格子玻爾茲曼方法、蒙特卡洛方法、分子動力學方法和基于第一性原理的計算方法，并廣泛應用于研究枝晶生長、晶界演變、雜質原子遷移特性等各個方面。在晶體生長設備和工藝優化方面，早期學者多采用多次試錯的手段，發展到目前基于生命進化、機器學習、神經網絡和大數據分析的智能優化算法。

本文作者所在研究團隊從21世紀初開始從事晶體生長數值模擬技術研究近20年，一直關注晶體生長技術的發展前沿和新的應用領域。本文將主要基于本研究團隊的工作，就晶體生長模擬技術的若干最新研究進展進行簡要報告。

2 若干研究進展

2.1 大尺寸半導體單晶硅生長過程中結晶界面過冷度脈動與熔體流動不穩定性的數值模擬研究

大尺寸直拉法單晶硅生長過程中由于大容量引起的熔體振蕩流動導致晶體生長界面前沿的局部溫度和熔體流速發生顯著脈動，從而造成界面處結晶過冷度的波動，進一步引起晶體生長速度、軸向溫度梯度的不穩定和缺陷的形成與增殖。本研究團隊首次在大尺寸單晶硅生長的計算模型中考慮由于硅熔體流動不穩定性引起的結晶界面過冷度脈動，提出了脈動過冷度條件下的三維非穩定晶體生長過程數值模型，研究并揭示了高溫熔體流動不穩定性對過冷度脈動和結晶界面形態的影響機理[1]。

研究發現，相比于坩堝與晶體同向旋轉情況，當坩堝與晶體反向旋轉時，結晶界面下方的熔體和結晶界面上的溫度脈動更顯著。圖1為當坩堝與晶體反向旋轉時結晶界面上各監測點處的溫度脈動模擬結果，結晶界面上的溫度脈動幅度高達0.7°。由于結晶過冷度決定晶體生長的速率，界面的溫度脈動將引起晶體生長速率脈動和晶體生長不穩定。而晶體生長界面處的溫度梯度、生長速率與晶體中微缺陷的形成與增殖密切相關，最終影響晶體的質量。

為了抑制大尺寸單晶硅生長過程中由于高溫熔體流動不穩定性引起的晶體生長不穩定性和缺陷增殖，磁場特別是超導磁場技術已經應用于半導體單晶硅的生長工藝中。因此，進一步研究磁場條件下晶體硅生長過程中的熔體溫度、速度的脈動頻譜特性，及其對結晶界面溫度、溫度梯度、結晶速率和缺陷增殖的影響，對研發高端芯片用大尺寸硅晶圓具有重要意義。

圖1 結晶界面上各監測點處的溫度脈動模擬結果[1]

2.2 半導體單晶硅生長過程中雜質輸運的模擬研究

雜質的類型、含量及其分布對于半導體單晶硅及器件的性能影響顯著，特別是碳雜質的污染對于制備高性能硅晶片至關重要，而碳雜質除了來源于多晶硅原料以外，由于單晶爐內部的保溫材料和加熱器一般都是碳素材料，碳雜質的產生及其對硅熔體的污染勢必伴隨晶體生長整個過程。對于單晶硅生長過程中碳雜質的輸運與對硅熔體的污染方面，各國學者已經進行了很多卓有成效的研究工作。日本九州大學Kakimoto教授課題組近來首次對硅原料熔化階段硅熔體被爐腔氛圍氣中碳組分污染的過程進行了數值建模，研究了爐壓、氬氣流速、導流筒下沿到熔體表面的距離、導流筒表面涂層等因素對硅熔體及氛圍氣中碳組分污染的影響規律，揭示了化料階段碳雜質的輸運機理及其對硅熔體的污染。圖2為導流筒下沿與硅熔體表面不同距離時化料階段硅熔體中碳雜質含量的變化，研究表明，降低爐壓、提高氬氣流速、增大導流筒下沿到熔體表面的距離以及采用高熱穩定性的涂層有利于減少碳污染[2,3]。

通過該項研究工作，使得我們可以對雜質在晶體生長全過程中的來源、輸運和污染進行整體的分析和源頭把控，對于改進單晶硅制備工藝、控制單晶硅碳雜質具有重要的意義。

圖2 導流筒下沿與熔體表面不同距離時硅熔體中碳雜質含量的變化[2]

2.3 太陽能多晶硅鑄錠過程中交變磁場誘導三維硅熔體流動的模擬研究

在熔體法晶體生長過程中，加熱器接入的交流電在提供加熱功率的同時，也在導電熔體中感應生成磁場并產生洛倫茲力，進而影響熔體流動和晶體生長。本研究團隊李早陽副教授針對工業化大尺寸太陽能電池用晶硅鑄錠過程，首次在晶體生長模型中考慮了加熱器內部低頻交流加熱電流引起的交變磁場對熔體流動的影響，獲得了鑄錠過程中坩堝內部熔體流動的空間分布特征[4]。

研究發現，相對于僅考慮熱浮力驅動所形成的中心對稱流動，考慮加熱器生成磁場作用時表面硅熔體強烈旋轉并呈現明顯的三維非軸對稱性，如圖3所示。采用不同的加熱器電流接入方式，能夠在硅熔體中感應生成空間分布各異的洛倫茲力，進而顯著影響熔體流動的結構、強度及其內部溫度分布。相關研究揭示了加熱器生成磁場對熔體流動的影響規律，對于進一步提升鑄錠爐設計水平具有重要的參考價值。

圖3 鑄錠過程中坩堝內硅熔體的三維流動結果對比[4]：左圖未考慮交變磁場的影響，右圖為考慮了交變磁場的影響

2.4 晶體生長過程的多尺度數值模型及其應用研究

晶體生長過程包含復雜的物理化學現象，存在于不同的空間和時間特征尺度范圍內，發展多尺度數值模擬技術，對于深入理解晶體生長過程中不同尺度上的復雜現象具有重要意義。本研究團隊針對晶體生長過程的基礎共性科學問題，從不同尺度進行了研究。

在介觀尺度上，針對太陽能多晶硅鑄錠過程中晶粒的隨機形核和多晶粒的競爭生長過程，臺灣大學蘭崇文教授[5,6]、本研究團隊和德國柏林晶體生長研究所Miller博士課題組[7]分別采用相場法和元胞自動機模型，建立了相應的介觀尺度模擬模型，研究并揭示了多晶硅生長過程中多晶界的相互作用、孿晶體的形成與演化過程。圖4為本研究團隊獲得的多晶硅鑄錠過程中多晶硅不同生長階段晶粒的結構演化模擬結果與實驗結果的對比分析。由圖可見，模擬獲得的鑄錠晶粒結構分布和實驗獲得的結果基本一致，表明該研究所建立的數值模型和方法是可靠的，該研究成果將為太陽電池用高效多晶硅鑄錠技術的進一步發展起到強有力的支撐作用。

圖4 多晶硅生長不同階段晶粒的結構演化模擬結果(a～c)與實驗結果(d)的對比[7]

從原子尺度方面，本研究團隊和美國賓夕法尼亞大學Sinno教授合作，利用分子動力學和蒙特卡洛方法，提出了晶體生長過程中雜質在溶劑中擴散、分凝、溶解等行為的系列原子模型。以硅晶體生長為例，研究了碳、氮、氧等雜質在硅熔體中的擴散、分凝和溶解特性[8,9]。圖5為采用不同勢函數時獲得的碳雜質在硅熔體中的擴散系數隨溫度的變化關系。相關成果對于理解雜質的輸運機理、控制晶體內部雜質含量以及晶體生長過程宏觀尺度模擬的準確性，具有重要的基礎性意義。

此外，利用分子模擬針對碳、氮雜質在硅熔體中的成核過程進行了初步研究，相關結果對于揭示雜質成核機理從而控制晶體生長中硬質點的形成具有重要意義[10]。

圖5 采用不同勢函數獲得的碳雜質在硅熔體中的擴散系數隨溫度的變化關系[8]

2.5 流化床法復雜氣固兩相顆粒流動和晶粒生長理論模型的研究

流化床法由于其具有高效率、低能耗、污染可控等優勢已經成為制備如高純多晶硅等顆粒狀晶體的重要方法，具有廣闊的發展前景。在流化床法制備晶體顆粒的過程中，存在極為復雜的氣固兩相流動、傳熱、化學反應、晶體顆粒表面沉積與生長的過程，數值模擬已經成為研究該過程的主要方法。但是，如何合理模化氣固相互作用、準確描述晶體顆粒生長過程則是流化床法數值研究中的難點。

本研究團隊針對流化床法中復雜的兩相流動及晶體顆粒生長過程，提出了考慮介觀尺度非均勻結構的相互作用模型[11]和晶體顆粒生長理論模型[12]。其中，兩相流相互作用模型將亞網格尺度氣固流態化系統進行分解，如圖6所示，研究不同子系統中的相間作用，進而獲得網格內的氣固相互作用修正系數。該模型考慮了兩相流動過程中顆粒聚集體介觀尺度非均勻結構的影響，顯著提高了流動過程中的數值模擬精度。而晶體顆粒生長模型則綜合考慮了顆粒生長過程中不同生長路徑的綜合影響，能夠準確描述流化床法中多晶硅顆粒的粒徑變化特性。圖7為利用該數值模型獲得的關于原料氣濃度和氣流速度對晶體顆粒生長速率與沉積效率影響的研究結果。相關成果對于提升流化床法制備多晶硅等顆粒狀晶體材料的質量和產能，降低其制備成本，具有重要的指導作用。

2.6 晶體生長設備與工藝的智能優化算法與優化實踐

晶體生長熱場和工藝的優化一直是學界和產業界特別感興趣的研究方向。但是如果僅僅通過數值模擬進行優化研究的話，往往需要進行多組耗時的模擬分析才能對某一變量進行定性優化，而對于像晶體生長過程這種多變量多目標參數問題的優化則顯得無能為力。針對這個問題，日本名古屋大學Ujihara教授研究組針對溶液法生長碳化硅的過程，將數值模擬與人工神經網絡結合，使用模擬計算得到的800組訓練樣本對神經網絡進行訓練，訓練后的神經網絡可以準確地對不同工藝參數下坩堝內流動狀態與碳原子過飽和度進行預測，并且計算速度相較于數值計算提高了107倍。圖8為基于神經網絡的預測模型與基于CFD模擬獲得的溶液中過飽和度和流速分布對比分析，可見神經網絡預測結果可以準確反應溶液的流動特征[13]。該方法可以與優化算法結合，對工藝參數進行高效而準確的優化。這一方法的提出將使得以獲得高質量大尺寸半導體晶體材料為目標的多目標問題進行優化成為可能。

圖6 氣流-顆粒-顆粒聚集體相互作用計算模型[11]

圖7 多晶硅流化床中原料氣濃度和氣流速度對晶體顆粒生長速率與沉積效率的影響[12]

圖8 采用預測模型和CFD模擬計算得到的溶液中過飽和度和流速分布[13]：(a)基于神經網絡的預測模型，(b)傳統CFD計算

晶體生長過程中，控制變量參數眾多，但其作用結果有時是相互制約的。另一方面，表征晶體質量與制備成本的參數也眾多，因此，使用簡單的理論分析很難實現全面且系統性的優化。本研究團隊針對大尺寸太陽電池用準單晶硅鑄錠過程，基于“大數據”的思想，將人工神經網絡與遺傳算法相結合，實現了對長晶階段的控制工藝進行高效的多變量-多目標優化。所獲得的最優工藝通過對頂部、側部2個加熱器的降溫速率與風門打開速率進行調控，同時實現了凝固界面平整、晶體應力小、長晶耗時短的綜合優化目標[14]。圖9為通過以上優化方法獲得的優化后的工藝下的相變界面形變量與原始方案的對比。研究表明，在晶體生長的研究中，借助數學算法有助于發掘理論分析所不能及的最優結果。

圖9 優化工藝(點劃線)與原始工藝(實線)下凝固界面不平整度隨長晶高度變化[14]

3 發展趨勢與展望

晶體生長過程包含不同的復雜物理化學現象，存在于不同的空間和時間特征尺度上：從納米級別的原子晶胞到數米級別的晶棒，從飛秒級別的原子運動到數天時間級別的晶體生長周期。受計算精度及計算資源的限制，無法使用單一的數值模擬方法來描述晶體生長過程中的多種物理化學現象，因此，不同尺度的研究以及多尺度方法對于理解晶體生長過程中的各種復雜物理化學現象具有重要意義。

目前，晶體生長過程中使用的不同尺度方法包括：計算晶體電子結構的第一性原理，研究晶體內原子運動的分子動力學與蒙特卡羅模擬方法，研究晶界與形貌演化的相場及動力學蒙特卡羅模擬，以及模擬晶體生長過程的連續輸運模型。不同學者針對晶體生長中的不同尺度現象利用相應的方法進行了大量研究。然而，要將晶體生長過程與影響晶體質量的晶體微觀結構、成分、缺陷等相關聯，就需要用到多尺度耦合模擬技術。

多尺度耦合模擬技術近年來逐漸成為研究熱點，并將是今后一段時間在晶體生長數值模擬領域的研究前沿方向。目前相關研究仍然很不成熟，在晶體生長中尚未得到廣泛的應用，該技術目前面臨的幾個基本挑戰包括：

(1)亟需深刻理解不同尺度的物理模型，尤其是微觀層面的電子結構與分子動力學模型。如微觀模型中的邊界條件，相對于宏觀模擬中多樣化的邊界條件，目前廣泛應用于分子動力學模擬的邊界條件只有周期性與真空邊界條件。

(2)理解不同尺度模型之間的關聯。如：通過粗粒化近似將原子的堆疊過程與結晶界面相聯系。

(3)不同尺度之間如何有效的耦合。在不同尺度耦合的界面附近很容易出現大的誤差，這些誤差將導致數值不穩定性，從而使多尺度模擬失效。

(4)如何發展介觀尺度模型。介觀尺度模型處于原子模型和宏觀模型之間，對于許多問題的研究提供了合適的尺度，可以認為是離散的原子尺度，也可以認為是連續尺度。

除了多尺度數值模型的研究，晶體生長過程不同尺度物理現象的形成機理以及不同時空尺度物理現象之間的相互影響機制也是今后的研究方向和趨勢。

除此以外，以下研究也是晶體生長數值模擬領域尤其值得關注的方向：① 晶粒形核過程的模擬與形核機理研究；②不同缺陷的形成與增殖過程的模擬與機理研究；③ 缺陷、晶界與雜質的相互作用模型與機理；④ 晶體生長全過程全三維多物理場耦合模擬技術與高效算法開發；⑤ 基于生物進化、神經網絡和大數據分析技術的晶體生長多工藝參數、多目標變量智能優化算法開發與優化實踐；⑥ 晶體生長模擬分析軟件的國產化開發。