在習題教學中落實數學學科核心素養的培養

陳耀

新一輪課標修訂啟動以來，“核心素養”及其相關的話題就成為了高中教育教學關注的焦點，《普通高中數學課程標準（2017年版）》頒布之后，關于“數學核心素養”在課堂教學中如何得以培養的研究更是方興未艾，本文將從高三總復習時一道數列型不等式的習題證明出發，淺談如何培養數學學科核心素養.

1試題呈現

2試題分析

數列型不等式，涉及到的知識點較綜合，思維難度、跨度大，構造性強，需要有較高的放縮技巧，從而使問題充滿思考性和挑戰性，能全面地考查學生的潛能與后繼學習能力，因而成為了高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好素材.

3落實核心素養的依據

依據建構主義學習理論，學習者的學習過程是建立在已有的知識經驗和相應的文化背景之下，通過主動的知識加工而形成的，從這個角度來說，學生的學習最主要的動機來源于學生本身，首先要明確問題概念，進而整理總結得到解題規律，形成知識點，然后把各知識點通過邏輯線索連起來串成線，直至知識網絡，直至綜合的知識體，因此，在教師在教授過程中要充分調動起學生的主觀能動性，引導學生自行或者小組探究，通過多角度觀察、分析已知條件的的結構特征，通過邏輯推理，深入剖析其特征，抽象其數學本質，輔以直觀想象，建立相對應的函數模型，抓住其內在規律進行恰當地放縮，最后輔以合理運算可得其結論.

4主要解題過程呈現

基于以上理論，本題教學遵循引導發現，采用問題探究式教學，以多媒體、投影儀為輔助，倡導“自主、合作、探究”的學習方式，培養學生的數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象等高中數學核心素養，教學過程主要有：創設情景（課前準備、引入實例）一授新設疑一質疑問難、論爭辯難（進一步加深理解一突破難點）一溝通發展（反饋練習一歸納小結）一反思領悟.

4.1問題引入

師生互動師生共同觀察本例，試圖確定本題所考查的知識點（數列、不等式、函數等）;所考查的數學思想方法（化歸與轉化的思想、函數的思想、特殊與一般的思想等）;所考查的具體解題方法（放縮法等）;所涉及的高中數學核心素養（數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象等）;理解題意時不應該只局限于已知數，未知量等表面的內容，而要引導學生能否把問題簡化，或是換一種方式或者數學語言來表達，或是能否從自己的默會知識中搜索同類型的問題，并分析回憶其解題思路等.

設計意圖高三學生已經具有數列、函數和不等式等相應的知識，因此引入本類題型，以期能喚起學生對相應知識的回憶，使之有解答題目的欲望，幫助學生更好的復習好相應的知識點，以期揭示此類問題的解法本質.

4.2回顧放縮法

師生互動由直觀想象，此題可能要用到的放縮法，教師讓學生先自行探討再小組商定，盡可能的梳理出平時有涉及到的放縮的一些結論，或者方法技巧，或者已會的相關典例、數學模型等，經過師生努力后所得如下：

設計意圖通過“放縮法”的回顧與整理，讓學生盡快抽象出其數學本質，找到解題的“題感”，此類問題的解題“數感”，盡快引導學生通過邏輯推理把已有的知識和解題思路跟當下所需求解的問題通過直觀想象掛鉤，由已知想未知，由未知想需知，為突破本題埋下伏筆.

4.3回顧如何建模——構造函數模型

師生互動根據上述回顧及邏輯分析，觀察到不等式左側結構齊整，聯想到與指對數有關的函數模型，因此，教師引導學生回顧如何構造函數模型，如何構造、抽象出與不等式有關的函數模型，經過師生努力后得到如下常用結論：

設計意圖通過對放縮法進一步整理，讓學生找到與本題有關函數模型的放縮方向，盡快引導學生把握此題方向，向最后的解題方案擬定而努力，培養學生的邏輯推理、數學抽象、建模等核心素養.

4.4擬定方案

師生互動（l）所證的不等式左側有類似Inx的結構，故結合4.3所回顧的常用結論，可構造函數模型x≥1n（x+1），變形得.再次變形得

設計意圖此方案的核心就是構造了函數模型x≥Inx+l，突破了本題證明的難點，此思路源自過去的解題經驗和默會知識，因此，可拋出“你能找到與此有關的一道問題嗎？”這個問題讓學生思考，這個有關的問題不一定是一道曾經求解過的問題，而更可能是通過直觀想象，變化、轉換或修改敘述方式，找到與某個題目的聯系點.

4.5執行方案

師生互動教師根據4.4的分析，結合適當的數學運算，按照所擬定的方案邊講解邊板書呈現出完整的解題過程：

設計意圖從擬定方案到執行方案，學生最可能遇到的就是運算問題了，所以培養學生認真審題，主動動手操作，研究算法算理等能力很重要，特別是還需要養成良好的解題習慣，因此，教師必須堅持讓學生檢查每一個步驟，以使學生真正確信每一步的正確性，而且通過教師的板書示范，使學生能更好的模仿訓練，以至鞏固.

4.6回顧、反思

師生互動教師根據上述解答，提醒學生再次回顧之前所擬定的方案，檢查是否都按既定的方案徹底地執行了，或者在執行的過程中是否有需要進一步做合理調整的，或者有沒需要驗證的;最后反思整理，一起努力總結出本題的解題思路、策略：理解題意——回顧相關知識點或者方法——擬定方案——執行方案——回顧、反思，

設計意圖本題問題本質，主要就是考查利用導數知識研究函數性質，利用性質解決不等式、數列問題，重點考查學生的代數推理能力，從教師的教學視角來看，主要就是讓學生養成自我檢查、反思的好習慣，形成舉一反三的能力，提高他們的分析問題、解決問題的能力，養成用“核心素養”的眼光看問題的習慣.

4.7鞏固、整理

師生互動教師給出以下變式訓練，讓學生分組限時練習（考慮到時間關系，一組一題），答案在學生解題過程用投影儀呈現出來后板書出來，或用PPT呈現，然后點評學生的作業的優缺點。

設計意圖提高自主解決問題的能力，提高學生學習的熱情和動力，使學生體驗到成功的愉悅感，變“要我學”為“我要學”，“我要研究”的主動學習，點評時師生互動，增強了師生感情，一起構造了和諧、智慧的課堂，培養了學生各方面綜合的核心素養.

5從本題教學看高中數學核心素養的培養

5.1加強變式訓練，培養數學運算素養

從本題的解答過程得到啟發，筆者認為可以從以下5個方面著手培養.

（l）學生在解決問題出現運算錯誤時，主要都是因為對數學運算對象理解不透而導致，這些數學運算對象常常都是最基本的數學概念，因此，熟悉基本概念，理解數學運算對象對培養數學運算素養很重要.

（2）高中階段，理解公式和定理是解決問題的關鍵所在，在教師在教學過程中，應注重定理證明的思路及過程，讓學生知道定理的由來及應用范疇和一些限制條件，比如基本不等式應用的“一正二定三等”，因此，理解公式定理，掌握運算法則對培養數學運算素養很重要.

（3）常言道：“條條大路通羅馬”，數學運算也是同樣的道理，對于一道題目的理解，不同學生有不同的思路，因此需要從多角度審題，靈活探索運算思路.

（4）在教學過程中，教師在授課特別是在授新課時，應該對于常規題、典例進行正確的板書，注重分步答題，設計合理的運算程序，這個對培養數學運算素養很重要.

（5）從核心素養角度去考慮，運算能力包括算法算理、計算能力等，如果學生計算能力沒得到提升，所謂運算對象、思路、程序都是空談，因此數學運算最后還要落實到計算上來，因此加強變式訓練，提高計算能力對培養數學運算素養很重要.

5.2變換審題視角，培養直觀想象素養

從本題的解答過程中看，筆者認為可以從以下

3個方面著手培養.

（l）要加強概念教學，教材中不論什么內容都是從概念開始，然后通過邏輯推導得此概念的本質，因此，理解概念是核心，這有助于培養學生的直觀想象素養.

（2）直觀想象主要跟“幾何”內容有關，所以加強對圖形的識別很重要，教學中多注意加強演示，在演示中，引導學生注意觀察圖形特征，特別是要培養學生將一些復雜圖形拆解成基本圖形的能力，從而讓學生獲得幾何直觀和空間想象思維的感性認識的能力.

（3）由于綜合題往往涉及面較廣，在教學中，教師要加強直觀想象的培養，讓學生從分析題意的過程中，教給學生拆題的能力，化復雜為簡單，然后各個擊破.

5.3強化模型化思維，培養數學建模素養

筆者認為可以從以下3方面進行培養.

（l）重新審視教材，培養學生用建模的眼光看問題，比如，本題中涉及的數列求和的模型，均值不等式常用模型等.

（2）加強“換元法”的解題教學，使一些問題轉化為常用數學模型.

（3）注意加強常用模型的理解記憶及應用，比如幾何問題中的常用的正方體，正四面體，球等模型;函數問題中各函數模型，比如指數模型，對數模型等，多總結，多記憶，多應用，便于解題時能及時提取.

5.4整體相聯邏輯推理，培養邏輯推理素養

筆者認為可以從以下3方面進行培養.

（1）激發學生的數學學習興趣，課堂教學中融入數學文化、數學學科故事，使得知識有相關聯的背景，學生學習有興趣了，自然對邏輯能力的培養有幫助.

（2）問題教學中做好示范，培養好解數學題應有的好習慣，而且要打破平時的定式思維，注重發散思維的培養.

（3）結合具體習題與場景培養學生的思維能力，教師在教學過程中應該注重結合具體習題練習以及設置特定的場景，從學生的生活入手，引導學生學會從生活中發現數學，也鼓勵學生將所學到的數學知識靈活運用到生活中.

5.5提高思維的靈敏度，培養數學抽象素養

筆者認為可以從以下3方面進行培養.

（l）構建適當的數學模型，使數學知識聯系起來，讓知識學活，比如“三個二次”問題;比如數列是一種特殊的函數等.

（2）巧用思維導圖，培養學生的思維活躍性.

（3）從培養學生的自主能動性入手，學生應該在教師的指導下有意識地將各相關知識點聯系起來，將生活與知識聯系起來，將小組團隊學習引入到課堂內外學習中是一種很好的學習方式，

總之，數學教學應能針對不同階段的學生，提出既不超過自身認知結構的同化能力，又能促進他們向更高階段發展的富有啟迪作用的恰當內容，各種素養的培養應該是相互促進的，單方面培養某方面的素養是不利也不可行的，所以在落實素養培養時，齊頭并進更有效。

參考文獻

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