關于牽連物體的解題思路探析

(安徽省滁州中學，安徽 滁州 239000)

牽連物體間的位移、速度、加速度關系是高考、競賽的高頻考點，既涉及運動的合成與分解，又涉及系統的機械能守恒。物體間牽連關系在時間上的積累可表現為位移的聯系，通過構建顯性的位移關系推演隱性的速度、加速度關系，可以提升學習效率，巧妙地運用微元思想可達到化繁為簡、化曲為直、化變為恒的目的。本文分別以輕繩(細線)、接觸面、輕桿作為牽連物構建物體間的位移關系，解題中運用微元、放大的方法，可以在較短時間構建牽連物體間的制約關系，進一步求解速度和加速度。

1 物體間的牽連物為輕繩(細線)

例1：如圖1所示，人在高為h的臺階上用輕繩經滑輪拉小車。若繩的速率恒為v，當繩與地面夾角為θ時，試求此時小車的速率u及加速度a。

圖1

圖2

解：利用放大的方法構建小車經過極短時間Δt從A點運動到B點的運動示意圖(如圖2)，在OA上選取OC=OB，根據微元思想ΔABC為直角三角形，小車的合位移AB按照運動效果分解為：(1)AC代表到O點距離減小的效果；(2)BC代表相對O點轉動的效果。

評析：分解對象的選擇、分解方法的確定是學生解題過程中的難點和易錯點，通過放大的方法結合微元思想，學生能確定小車的位移為分解對象，并選擇分解到沿繩方向和垂直繩方向。可以采用類似的方法構建小車的加速度和相對O點的向心加速度之間的關系，本文統一用求導的方法。

例2：如圖3所示，兩根間距為l的光滑細直桿AA1和BB1，固定在天花板上，將繩的一端拴在B點，另一端拴在套于AA1桿子上的珠子D上，另有一珠子C穿過繩及桿BB1、以速率v1勻速下落，而珠子D以一定速度沿桿上升。當圖3中角度為α時，珠子D上升的速率v2及加速度a分別為多大？

圖3

圖4

評析：該題解題方法與例1一脈相承，基于繩不可伸長，構建經過極短時間Δt兩珠子之間的位移關系，把復雜的速度、加速度關系轉化為顯性的位移關系，學生從心理上容易接受，操作起來容易上手，該題加速度的表達形式與例題1有異曲同工之妙。

2 物體間的牽連物為接觸面

例3：如圖5所示，有一個沿水平方向以加速度a作勻加速直線運動的半徑為R的半圓柱體，半圓柱面上擱著一個只能沿豎直方向運動的豎直桿。當半圓柱體速度為v時，桿同半圓柱體接觸點和柱心的連線與豎直方向的夾角為θ，求這時豎直桿的速度和加速度分別為多大。

圖5

圖6

圖7

評析：相互接觸的堅硬物體在垂直于接觸面的方向上的速度大小相等，可以采用運動的合成與分解方法，把物體的速度分解到沿接觸面的法線方向和沿接觸面的切線方向，利用法線方向的速度相等構建物體間的牽連關系，切線方向的速度為相對速度。本題采用化隱性的速度、加速度關系為顯性的位移關系，學生更加容易找到解題思路和突破口，缺點是對數學的要求較高，求解加速度時需要明了半圓柱體也具有加速度。

3 物體間的牽連物為輕桿

例4：如圖8所示，細桿OL繞O點以勻角速度ω轉動，并推動小環C在固定的鋼絲AB上滑動，其中O點到鋼絲AB距離為h，試求當圖8中夾角為θ時小環的速度和加速度。

圖8

圖9

評析：對于桿系交叉點的速度求解可以采用運動的合成與分解原理，把桿上C點的運動分解到沿OL方向和沿鋼絲AB方向，學生常采用機械記憶的方法，很難把握這種分解的實質。選擇位移作為突破口，思路清晰、線索明確，同時可從本質上理解位移、速度、加速度之間的內在聯系。

4 結語

求解牽連物體間的位移、速度、加速度之間的關系時既可以利用運動的合成與分解，也可以利用絕對速度等于相對速度加牽連速度的關系，同時也可以通過構建顯性的位移關系，再推演隱性的速度、加速度關系。方法沒有優劣之分，只有適合與否。