運用幾何畫板繪制橢圓的有效方法

于翠玲

在圓錐曲線中，曲線上的點到定點的距離與到定直線的距離的商是常數e，且0

幾何畫板以點、線、圓作為基礎圖形，對這些基礎圖形進行拼接、平移、變換、度量、構造、軌跡追蹤以及對基本圖形的性質進行運用。學生可以在此過程中探究圖形的內在關系并發現數學的本質，探究數學的奧妙和趣味性，激發學習數學的興趣。筆者結合自身教學經驗，在總結、歸納、提煉和創新的基礎上整理出七種常用的運用幾何畫板繪制橢圓的方法，分享如下：

一、定義法

定義法的原理是圓錐曲線的統一定義，即焦點距離與到準線距離的商是定值的點的軌跡。橢圓的定義，即平面內一個動點到兩個定點的距離之和等于常數，這個動點的軌跡叫橢圓，這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距。

繪制的具體步驟為：打開軟件，新建文件，在繪畫板內畫線段AB的同時在AB上繪制出C點，然后在AB外選取D、E兩點，滿足DE>AB;選中A、C兩點進行標記向量，然后通過標記向量將D平移，得到D';選中D和D'點，繪制出一個以D為圓心，以D和D'間距離為半徑的圓并且隱藏;同理，標記B、C兩個點為標記向量，并且作出E的平移點到E'點，構造出圓，隱藏E'點;運用點工具做出兩個圓周交點為F、G兩點。

接下來分兩種方法研究。

分別選中F、C和G、C兩組點進行構造軌跡繪制出橢圓曲線，如圖1所示。

點擊F點，點擊顯示、追蹤交點，同理操作G點;點擊C點，選擇操作類按鈕、動畫、確定，完成設置;點擊繪畫板上的動畫鍵，繪畫板就繪制出一個橢圓，如圖2所示。

二、準線法

準線法的原理是圓錐曲線的統一定義，也就是到定點與定直線的距離的比為常數e的點的軌跡，叫圓錐曲線，而這條定直線就叫做準線和橢圓準線定義，即垂直于長軸所在直線的直線，方程為：

具體步驟為：打開軟件，定義坐標系并且將原點設置為A點;用左側工具欄中工具作出線段CD并做E點于CD上;同時選中C、E，并測量出CE長度，同理將CD長度測量出來;打開計算器并且輸入CE/CD，然后雙擊出現的CE/CD的屬性框，在比值標簽中輸入e并點擊確定;在坐標系的橫軸上設置點F為焦點;任意作出線段GH的同時取點I，然后度量出GI距離，并將GI的標簽名稱改為c;點擊e和c兩個數據框，然后打開計算器并且輸入c/a，并將它的標簽名稱改為a;選中a在x軸上繪制點，并通過繪制點進行構造、垂線的操作，作出一條橫坐標為a且垂直于x軸的直線;點擊c，然后點擊變換、標記距離;選中F點并且點擊變換、平移、確定作出F'，選中F和F'兩點然后進行作圖、畫圓;將直線和圓周的交點分別設為J、K并且選中兩點進行追蹤;點擊I，進行動畫操作，然后點擊出現的動畫按鈕，橢圓的繪制動畫就出來了，如圖3所示。

三、同心圓法

在幾何畫板中定義坐標系，并且繪制兩個圓心為原點A的圓，其中內外圓半徑分別為短軸和長軸的長，然后隱藏單位點和兩個圓周上的控制點;作外圓的半徑為AE，將AE與小圓的交點設為點F;選中E和x軸進行構造、垂線，作出過E且垂直x軸的直線，同理作出過F且垂直于y軸的直線，兩直線的交點則命名為G。

接下來的步驟分兩種方法進行。

點擊G和E，然后進行作圖、軌跡，就作出了橢圓曲線，如圖4所示。

點擊G，進行顯示、追蹤點，然后選中圓周上點E，進行編輯、操作類按鈕、動畫、點擊確定，然后點擊動畫按鈕，通過點G運動就會畫出橢圓，如圖5所示。

四、單圓法

單圓法的原理是橢圓的定義，即平面內一個動點P到兩個定點F1 ?、F2 ?的距離之和等于常數，且滿足│PF1│+│PF2│= 2a>│F1F2│，這個動點P ?的軌跡叫橢圓。這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距。

單圓法第一種做法：打開幾何畫板軟件，作出一個圓并隱藏圓周上的控制點B，該圓的半徑為2a;在圓內和圓周上分別作出C、D兩點，連接CD;選中CD構造出中點E，然后選中點E進行構造、垂線作出垂直CD的直線k;連接AD，然后作出k和AD的交點為F點;選中點F進行顯示、追蹤點F;點擊D進行設置動畫并點擊完成鍵，繪畫板上出現動畫按鈕，然后點擊動畫按鈕，通過點D的運動繪制出橢圓曲線，如圖6所示。

單圓法第二種做法：新建文件、定義坐標系并將原點設置為A，隱藏單位點并用工具畫一個以原點為圓心的圓并且隱藏圓周上的點，然后將y軸和圓的交點設置為D、E，并在圓上作出F點;運用直線工具，做出線段EF，點擊點F和縱坐標軸，然后構造、平行線，得到過F平行于y軸的直線，并將該直線與x軸交點設為G，連接D、G并作出EF和DG交點為H;點擊H，然后顯示、追蹤點;點擊F，點擊編輯、操作類按鈕、動畫、確定，將出現動畫按鈕，點擊該按鈕，點H就會畫出橢圓， 如圖7所示。

五、三角形法

三角形法的原理與定義法基本相同，由于三角形邊長不變，通過三角形一點在y軸運動帶動其他點繪制出橢圓，只要是相交的兩條直線就可以作出橢圓，不一定要選擇坐標系的x軸和y軸;可以不選擇正三角形，只要是可以固定形狀不變就可以了。

首先新建文件，然后定義坐標系，將原點設置為A，單位上的點為B，并且將單位點B隱藏，運用線段工具作出任意線段CD;在y軸上x軸的兩邊分別作出E、F兩點，且AE>CD和AF>CD;然后在作出EF的同時在y軸上做出G點，且AG

六、包絡線法

包絡線法的原理與單圓法基本相同，但是運用的方法類似于圓的切線，運用該方法得出的圖形是切線未過的地方，因為橢圓圖形任何一條切線都不可能經過橢圓內部。

新建文件，用圓工具作圓，將圓心設置為A，在圓內設置C點，在圓上設置D點，并連接AC、CD;設置CD的中點為E，作出過E垂直于CD的直線;選中垂線的同時，點擊顯示、追蹤直線;點擊D，進行編輯、操作類按鈕、動畫，然后確定;點擊出現的按鈕就會畫出橢圓，如圖9所示。

七、切線法

切線法的原理與單圓法基本相同。

打開幾何畫板并定義坐標系，將原點設為A;然后以原點為圓心作圓并將圓的控制點隱藏;運用點工具繪制將x軸與圓周的交點設置為D、E;然后在D、E兩點作出x軸垂線分別為j、k;在圓上取F，并且連接FA，在F點做出圓的切線，隱藏FA，將G和H設為該線與j、k交點;連接線段GE、HD，將兩直線交點設置為I，并且隱藏FA;將點I設置為追蹤點并用 F設置動畫，點擊確定，點擊左上角新出現的按鈕，通過點I的運動就會畫出橢圓，如圖10所示。

以上繪制方法易教易學，便于操作。教學定法并非無法，只要我們在教學中善于觀察和積累，把一些好的教學點滴記錄下來，進行歸納總結和提煉，就會形成好的教學方法并逐漸形成自己的教學特色，服務于課堂教學。各位同仁不妨一試。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??編輯/王一鳴 E-mail：51213148@qq.com