轉移概率部分未知時滯跳變系統有限時間H∞控制

(江南大學 輕工過程先進控制教育部重點實驗室, 江蘇 無錫 214122)

0 引言

由于環境的突變，子系統間跳變等隨機突變因素的影響，傳統切換系統很難描述上述隨機跳變模型，為了減弱上述隨機突變對系統的影響，可以用馬爾科夫跳變系統模型來精確表示此類存在突變的數學模型。馬爾科夫跳變系統具有廣泛的應用背景，該系統有兩部分構成, 一部分是用離散時間或連續時間動力學模型來描述的子系統, 另一部分是馬爾科夫鏈, 子系統的狀態軌跡沿著此鏈在各個時間區間內進行隨機的跳變。在電力系統、通訊系統、制造業系統等[1]方面馬爾科夫跳變系統彰顯了強大的建模能力。近年來，馬爾科夫跳變系統已成為控制理論界熱門的研究方向之一，主要包括穩定性與控制器設計[2-5],系統故障檢測與容錯控制[3,6]，濾波及狀態估計[3,7,8]。

跳躍過程中轉移概率很大程度上決定了系統的性能, 但是獲取精確的轉移概率是非常困難的，在考慮轉移概率部分未知的條件下，已有大量文獻對其進行了研究[9-12]。文獻[10]針對轉移概率部分未知的馬爾科夫跳變系統魯棒控制問題[10]進行了研究。文獻[11]研究了馬爾科夫跳變系統的穩定性。文獻[12]在轉移概率部分未知，執行器和傳感器同時故障的條件下，通過對系統故障同時估計方法，設計了系統觀測器和控制器。在很多實際工業系統中，由于信號在傳輸過程中存在時延和測量不靈敏等因素，時滯對于系統來說是不可避免存在的，也是導致控制系統不穩定的因素之一。因此對于具有時滯，狀態轉移不確定的跳變系統的穩定性分析具有重要意義并且也取得了很多成果[13-18]。

近幾年來，有限時間控制在工程實踐中的應用越來越廣泛，而現有文獻主要研究無限時域內的李雅普諾夫漸進穩定性問題，對于許多工業應用系統，諸如飛行器的姿態控制、化學反應的溫度控制、導彈跟蹤控制而言，我們更加關注的是動力系統在固定有限時間間隔上的行為即某段時間系統的特性，例如，當系統的控制回路存在飽和元件或者控制飛行器在一個特定時間區域內從一個點轉移到另一個點的軌跡問題時，都會遇到系統的有限時間穩定問題。而有限時間穩定性則可以很好的對此進行衡量。近幾年對于有限時間穩定性控制問題引起了廣泛關注[19-25]。

受以上分析啟發，本文討論了在轉移概率部分未知情況下的時滯馬爾可夫跳變系統基于觀測器的有限時間控制問題。主要目的是設計一種狀態觀測器和狀態反饋控制器，保證閉環系統隨機有限時間的穩定性。主要分為以下三個部分來說明：1) 對于時滯馬爾科夫跳變系統進行有限時間穩定性分析，考慮狀態轉移概率矩陣部分未知情況, 相較于基于精確狀態轉移概率矩陣的文獻更具實用性; 2)在進行系統控制器和觀測器設計時，由于分析過程中所得的線性矩陣不等式具有非線性項，使用解耦技術來解決，得到一組可以求解的線性矩陣不等式；3)通過求解得到的觀測器增益和控制器增益矩陣，進行SIMULINK仿真，驗證所提方法的有效性。

1 系統描述及準備工作

考慮如下的時滯時序馬爾科夫跳變系統：

(1)

其中：x(t)∈Rn、u(t)∈Rm、y(t)∈Rρ、z(t)∈Rρ分別是系統的狀態向量，控制輸入，測量輸出和被控輸出，τ是系統的時滯常數，f(t)∈Rt系統時變不確定的有界未知輸入信號，包括擾動、噪聲等，不失一般性。{rt,t≥0}是在有限集合R={1,2,...,N}中隨時間t取值一個馬爾科夫隨機過程，rt表示系統跳變模態，轉移概率矩陣定義為Γ={πij},i,j∈R，由t時刻的模態i轉移到t+Δt時刻的模態轉移概率為：

(2)

假設外部擾動滿足：

(3)

本文考慮轉移概率部分未知情況，如某個含4個子系統的馬爾科夫跳變系統可能具有如下轉移概率：

(4)

(5)

(6)

對于系統(1)選取如下的時滯狀態觀測器和反饋控制器：

(7)

(8)

其中：

本文的任務主要是在保證閉環系統在有限時間穩定的情況下，設計系統(8)的H∞控制器和觀測器，使得系統滿足一定的性能指標要求。同時，以LMI的形式給出H∞控制率的存在條件以及觀測器和控制器增益的求解方法。

在分析前給出以下定義和引理：

定義1 (有限時間穩定性) 對于時滯跳變系統(1)，給定三個正常數σ,ε,T滿足0<σ<ε,,和一組正定矩陣R(rt)，若對于?t1∈[-τ,0]和?t2∈[0,T].如下式子成立：

xT(t1)R(rt)x(t1)≤c1?xT(t2)R(rt)x(t2)≤c2

(9)

則系統(1)是關于σ,ε,T,R(rt),d有限時間鎮定的。

定義2 (有限時間H∞穩定性) 對于閉環系統(8)，給定三個正常數σ，ε，T滿足0<σ<ε,T>0和一組正定矩陣R(rt)，對于?t∈[0,T]，若存在一個正常數γ>0，若增廣系統滿足如下要求：

(1)當外部擾動滿足(3)時，增廣跳變系統(8)有限時間鎮定。

(2)在零初始狀態下，跳變系統(8)控制輸出z(t)滿足：

(10)

則閉環系統(8)是關于σ,ε,T,R(rt),d,H∞有限時間有界的。

(1)A<0,D-CA-1B<0;

(2)D<0,A-BD-1C<0.

2 有限時間穩定性分析

在這一小節中主要對系統進行有限時間穩定性分析，給出了閉環系統(8)有限時間穩定的充分條件，并進行證明。

(11)

(12)

(13)

(14)

其中:

證明 構造如下的李雅普洛夫函數:

(15)

(16)

(17)

(18)

對于?t∈[0T]，對上式(18)從0到T進行積分，可以得到如下不等式成立：

(19)

從式子(19)，可以看出：

(20)

從而：

(21)

(22)

證明 在零初始條件下，對于增廣系統(8),選取李雅普諾夫函數:

根據Schur定理，式子(22)可以等價于：

(23)

由于：

(24)

可以看出：

(25)

系統(8)是有限時間鎮定的。此外對于系統(8)，根據不等式(12) (13) (22)可以得到：

(26)

上式兩邊同時乘以e-αT，可以得到：

(27)

在零初始條件下，對上式積分可得：

(28)

由上式可得：

(29)

從定理1可知，對于上文選取的合適的李亞普洛夫函數，不等式(11)(12)(13)(14)保證了閉環系統(8)有限時間穩定性。若在不考慮干擾的情況下，不等式(22)就退化成不等式(11)，進一步說明，滿足定理2的控制器和觀測器不僅滿足一定的H∞性能指標，也能保證系統有限時間的穩定性。

由于定理2存在非線性乘積耦合項,這就需要在前文假設的條件下,在進行觀測器和控制器設計時，應用引理,得到消去非線性項的線性矩陣不等式。

3 系統控制器和觀測器設計

上一小節給出了系統有限時間穩定的充分條件，但所提出的線性矩陣不等式存在非線性項，這一小節中對于耦合項進行處理，進行系統控制器和觀測器設計，得到一組可以求解控制器增益和觀測器增益的線性矩陣不等式。

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

0

(35)

(36)

其中：

W1i=-diag{Xk1i…Xkr-1i,Xkr + 1i…Xkmi}

系統的狀態反饋控制器增益為Ki=YiXi-1。

(37)

其中:

θ11=AiTPi+PiAi+KiTBiTPi+PiBiKi+

θ12=-PiBiKi,θ13=PiAdi+PiBiKdi,θ14=-PiBiKdi,

θ22=AiTPi+PiAi-CyiTHiTPi-PiHiCyi

(38)

注意到，θ22和θ24是非線性的，存在乘積耦合項Pi和Hi都是需要待求的矩陣，這里定義系統觀測器增益矩陣Hi=Pi-1CyiT，則θ22和θ24等價于：

θ24=PiAdi-CyiTCydi

XiXj-1Xi-Li< 0j∈Luki,j≠i,(40)

(41)

上式(40)(41)分別等價于(32)(33)。

另一方面，定義：

(42)

從條件(34)和(35)，可以得到：

將上面條件帶入式子(42)，則可得不等式(36),證畢。

對于四模態的時滯馬爾科夫跳變系統(1)，其系統參數為:

模型1:

Cd1=[-0.1 0.1],D1=[0.5],Cyd1=[0.1 -0.2].

模型2:

Cd2=[0.3 0.2],D2=[0.2],Cy2=[0.2 -1],.

模型3:

Cd3=[0.3 0.5],D3=[0.3],Cy3=[0.2 -2],.

模型4:

Cd4=[1 2],D4=[0.4],Cy4=[0.2 -1],.

針對上述系統進行有限時間穩定性分析，控制器和觀測器設計。

4 實驗結果與分析

選取系統參數c1=0.25；α=1.0；d=1；T=2；Ri=I；τ=0.5。

假設系統的轉移概率矩陣為：

其中： ?為系統轉移概率未知部分，運用Matlab的LIM工具箱，求解線性矩陣不等式，可以得到系統狀態控制器增益和狀態觀測器增益如下：

K1=[-3.1629 -5.5160],K2=[-3.0890 -5.6813]

K3=[-1.1179 -2.7311],K4=[-3.3143 -4.0815]

Kd1=[-0.1133 0.1301],Kd2=[0.0108 -0.312]

Kd3=[-0.1167 0.1491],Kd4=[0.0491 -0.3328]

H1=[1.0551 1.0065]T,H2=[2.9854 -3.4310]T,

H3=[1.9238 1.4342]T,H4=[5.0045 -5.7889]T.

對于上述算出的控制器增益和觀測器增益，使用SIMULINK仿真，選取系統噪聲為方差0.01的白噪聲，仿真時間為2秒，延時為0.5秒，系統初始狀態值為[2 -9]T，則可以得到系統的模態轉化圖，和狀態響應仿真圖。

圖1 仿真圖

從仿真圖形中可以看出，對于具有轉移概率部分未知的時滯跳變系統，所設計的控制器和觀測器仍然可以保證系統(1)有限時間H∞穩定，證明了所設計的狀態反饋控制器和觀測器是有效的。

5 結束語

本文研究了在一定性能指標約束條件下，轉移概率部分未知時滯馬爾科夫跳變系統有限時間H∞控制問題，通過擴展跳變系統狀態，將系統轉換為具有跳變參數的廣義描述系統，針對此系統進行控制器設計，保證系統有限時間穩定性。采用自由加權矩陣法, 處理轉移概率部分未知情況，保證所得線性矩陣不等式條件具有更小的保守性。最后，通過SIMULINK仿真驗證了所提算法的有效性。值得注意的是，本文中考慮的是確定時滯對系統的影響，針對于時變時滯情況，這是后續需要研究的內容。