公司現金管理模型研究

魏宇方舟

摘要：文章將股票會支付紅利和證券收益率不確定這兩種情況考慮進入Sethi & Thompson構建的公司現金管理模型，試圖求解一個最優的現金管理策略，即隨著時間的變化，公司財務管理人員應該如何分配寄存于銀行的資金和投資于證券的資金，從而使該公司以最小的成本滿足必要的現金需求。文章通過使用Pontryagin最大化準則，并嘗試使用一個新構建的隨機情況下的最大化準則來獲得了兩種情況下的最優的現金管理策略。最后，文章對未來更進一步的研究提出了展望。

關鍵詞：現金管理；股利；隨機收益率；最大化準則

1 引言

隨著現代市場經濟的發展，企業內部管理已慢慢成為一家企業成功與否的關鍵因素之一。作為企業內部管理的重要組成部分，現金管理，愈發受到企業經理們的重視。增加現金流和改善現金的使用效率，是企業現金管理的主要目標（W.J. Baumol， 1952[1]）。

現金，是所有企業資產中流動性最強的資產，任何一家企業都必須始終保持有一定數額的庫存現金，以保證企業日常運營所需的最低現金需求（J. Tobin， 1956[2]）。但是，現金是一個非營利性的資產，若一份貨幣資金在企業中滯留過久，勢必會降低企業的效益，與其任其不管，不如將這部分基本不用的資金投入市場，賺取更多財富。因此，日常現金管理的主要任務就是在保證公司基本現金流的前提下，力爭控制其持有的現金在一個盡可能低的水平上（G.D. Eppen & E.F. Fama， 1968[3]）。圍繞這一目標，西方企業財務管理專家們付出了很多努力，也已經形成了一系列傳統的現金管理理論成果。

Seth & Thompson[4]于1970年在論文Application of mathematical control theory to finance： Modeling Simple Dynamic Cash Balance Problems中對企業現金管理建立了一個確定性模型。Sethi和Thompson的模型不僅為現金管理問題提供了一個具有可行性的方法，而且還對后續的相關研究有實質性的指導意義（R.C. Merton， 1971[5] & G.M. Constantinides， 1976[6]）。接下來，我們就先簡要介紹Sethi & Thompson的這個確定性模型。

在Sethi & Thompson的確定性模型中，只考慮了兩種金融資產，即銀行存款和證券。記在 時刻的銀行存款為 ，投資于證券的資金為 ，銀行利率為 ，證券收益率為 ，企業現金需求為 ， 。控制變量是在 時刻的證券出售額 ，當公司賣出證券時， 是正數，當公司購入證券時， 是負數。同時， 是有界的，即 ， 且 ，因為公司在每一時刻的證券交易不可能無限制地進行，為了管控風險，公司在每一時刻都需要設定一個合理的證券交易上下限范圍。此外，股票交易收費率是 ， 。于是可以得到如下常微分方程組：

其中初值條件為 ， 。目標函數為 ，即每一時刻的公司財富（僅包括銀行存款和證券資產）最大。Sethi & Thompson利用Pontryagin最大化準則，求得了控制函數 ，從而得到了一個最優的現金管理策略。

我們則在該模型的基礎上，考慮了股票會支付紅利的情況，和證券收益率不確定的情況，并求解得到了新情況下的企業現金管理最優路徑。

對于股票會支付紅利的情況，與Sethi & Thompson一樣，我們依據Pontryagin最大化準則來解決我們提出的模型。

對于證券收益率不確定的情況，這種更能夠反映真實市場的情況，Sethi & Thompson也對其進行了模型的構建和探索，他們表明，在這種情況下無法得到一個精確的最優控制路徑，這也受到了其他研究公司現金管理問題的學者的認同（例如M.H. Miller， 1966[7]）。事實上，當證券收益率不確定時，現金管理模型的最大化問題是一個隨機問題（R.G. Vickson， 1971[8]）。當然，以往已有學者對這一問題的求解方法進行了探索。例如，可以采用蒙特卡洛仿真策略來模擬，但是這種方法較為粗糙（S.P. Sethi & G.L. Thompson， 1970[4]）；隨機模擬、遺傳算法和模擬退火算法的混合智能算法，為模型求解提供了一個不錯的新思路，但是這種算法較為冗雜（H.G. Daellenbach， 1985[9]）。因此，我們在參考了前人的研究之后，首先構建了一個隨機的證券收益率的描述形式，并新定義了一個帶有期望形式的伴隨函數，接著根據新定義的伴隨函數和Pontryagin最大化準則，求解得到了一個在證券收益率不確定情況下的企業現金管理策略。

2 考慮股票會支付紅利的現金管理模型

與Sethi & Thompson的基礎模型相似，我們只考慮一個公司投資于證券的資產和現金資產，并同樣記在 ， 時刻的銀行存款為 ，投資于證券的資金為 ，銀行利率為 ，證券收益率為 ，現金需求為 。同時我們記 為證券的分紅率。控制變量是在 時刻的證券出售額 ， 是有界的，即 ， 且 。此外，同樣記股票交易收費率是 ， 。這樣我們就可以得到如下的常微分方程組：

其中初值條件為 ， 。目標函數為 。這就是在股票會支付紅利情況下的一個公司現金管理模型。我們根據Pontryagin最大化準則，對該模型進行求解。首先引入 和 這兩個伴隨函數，令其滿足如下的兩個微分方程和兩個橫截條件：

接著，我們根據引入的伴隨函數，構造Hamilton函數：

通過選擇控制變量使得Hamilton函數最大化，我們就可以得到最優的現金管理策略。可以明顯看到，我們構建的Hamilton函數是 的線性函數，從而對于問題的解，一定是bang-bang的形式。因此我們考慮在Hamilton函數中包含 的項：

可以發現，當 時， ，這時如果 ，即伴隨函數 與股票交易收費率與 的差的乘積大于或等于伴隨函數 時（以下類推），為了使得 盡量大，我們就要讓 盡量大。相反，如果 ，則需要讓 盡量小，才能使 盡量大。當 時， 的形式為 ，這時如果 ，則 需要盡量小，才能使得 盡量大，相反如果 ，則 需要盡量大才能使得 盡量大。綜合以上，我們就得到了如下的控制變量最優路徑：

即在我們的假設前提下， 時刻企業的最優現金管理策略，只有將購買的證券的錢花到最大；將能賣出的證券資產全部賣出以及既不買入證券也不賣出證券這三種情況。

這里的伴隨函數 和 ，可以通過它們滿足的微分方程和橫截條件求得：

至此，我們就求得了在考慮股票會支付紅利情形下的公司最優現金管理策略。

3 考慮證券收益率不確定下的現金管理模型

3.1 模型和一個描述不確定證券收益率的形式

現在我們考慮當證券收益率不確定時的情形。我們記 為證券收益率， 是一個隨機過程。這樣，我們的模型就是如下這個形式：

初始條件依舊是 ， 。目標函數同樣為 。

接下來，我們考慮構建一個可以描述 的模型。參考以往的關于證券價格的理論與實證研究，我們選擇使用Simmons提出的一個描述證券收益率的模型：

這里 是證券價格在 時刻的凈收益率， 和 是常數， 是一個具有零均值的隨機干擾項。在我們的模型中，我們對Simmons的模型適度簡化，令：

且 為服從零均值的正態分布。同時我們允許 和 隨時間變化。

根據 的定義，可以給出 ，其中 為證券價格。我們將 視為 在離散時間下的近似，故我們有以下近似的隨機微分方程：

其中 。 和 是已知的函數， 是一個零均值，方差為 的隨機變量。并假設 是一個白噪聲過程，一個高斯不相關過程。

至此我們就構建完成了考慮證券收益率不確定下的企業現金管理模型，并給出了一個較為合理的描述不確定證券收益率的形式。并且，值得注意的是，對于這個描述不確定證券收益率的形式中的參數，可以考慮通過以往的實際數據訓練得到。

3.2 一個最優現金管理策略

我們不妨先假設證券收益率是確定的，這樣引入的伴隨函數 和 就和確定性下的情況一樣，滿足：

3.3 的計算

根據上文已給出的描述不確定證券收益率的模型，我們首先引入 作為以下方程的解：

4 總結與展望

本文基于Sethi & Thompson的企業現金管理模型，考慮股票會支付紅利和證券收益率不確定的兩種情況，對模型進行了拓展研究，對于股票會支付紅利的情況，我們直接基于Pontryagin最大化準則求解到了企業最優的現金管理策略。而對于證券收益率不確定的情況，我們首先將引入的伴隨函數賦予了期望的形式，再根據最大化準則求解得到了最優的現金管理策略。其中對于附有期望形式的伴隨函數，我們根據一個描述證券不確定收益率的模型，得到了伴隨函數的顯示表達。

本文研究的不足之處，首先在于對證券收益率不確定下的模型的最優現金管理策略，其伴隨函數的表達依舊較為復雜，增加了在實際應用時需要考慮的因素的數量和實際操作時的復雜程度，表達形式更簡潔的不確定性下的最優現金管理策略值得進一步尋找；其次，由于現如今企業內部數據的獲取難度較大，我們期望在未來，能夠將我們得到的最優現金管理策略進行進一步的實證應用與分析，探索其在社會中的價值。

參考文獻

[1] W.J. Baumol， The transactions demand for cash： An inventory theoretic approach[J]， Quarterly Journal of Economics，1952，66（4）：545-556.

[2] J. Tobin， The interest elasticity of transactions demand for cash[J]， Review of Economics and Statistics，1956，38： 241-247.

[3] G.D. Eppen， E.F. Fama， Solutions for cash balance and dynamic portfolio problems[J]， Journal of Business，1968，41（1）： 94-112.

[4] S.P. Sethi， G.L. Thompson， Application of mathematical control theory to finance[J]， Journal of Financial and Quantitative Analysis，1970， 5（45）： 381-394.

[5] R.C. Merton， Optimum consumption and portfolio rules in a continuous-time model[J]， Journal of Economic Theory，1971，3（4）： 373-413.

[6] G.M. Constantinides， Stochastic cash management with fixed and proportional transaction costs[J]， Management Science1976，22（12）：1320-1331.

[7] M.H. Miller， O. Orr， A model of the demand for money by firms[J]， Quarterly Journal of Economics，1966，80（3）： 413-435.

[8] R.G. Vickson， Simple optimal policy for cash management： The average balance requirement case[J]， Journal of Financial and Quantitative Analysis1985，20（3）：353-369.

[9] H.G. Daellenbach， A stochastic cash balance model with two sources of short term funds[J]， International Economic Review，1971，12（2）：250-256.