NURBS曲線在羅茨泵轉(zhuǎn)子型線設(shè)計中的應用

劉振超 何雪明 黃海楠

(1.江南大學江蘇省食品先進制造裝備技術(shù)重點實驗室，江蘇 無錫 214122；2.三一重機有限公司，江蘇 蘇州 215300)

羅茨泵是一種無內(nèi)壓縮的旋轉(zhuǎn)變?nèi)莘e式泵，在食品、化工、醫(yī)藥等行業(yè)中的真空蒸餾、濃縮、干燥等工藝過程中得到廣泛應用[1]。其核心零部件為內(nèi)部一對沿相反方向同步旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)子。羅茨泵在工作過程中借助于轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動過程中與轉(zhuǎn)子腔形成的多個基元容積實現(xiàn)抽氣功能。轉(zhuǎn)子截面形狀即轉(zhuǎn)子型線，其優(yōu)劣直接決定了整個羅茨泵設(shè)備的工作性能。

Tsay等[2]提出了葉峰曲線為單圓弧、葉谷曲線為圓弧共軛曲線的羅茨風機轉(zhuǎn)子型線，并建立了轉(zhuǎn)子型線的方程。Hsieh等[3]嘗試用漸開線設(shè)計羅茨風機的轉(zhuǎn)子，并通過試驗證明了使用漸開線轉(zhuǎn)子型線的羅茨風機擁有更高的容積利用效率。Tong等[4]根據(jù)偏差函數(shù)推導了羅茨泵的一般流量公式，并提出了一種根據(jù)給定流量方程設(shè)計羅茨泵轉(zhuǎn)子型線的方式。Hsieh等[5]提出了用可變擺線比的擺線設(shè)計羅茨泵轉(zhuǎn)子型線的設(shè)計方法，并以基于三次、五次、七次的多項式和正弦函數(shù)的擺線比的擺線設(shè)計轉(zhuǎn)子型線。Cai等[6]提出了一種從葉峰曲線到葉谷曲線分別為圓弧、偏心圓弧、擺線、圓弧組成的羅茨泵轉(zhuǎn)子型線。

目前羅茨泵轉(zhuǎn)子型線上應用比較廣泛的是圓弧、擺線、漸開線。用此類曲線設(shè)計轉(zhuǎn)子型線時，當葉峰曲線為由多段曲線構(gòu)成時，設(shè)計效率低下；轉(zhuǎn)子型線的線型一旦選定，在有限空間內(nèi)修改較繁瑣。而NURBS曲線(Non-Uniform Rational B-Splines)具有能夠表達常規(guī)二次曲線的特性，且NURBS曲線具有二次曲線不具備的局部修改性。本研究擬將NURBS曲線運用到羅茨泵轉(zhuǎn)子型線的設(shè)計中，旨在實現(xiàn)羅茨泵轉(zhuǎn)子型線表達方式的統(tǒng)一，并利用其局部修改性設(shè)計出性能更加優(yōu)異的轉(zhuǎn)子型線。

1 羅茨泵轉(zhuǎn)子型線設(shè)計原理

通過確定轉(zhuǎn)子齒數(shù)Z、中心距H和齒頂高Ra可以確定葉峰曲線和葉谷曲線的設(shè)計范圍。在設(shè)計型線時為了保證轉(zhuǎn)子與轉(zhuǎn)子之間每一個嚙合點的間隙均勻且保持恒定，葉峰曲線A1C1和葉谷曲線C1E1都是共軛的，所以葉谷曲線C1E1通過包絡(luò)條件可計算求得，故只設(shè)計葉峰曲線A1C1。

圖1 羅茨泵轉(zhuǎn)子型線設(shè)計圖Figure 1 Rotor profile design of roots pump

1.1 轉(zhuǎn)子型線設(shè)計的坐標系及坐標轉(zhuǎn)換

在葉峰曲線設(shè)計完后，通過包絡(luò)條件式求葉谷曲線，必須建立如圖2所示的坐標系。其中包含了兩對坐標系，分別為：① 固結(jié)在羅茨泵泵體上的左側(cè)轉(zhuǎn)子的靜坐標系O1X1Y1和右側(cè)轉(zhuǎn)子的靜坐標系O2X2Y2；② 固結(jié)在轉(zhuǎn)子上的左側(cè)轉(zhuǎn)子的動坐標系O1x1y1和右側(cè)轉(zhuǎn)子的動坐標系O2x2y2。左側(cè)轉(zhuǎn)子的動、靜坐標系和右側(cè)轉(zhuǎn)子的動、靜坐標系分別擁有共同的原點O1、O2，O1、O2分別處于兩個轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)中心上，區(qū)別在于靜坐標系O1X1Y1和O2X2Y2是固結(jié)在泵體上，不隨著轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動而發(fā)生任何位置變化，而動坐標系O1x1y1和O2x2y2是固結(jié)在轉(zhuǎn)子上，隨著轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動發(fā)生相應角度的轉(zhuǎn)動。左側(cè)轉(zhuǎn)子逆時針轉(zhuǎn)動，右側(cè)轉(zhuǎn)子順時針轉(zhuǎn)動。需進一步說明的是轉(zhuǎn)子型線的設(shè)計為二維問題，故本設(shè)計方法中未涉及到Z軸。

根據(jù)轉(zhuǎn)子的嚙合原理可以得到以下不同坐標系之間的表達關(guān)系[7]：

(1)在左側(cè)轉(zhuǎn)子靜坐標系O1X1Y1中表達左側(cè)轉(zhuǎn)子動坐標系O1x1y1中的元素：

(1)

(2)在右側(cè)轉(zhuǎn)子靜坐標系O2X2Y2中表達右側(cè)轉(zhuǎn)子動坐標系O2x2y2中的元素：

φ表示左側(cè)轉(zhuǎn)子和右側(cè)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)角；ω表示轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)的角速度圖2 羅茨泵轉(zhuǎn)子坐標關(guān)系Figure 2 Rotor coordinates of roots pump

(2)

(3)在左側(cè)轉(zhuǎn)子靜坐標系O1X1Y1中表達右側(cè)轉(zhuǎn)子靜坐標系O2X2Y2中的元素：

(3)

(4)在左側(cè)轉(zhuǎn)子動坐標系O1x1y1中表達右側(cè)轉(zhuǎn)子動坐標系O2x2y2中的元素：

(4)

(5)在右側(cè)轉(zhuǎn)子動坐標系O2x2y2中表達左側(cè)轉(zhuǎn)子動坐標系O1x1y1中的元素：

(5)

左側(cè)轉(zhuǎn)子的葉峰曲線的參數(shù)方程為：

(6)

式中：

ts≤t≤te(ts,te分別為葉峰曲線段系數(shù)t的起始值和終止值)。

將式(6)代入式(4)中，可以得到葉峰曲線段在對應的右側(cè)轉(zhuǎn)子上的葉谷曲線段的方程為：

(7)

根據(jù)包絡(luò)條件可以求得φ關(guān)于曲線參數(shù)t的表達式：

(8)

式(8)稱為包絡(luò)條件式。通過包絡(luò)條件式得到φ后，再代入式(5)中即可得到右側(cè)轉(zhuǎn)子的葉谷曲線方程。

此時求得的葉谷曲線為右側(cè)轉(zhuǎn)子的葉谷曲線，而最終需要得到的是左側(cè)轉(zhuǎn)子的葉谷曲線，故還需將右側(cè)轉(zhuǎn)子的葉谷曲線進一步換算成左側(cè)轉(zhuǎn)子的葉谷曲線。若將動坐標系O1x1y1，O2x2y2重疊，將左側(cè)轉(zhuǎn)子的葉峰曲線和右側(cè)轉(zhuǎn)子的葉谷曲線統(tǒng)一到同一個坐標系中表達可得如圖3所示的圖形，此時右側(cè)轉(zhuǎn)子的葉谷曲線和左側(cè)轉(zhuǎn)子的葉谷曲線為關(guān)于直線y=x×tanγ對稱的曲線，故可以通過鏡像矩陣M1得到左側(cè)轉(zhuǎn)子的葉谷方程：

(9)

圖3 左側(cè)轉(zhuǎn)子和右側(cè)轉(zhuǎn)子的葉谷曲線關(guān)系圖Figure 3 Valley curves of left and right rotors

故可以在設(shè)計完轉(zhuǎn)子的葉峰曲線方程的情況下，通過計算得到轉(zhuǎn)子葉谷曲線的方程。

1.2 葉峰曲線合理設(shè)計區(qū)域的推導

在設(shè)計羅茨泵轉(zhuǎn)子型線時，第一步為確定葉峰曲線，為了避免葉峰曲線數(shù)據(jù)一開始就設(shè)計不合理，直到該段曲線設(shè)計完才發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)子型線的錯誤，導致轉(zhuǎn)子型線的設(shè)計效率降低。故本研究針對轉(zhuǎn)子的葉峰曲線的設(shè)計區(qū)域進行框定，以指導轉(zhuǎn)子型線的設(shè)計參數(shù)選取，提高設(shè)計效率。為了設(shè)計方便，將轉(zhuǎn)子葉峰曲線都設(shè)計在第一象限和坐標軸上，轉(zhuǎn)子的葉峰曲線的起點都設(shè)計在O1x1軸上。

如圖4所示，由于轉(zhuǎn)子葉峰曲線自身位置的布局特點，葉峰曲線必須處于節(jié)圓弧O1A′C右側(cè)、齒頂圓弧O1AF左側(cè)、線段A′A上方、線段CF下方。得出葉峰曲線的基本設(shè)計區(qū)域：

(1)葉峰曲線處于O1A′C右側(cè)：

(10)

(2)葉峰曲線處于O1AF左側(cè)：

(11)

(3)葉峰曲線處于線段A′A上方：

y1≥0。

(12)

(4)葉峰曲線處于線段CF下方：

(13)

轉(zhuǎn)子葉峰曲線和對應的節(jié)圓段存在一種映射關(guān)系，理論上葉峰曲線映射到節(jié)圓弧段O1A′C上，恰好得到完整的節(jié)圓弧段，若映射得到的曲線出現(xiàn)重疊，則會產(chǎn)生封閉容積，為了避免此類情況，并將情況推至極限，則葉峰曲線映射得到的曲線只為一點，而考慮葉峰曲線在A點的連續(xù)性要求，故映射得到的點只能是A′點，滿足情況的葉峰曲線如圖4中的銷齒圓弧A′AG，即葉峰曲線設(shè)計的下邊界。

圖4 轉(zhuǎn)子型線設(shè)計的基本區(qū)域的確定Figure 4 Determination of basic area for rotor profile design

下邊界銷齒圓弧A′AG的數(shù)學表達式如下：

(x-R)2+y2≥(Ra-R)2，x∈[R,Ra]。

(14)

同時轉(zhuǎn)子的封閉性限定了轉(zhuǎn)子的葉峰曲線和葉谷曲線必然是首尾相接，故葉峰曲線必然過C點；轉(zhuǎn)子的連續(xù)性限定葉峰曲線為多段時，各曲線之間必須至少保證相切連續(xù)。葉峰曲線若完全采用銷齒圓弧，葉峰曲線的終點不能到達設(shè)計終點C點，故在式(12)限定的葉峰曲線合理設(shè)計區(qū)域的下邊界的基礎(chǔ)上可以進一步縮小設(shè)計區(qū)域的左邊界，葉峰曲線至少由兩段曲線組成，如圖4所示，保證第一段曲線為銷齒圓弧最長為A′AB，第一段曲線外的曲線為直線段BC。

轉(zhuǎn)子型線的合理設(shè)計區(qū)域的左邊界ABC，數(shù)學表達式為：

(15)

式中：

通過以上的約束條件便得到葉峰曲線的合理設(shè)計范圍，如圖5中粗虛線標出的區(qū)域所示，圖5中同時標出了圓弧型轉(zhuǎn)子型線、擺線型轉(zhuǎn)子型線、漸開線型轉(zhuǎn)子型線的葉峰曲線和該合理設(shè)計范圍的關(guān)系。從圖5可知，幾種典型的轉(zhuǎn)子型線的葉峰曲線均設(shè)計在合理設(shè)計區(qū)域內(nèi)。本研究提出的葉峰曲線的合理設(shè)計區(qū)域雖不能保證設(shè)計在其內(nèi)部的齒廓都是合格的，但能保證未設(shè)計在合理設(shè)計范圍區(qū)域內(nèi)的轉(zhuǎn)子型線一定為不合格的。

圖5 典型轉(zhuǎn)子型線與合理設(shè)計區(qū)域的關(guān)系Figure 5 The relationship between typical rotor profile and reasonable design area

2 NURBS曲線設(shè)計轉(zhuǎn)子型線的方法

2.1 包絡(luò)條件求解

一段k次NURBS曲線的函數(shù)定義為[8]：

(16)

式中：

u——NURBS曲線中的參數(shù)；

k——曲線次數(shù)；

Pi——控制點，控制點的個數(shù)為n+1；

wi——控制點的權(quán)因子，決定了控制點偏離曲線的程度，控制點的個數(shù)為n+1，所以wi>0；

Ni,k(u)——定義在非周期且非均勻節(jié)點矢量U={a,…,a,uk+1,…,um-p-1,b,…,b}上的k次B樣條基函數(shù)，節(jié)點矢量U中的元素稱為節(jié)點，節(jié)點矢量中節(jié)點的個數(shù)為m+1，而參數(shù)m滿足m=n+k+1。

NURBS曲線在進行羅茨泵轉(zhuǎn)子型線設(shè)計中使用相對容易，給定了NURBS曲線的次數(shù)k、控制點Pi、控制點對應的權(quán)因子wi后，左側(cè)轉(zhuǎn)子的葉峰曲線方程可表達為：

(17)

式中：

0≤u≤1。

將式(15)代入式(6)中可以得到NURBS曲線的包絡(luò)條件式：

φ=

(18)

式中：

將式(17)設(shè)計的NURBS曲線的葉峰轉(zhuǎn)子型線方程和NURBS曲線設(shè)計轉(zhuǎn)子型線時的包絡(luò)條件式(18)代入式(4)可以得到右側(cè)轉(zhuǎn)子上的葉谷曲線方程。式(18)中涉及到NURBS曲線的求導，與傳統(tǒng)圓錐曲線的求導是有區(qū)別的。

2.2 NURBS導數(shù)的推導

(19)

故NURBS曲線的一階導數(shù)可以表達為：

(20)

式(20)中在求解A(u)和K(u)的一階導數(shù)時，實質(zhì)上只需對其公式內(nèi)部的基函數(shù)求解：

(21)

基函數(shù)的求導類似于基函數(shù)的求解，為一個遞推公式，需要從低階到高階逐層計算：

(22)

由此便可計算出NURBS曲線的一階導數(shù)的求導。

3 基于NURBS曲線的轉(zhuǎn)子型線設(shè)計

在常用的羅茨泵轉(zhuǎn)子型線中，漸開線型轉(zhuǎn)子型線的羅茨泵在面積利用系數(shù)上要高于單圓弧型轉(zhuǎn)子型線，故理論抽氣速率也是漸開線型的要高。本研究基于NURBS曲線的局部修改性和前文提出的葉峰曲線合理設(shè)計區(qū)域，在漸開線型轉(zhuǎn)子型線的基礎(chǔ)上，對轉(zhuǎn)子型線進行改進設(shè)計，以期獲得面積利用系數(shù)更高的羅茨泵轉(zhuǎn)子型線。面積利用系數(shù)能直接反映羅茨泵的抽氣速率。根據(jù)羅茨泵轉(zhuǎn)子的面積利用系數(shù)λ的定義，得到面積利用系數(shù)的公式：

(23)

式中：

S——羅茨泵轉(zhuǎn)子的橫截面面積。

NURBS曲線設(shè)計轉(zhuǎn)子型線流程，首先確定了轉(zhuǎn)子的齒頂高、中心距、轉(zhuǎn)子齒數(shù)。再利用NURBS曲線設(shè)計葉峰曲線A1C1，根據(jù)葉峰曲線A1C1的數(shù)據(jù)計算葉谷曲線C1E1，獲得整條轉(zhuǎn)子型線數(shù)據(jù)，若滿足要求，則輸出型線數(shù)據(jù)，若不符合設(shè)計要求，則需要修改設(shè)計參數(shù)，重新計算。

3.1 漸開線型轉(zhuǎn)子型線的復現(xiàn)

由于NURBS曲線對漸開線無法完美表達，故只能通過調(diào)整次數(shù)與控制點數(shù)對NURBS曲線進行擬合，使其與漸開線的誤差保證在允許誤差之內(nèi)。因此NURBS曲線設(shè)計的漸開線轉(zhuǎn)子型線在葉峰曲線上存在一定的誤差，使得通過計算得到的葉谷曲線也存在誤差，既而在用NURBS曲線復現(xiàn)漸開線型轉(zhuǎn)子型線后，有必要對葉峰曲線和葉谷曲線進行誤差分析。

對限定區(qū)域下漸開線轉(zhuǎn)子型線的葉峰曲線用NURBS曲線進行擬合，采用四次NURBS曲線，并通過5個控制點對曲線進行控制，如圖6所示，數(shù)據(jù)見表1。漸開線轉(zhuǎn)子型線中銷齒圓弧部分可以使用NURBS曲線表達[9]，誤差如表2所示，復現(xiàn)銷齒圓弧部分可以做到無誤差；擬合的漸開線轉(zhuǎn)子型線漸開線部分的平均誤差為8.332×10-2μm，最大誤差為1.773×10-1μm；通過擬合的NURBS曲線計算得到的葉谷曲線的數(shù)據(jù)和原曲線的數(shù)據(jù)經(jīng)過比對，平均誤差為1.041×10-1μm，最大誤差為3.509×10-1μm。可以看出，通過NURBS曲線設(shè)計的漸開線型轉(zhuǎn)子型線的葉峰曲線和葉谷曲線的誤差均低于拋光的加工精度，該誤差在合理誤差范圍內(nèi)，實現(xiàn)了用NURBS曲線對漸開線型轉(zhuǎn)子型線的復現(xiàn)。

圖6 葉峰曲線控制點圖Figure 6 Control point chart of leaf peak curve

表1 漸開線型轉(zhuǎn)子型線葉峰曲線的設(shè)計參數(shù)對比Table 1 Comparison ofdesign parameters of involute rotor profile blade peak curve mm

表2 曲線設(shè)計的誤差分析Table 2 Erroranalysis of curve design μm

3.2 基于NURBS曲線的轉(zhuǎn)子型線改進設(shè)計

對第2段葉峰曲線段采用NURBS曲線的設(shè)計策略為：NURBS曲線次數(shù)采用了三次，并由4控制點進行控制，針對第1段銷齒圓弧的使用長度，第2段曲線通過一維搜索的方法對第2段NURBS曲線的中間兩個控制點對應的權(quán)因子進行調(diào)控，從而獲得每組中面積利用系數(shù)最高的權(quán)因子組合。

實際設(shè)計發(fā)現(xiàn)第3組試驗之后的組別無論如何調(diào)整第2段的NURBS曲線，都會出現(xiàn)根切的現(xiàn)象，如圖8所示。故只對前3組試驗的結(jié)果進行了總結(jié)，得到表3的試驗結(jié)果。通過對表中的數(shù)據(jù)可以看出，改進的NURBS曲線型轉(zhuǎn)子型線中面積利用系數(shù)最高的為第2組，高出漸開線轉(zhuǎn)子型線0.53%，高出單圓弧型轉(zhuǎn)子型線1.45%。其轉(zhuǎn)子型線葉峰曲線數(shù)據(jù)如表4所示，轉(zhuǎn)子型線如圖9所示。

圖7 漸開線轉(zhuǎn)子葉峰曲線圖Figure 7 Peak curve of involute rotor blade

表3 改進的轉(zhuǎn)子型線性能參數(shù)對比Table 3 Comparisons of linear performance parameters of improving rotor shapes

圖8 轉(zhuǎn)子型線的根切圖Figure 8 Undercut of rotor profile

4 結(jié)論

(1)設(shè)計羅茨泵轉(zhuǎn)子型線葉峰曲線合理區(qū)域，便于指導轉(zhuǎn)子型線參數(shù)選取，對轉(zhuǎn)子型線的改進設(shè)計開發(fā)具備一定的指導作用，提高設(shè)計效率。

(2)針對漸開線型轉(zhuǎn)子型線，用一整段NURBS曲線表達葉峰曲線，由控制點和權(quán)因子決定，得到了誤差最大為1.041×10-1μm的型線，驗證了用NURBS進行型線設(shè)計的可行性。增加了羅茨泵轉(zhuǎn)子型線設(shè)計的曲線類型。結(jié)合葉峰曲線合理設(shè)計區(qū)域，利用NURBS曲線局部調(diào)整性對型線進行優(yōu)化，最終得到了優(yōu)化后的型線，型線的面積利用系數(shù)得到了提高，提高了羅茨泵性能。

圖9 改進的NURBS型轉(zhuǎn)子型線Figure 9 Improved NURBS rotor profile

表4 改進的NURBS型轉(zhuǎn)子型線葉峰曲線數(shù)據(jù)Table 4 Improved NURBS rotor profile peak curve data mm

(3)結(jié)合NURBS曲線設(shè)計轉(zhuǎn)子型線，優(yōu)勢在于NURBS曲線的便捷的局部調(diào)整性，研究中只通過修改權(quán)因子的方式調(diào)控曲線，為了最大化利用NURBS曲線的形狀調(diào)整工具，今后應同時結(jié)合調(diào)整控制點的方法設(shè)計轉(zhuǎn)子型線。