斜面上定向拋體運動的初速度放大鏡效應

王 磊 陳建文

(1. 盤錦市高級中學,遼寧 盤錦 124000; 2. 盤錦市遼東灣實驗高級中學,遼寧 盤錦 124000)

1 斜面拋體運動擊中斜面速度的決定因素

平拋運動是高中物理曲線運動部分的一個典型問題．處理該類問題常用方法是速度分解法．將平拋物體的運動分解為水平方向和豎直方向．如果讓物體拋出時的速度與水平方向成一個角度，則平拋問題變?yōu)樾睊亞栴},處理方法與斜拋類似，也采用正交分解的方法．如果斜拋的出發(fā)點和著落點都在某一斜面上,則可以將速度沿斜面方向和垂直斜面方向分解來簡化處理問題．請看這樣一個物理競賽問題.

圖1

問題1:從傾角為θ的斜面底端以初速度v0拋出一個小球,小球與斜面發(fā)生完全彈性碰撞后從原路返回拋出點．試求拋出時的速度．

小球碰撞后原路返回,說明小球與斜面正碰,即小球與斜面相撞時的速度v垂直于斜面(圖1).

末速度v垂直于斜面方向:

(1)

小球位移沿斜面方向:

(2)

由(1)、(2)兩式可得

cotα=2tanθ.

(3)

圖2

由此可得,只要小球拋出方向與斜面成角α,滿足cotα=2tanθ,小球就會垂直落向斜面,并原路彈回．即小球是否能垂直落向斜面,與小球的速度大小無關(guān),只與小球的拋出角度有關(guān),只要滿足小球拋出方向與斜面成角α,不同速度對應的所有軌跡均與斜面垂直．而增大小球的初速度相當于放大了拋體軌跡的圖像(圖2),那么只有末速度與斜面垂直情況下才與初速度大小無關(guān)么?

圖3

猜想:小球以任意一個角度的末速度落向斜面也只與初速度角度α有關(guān),而與初速度大小無關(guān)．

為驗證上述猜想,先考慮特殊的角度,如小球水平落向斜面(圖3)．小球末速度豎直方向分量為0:

v0sin(α+θ)-gt=0.

(4)

小球位移沿斜面方向(2)式仍然成立，由(2)式可得

gcosθt=2v0sinα.

聯(lián)立(4)式可得[1]

v0sin(α+θ)cosθ=2v0sinα.

進一步整理有

sinαcos2θ+cosαsinθcosθ=2sinα.

兩邊同時除cosα有

tanαcos2θ+cosθsinθ=2tanα.

進一步整理有

cosθsinθ=tanα(2sin2θ+cos2θ).

兩邊除cos2θ有

tanθ=tanα(2tan2θ+1),

整理得

(5)

由此可得在斜面上拋出小球,使小球水平擊打到斜面上,只需使小球與斜面成滿足(5)式成立的α角,與小球初速度v0大小無關(guān),猜想成立．

圖4

為嚴格證明該猜想成立,假設(shè)小球末速度與斜面成任意角度φ(圖4),求證該假設(shè)成立前提下對初速度v0的要求與v0大小無關(guān)只與v0方向有關(guān)．

小球末速度v與斜面成角φ有

(6)

小球位移沿斜面方向(2)式仍然成立得

代入(6)式整理得

等式左側(cè)分子分母同除v0cosα并整理得

(7)

2 定向斜面拋體運動軌跡與初速度大小的關(guān)系

圖5

問題2:當小球拋出速度與斜面成角α則不論初速度v0多大,小球都以相同的角度擊中斜面,那么小球在此過程中,沿斜面位移l和小球運動過程中離斜面最遠距離h(圖5)分別與初速度v0又有怎樣的關(guān)系呢?

由(2)式可得gcosθt=2v0sinα,即小球落回斜面所用時間

(8)

小球沿斜面方向做勻減速直線運動有

帶入(8)式可得[2]

進一步整理得

(9)

由(9)式可得小球沿斜面位移l與小球初速度v02成正比．

小球離斜面距離最大時,垂直于斜面的分速度為0,此時運動時間為

(10)

垂直斜面方向,小球做勻減速直線運動

代入(10)式得

(11)

由(11)式可得小球運動過程中距斜面最遠距離h也與小球初速度v02成正比．

3 定向斜面拋體運動軌跡與斜面所圍面積與初速度大小的關(guān)系

圖6

問題3:小球沿斜面的位移l、小球軌跡離斜面最大距離h都與v0的平方成正比,而l與h均是小球拋物軌跡與斜面圍成的面積S的線性尺度(圖6)．那么面積S與v0有怎樣的關(guān)系呢?

以拋出點為坐標原點,水平方向為x軸,豎直方向為y軸建立坐標系,拋物線方程[3]為

(12)

斜面方程:

y2=tanθx.

(13)

拋物線與斜面圍成的面積

(14)

將(12)、(13)式代入(14)式得

(15)

小球與斜面擊中點水平坐標

(16)

將(16)式代入(15)式的積分上限得拋物線與斜面圍成的面積

整理得

6cos(α+θ)sinθ-4sinα].

進一步整理得

(17)

4 總結(jié)

通過對斜面拋體運動的計算研究得到以下結(jié)論:

(1) 斜面拋體運動的物體擊中斜面的速度方向僅由初速度方向決定,與初速度大小無關(guān),把物體以恒定的方向做斜面拋體的運動可稱為定向斜面拋體運動;

(2) 定向斜面拋體運動物體擊中斜面的速度大小與初速度成正比;

(3) 定向斜面拋體運動物體沿斜面位移、運動軌跡離斜面最遠距離與速度平方成正比;

(4) 定向斜面拋體運動物體運動軌跡與斜面圍成面積與初速度的4次方成正比．

通過以上的結(jié)論進一步得出定向斜面拋體運動軌跡的動態(tài)模型:定向拋體運動軌跡圖像隨著初速度v0大小的變化而變化,相同v0方向不同v0大小的所有定向拋體運動軌跡圖像是相似的,初速度v0起到定向斜面拋體運動軌跡圖像縮放的決定因素．當初速度v0變成nv0時,整個拋體軌跡圖像像在n2倍的放大鏡觀察下一樣擴大成原來的n2倍,末速度v變成原來的n倍,拋體軌跡與斜面所圍圖像面積擴大為原來的n4倍．所以這個結(jié)論不妨稱之為定向斜面拋體運動的初速度放大鏡效應．